Ejercicios de probabilidad condicionada

1 Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A)=\cfrac{1}{2}, p(B)=\cfrac{1}{3}, p(A\cap B)=\cfrac{1}{4}.

 

Determinar:

 

a p(A/B)

b p(B/A)

c p(A\cup B)

d p(\bar{A}/\bar{B})

e p(\bar{B}\cap \bar{A})

 

Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A)=\cfrac{1}{2}, p(B)=\cfrac{1}{3}, p(A\cap B)=\cfrac{1}{4}.

 

Determinar:

 

a p(A/B)

Son sucesos dependientes

 

p(A/B)=\cfrac{p(A\cap B)}{p(B)}=\cfrac{\cfrac{1}{4}}{\cfrac{1}{3}}=\cfrac{3}{4}

 

b p(B/A)

Son sucesos dependientes

 

p(B/A)=\cfrac{p(B\cap A)}{p(A)}=\cfrac{\cfrac{1}{4}}{\cfrac{1}{2}}=\cfrac{1}{2}

 

c p(A\cup B)

Son sucesos compatibles

 

p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{4}=\cfrac{7}{12}

 

d p(\bar{A}/\bar{B})

Son sucesos dependientes

 

p(\bar{A}/\bar{B})=\cfrac{p(\bar{A}\cap \bar{B})}{p(\bar{B})}

 

En el numerador aplicamos las leyes de Morgan

En el denominador aplicamos la probabilidad del suceso contrario

 

=\cfrac{p(\overline{A\cup B})}{1-p(B)}

 

En el numerador aplicamos la probabilidad del suceso contrario

=\cfrac{p(\overline{A\cup B})}{1-p(B)}=\cfrac{1-\cfrac{7}{12}}{1-\cfrac{1}{3}}=\cfrac{5}{8}

 

e p(\bar{B}\cap \bar{A})

Son sucesos dependientes

 

p(\bar{B}\cap \bar{A})=\cfrac{p(\bar{A}\cap \bar{B})}{p(\bar{A})}

 

En el numerador aplicamos las leyes de Morgan

En el denominador aplicamos la probabilidad del suceso contrario

 

=\cfrac {p(\overline{A\cup B})}{1-p(A)}

 

En el numerador aplicamos la probabilidad del suceso contrario

 

=\cfrac {p(\overline{A\cup B})}{1-p(A)}=\cfrac{1-\cfrac{7}{12}}{1-\cfrac{1}{2}}=\cfrac{5}{6}

 

 

 

 

2 Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A)=\cfrac{1}{3}, p(B)=\cfrac{1}{4}, p(A\cap B)=\cfrac{1}{5}.

 

Determinar:

 

a p(A/B)

b p(B/A)

c p(A\cup B)

d p(\bar{A}/ B)

e p(\bar{B}/ \bar{A})

f p(\bar{B}/ A)

 

Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A)=\cfrac{1}{3}, p(B)=\cfrac{1}{4}, p(A\cap B)=\cfrac{1}{5}.

Determinar:

a p(A/B)

Son sucesos dependientes

 

p(A/B)=\cfrac{p(A\cap B)}{p(B)}=\cfrac{\cfrac{1}{5}}{\cfrac{1}{4}}=\cfrac{4}{5}

 

b p(B/A)

Son sucesos dependientes

 

p(B/A)=\cfrac{p(A\cap B)}{p(A)}=\cfrac{\cfrac{1}{5}}{\cfrac{1}{3}}=\cfrac{3}{5}

 

c p(A\cup B)

Son sucesos compatibles

 

p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{5}=\cfrac{23}{60}

 

d p(\bar{A}/B)

 

p(\bar{A}/B)=\cfrac{p(\bar{A}\cap B)}{p(B)}=\cfrac{p(B)-p(A\cap B)}{p(B)}=\cfrac{\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{5}}{\cfrac{1}{4}}=\cfrac{1}{5}

 

e p(\bar{B}/\bar{A})

 

p(\bar{B}/\bar{A})=\cfrac{p(\bar{A}\cap \bar{B})}{p(\bar{A})}=\cfrac{1-p(A\cup B)}{1-p(A)}=\cfrac{1-\cfrac{23}{60}}{1-\cfrac{1}{3}}=\cfrac{37}{40}

 

f p(\bar{B}/A)

 

p(\bar{B}/A)=\cfrac{p(\bar{B\cap A})}{p(A)}=\cfrac{p(A)-p(A\cap B)}{p(A)}=\cfrac{\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{5}}{\cfrac{1}{3}}=\cfrac{2}{5}

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Problemas de probabilidad condicionada

 

3 En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90 \% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30 \%
de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40 \%.

Eligiendo un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

 

En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90 \% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30 \% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40 \%. Eligiendo un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

 

Diagrama de árbol alumnos

 

p(\textup{chica})=0,9\cdot 0,7+0,1\cdot 0,6=0,69

 

 

4 De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:

 

a Las dos sean copas

b Al menos una sea copas

c Una sea copa y la otra espada

 

De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas.

 

Calcular la probabilidad de que:

 

a Las dos sean copas

Son sucesos dependientes

 

p(2c)=\cfrac{12}{48}\cdot \cfrac{11}{47}=0,059

 

b Al menos una sea copas

p(\textup{al menos una copa})=1-p(\textup{ninguna copa})=1-\cfrac{36}{48}\cdot \cfrac{35}{47}=0,441

 

c Una sea copa y la otra espada

Puede salir primero copa y después espada o primero espada y después copa

p(1c\cap 1e)=p(1^{a}c\cap 2^{a}e)+p(1^{e}c\cap 2^{a}c)=2\cdot \cfrac{12}{48}\cdot \cfrac{12}{47}=0,128

5 Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo.
Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

 

Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

 

p(\textup{al menos un tema})=1-p(\textup{ningun tema})=1-\cfrac{10}{25}\cdot \cfrac{9}{24}=0,85

 

 

6 Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.

 

a ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

b ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

 

 

Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.

a ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

 

Diagrama de Venn alumnos

 

p(\textup{chico o frances})=\cfrac{15}{20}=0,75

 

b ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

 

p(\textup{chica y no frances})=\cfrac{5}{20}=0,25

 

7 Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

 

a Hacer una tabla ordenando los datos anteriores

b Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde

c Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos

d Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana

 

 

Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

 

a Hacer una tabla ordenando los datos anteriores

 

\begin{tabular}{| c | c | c | c | c |} \hline &Electricidad&Mecanica&Chapa& \\ \hline Mananas&3&8&3&14 \\ \hline Tardes&2&3&1&6 \\ \hline &5&11&4&20 \\ \hline \end{tabular}

 

 

b Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.

 

p(\textup{tarde})=\cfrac{6}{20}=0,30\cdot 100=30\%

 

 

c Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

 

p(\textup{mecanicos})=\cfrac{11}{20}=0,55\cdot 100=55\%

 

 

d Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

 

p(\textup{manana/electricos})=\cfrac{3}{5}=0,6\cdot 100=60\%

 

8 Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

 

a Seleccionar tres niños

b Seleccionar exactamente dos niños y una niña

c Seleccionar por lo menos un niño

d Seleccionar exactamente dos niñas y un niño

 

 

Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

 

Diagrama de árbol de niños y niñas

 

a Seleccionar tres niños

 

p(3\; \textup{ninos})=\cfrac{10}{16}\cdot \cfrac{9}{15}\cdot \cfrac{8}{14}=0,214

b Seleccionar exactamente dos niños y una niña

 

p(2\; \textup{ninos y}\; 1\; \textup{nina})=\cfrac{10}{16}\cdot \cfrac{9}{15}\cdot \cfrac{8}{14}+\cfrac{10}{16}\cdot \cfrac{6}{15}\cdot \cfrac{9}{14}+\cfrac{6}{16}\cdot \cfrac{10}{15}\cdot \cfrac{9}{14}=0,482

 

c Seleccionar por lo menos un niño

 

p(\textup{al menos 1 nino})=1-p(\textup{todas ninas})=1-\frac{6}{16}\cdot \cfrac{5}{15}\cdot \cfrac{4}{14}=0,964

 

d Seleccionar exactamente dos niñas y un niño

 

p(\textup{2 ninas y 1 nino})=\cfrac{10}{16}\cdot \cfrac{6}{15}\cdot \cfrac{5}{14}+\cfrac{6}{16}\cdot \cfrac{10}{15}\cdot \cfrac{5}{14}+\cfrac{6}{16}\cdot \cfrac{5}{15}\cdot \cfrac{10}{14}=0,268

9 Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de \cfrac{1}{3}. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.

 

Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de \cfrac{1}{3}. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.

 

Diagrama de árbol moneda

 

p(\textup{cara})=\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}\cdot 1+\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{1}{3}=0,611

10 Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide:

 

a Probabilidad de que la segunda bola sea verde
b Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color

 

Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide:

a Probabilidad de que la segunda bola sea verde

 

Diagrama de árbol bolas en una caja

 

p(2^{a}\; V)=\frac{5}{13}\cdot \frac{10}{14}+\frac{8}{13}\cdot \frac{7}{14}=\frac{53}{91}=0,582

 

b Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color

 

p(\textup{mismo color})=p(R\cap R)+p(V\cap V)

 

=\cfrac{5}{13}\cdot \cfrac{4}{14}\cdot \cfrac{8}{13}\cdot \cfrac{7}{14}=\cfrac{38}{91}=0,418

 

 

11 En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60 \% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10 \% practica ambos deportes. Si además hay un 60 \% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:

 

a Juegue sólo al fútbol
b Juegue sólo al baloncesto
c Practique uno solo de los deportes
d No juegue ni al fútbol ni al baloncesto

 

En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60 \% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10 \% practica ambos deportes. Si además hay un 60 \% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:

a Juegue sólo al fútbol

Diagrama de Venn deportes

p(F)=1-0,6=0,4

p(F-\bar{B})=0,4-0,1=0,3

 

b Juegue sólo al baloncesto

p(B-\bar{F})=0,3-0,1=0,2

 

c Practique uno solo de los deportes

p(F-\bar{B})\cup p(B-\bar{F})=0,3+0,2=0,5

 

d No juegue ni al fútbol ni al baloncesto

p(\bar{F}-\bar{B})=p(\overline{F\cup B})=1-p(F\cup B)=1-0,6=0,4

 

12 En una ciudad, el 40\% de la población tiene cabellos castaños, el 25\% tiene ojos castaños y el 15\% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:

a Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?
b Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
c ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

 

En una ciudad, el 40\% de la población tiene cabellos castaños, el 25\% tiene ojos castaños y el 15\% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:

a Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?

 

\begin{tabular}{| c | c | c | c | }\hline & Pelo C & Pelo no C & \\ \hline Ojos C& 15&10 &25 \\ \hline Ojos no C&25 &50 &75 \\ \hline &40 &60 &100 \\ \hline \end{tabular}

 

p(\textup{ojos C/pelo C})=\cfrac{15}{40}=0,375

 

b Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

p(\textup{pelo no C/ojos C})=\cfrac{10}{25}=0,4

 

c ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

p(\textup{pelo no C y ojos no C})=\cfrac{50}{100}=0,5

13 En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso:

 

a ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?

b Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre?

 

En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso:

 

a ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?

 

\begin{tabular}{| c | c | c | c |} \hline &Gafas&Sin gafas& \\ \hline Hombres&15&25&40 \\ \hline Mujeres&15&45&60 \\ \hline &30&70&100 \\ \hline \end{tabular}

 

p(m\cap \bar{G})=\cfrac{45}{100}=0,45

 

 

b Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre?

 

p(h/\bar{G})=\cfrac{p(h\cap \bar{G})}{p(G\bar{})}=\cfrac{\cfrac{25}{100}}{\cfrac{70}{100}}=\cfrac{5}{14}

14 Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B. A continuación extraemos una bola. Se pide:

 

a Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B

b Probabilidad de que la bola sea blanca

 

Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B.

A continuación extraemos una bola. Se pide:

 

a Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B

 

p(R\cap U_{B})=\cfrac{4}{16}\cdot \cfrac{4}{12}=\cfrac{2}{9}

 

 

b Probabilidad de que la bola sea blanca

p(\textup{bola blanca})=\cfrac{2}{6}\cdot \cfrac{4}{10}+\cfrac{4}{6}\cdot \cfrac{8}{12}=\cfrac{26}{45}

 

15 Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80\% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0,9 y, en caso contrario, de 0,5.

 

a Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?
b Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?

 

Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80\% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0,9 y, en caso contrario, de 0,5.

 

a Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?

 

Diagrama de árbol despertador

 

p(\textup{oye/hace examen})=\cfrac{0,8\cdot 0,9}{0,8\cdot 0,9+0,2\cdot 0,5}=0,87804

 

 

b Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?

 

p(\textup{no oye/no hace examen})=\cfrac{0,2\cdot 0,5}{0,8\cdot 0,1+0,2\cdot 0,5}=0,\bar{5}

 

16 En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar.

 

a ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?
b Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?

 

En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar.

 

a ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?

 

Diagrama de árbol novela y poesía

 

p(\textup{B escoja novela})=\cfrac{60}{80}\cdot \cfrac{59}{79}+\cfrac{20}{80}\cdot \cfrac{60}{79}=\cfrac{3}{4}

 

 

b Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?

 

p(\textup{A escoja poesía/B eligio novela})=\cfrac{\cfrac{20}{80}\cdot \cfrac{60}{79}}{\cfrac{60}{80}\cdot \cfrac{59}{79}+\cfrac{20}{80}\cdot \cfrac{60}{79}}=\cfrac{20}{79}

17 Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos:

 

a Con una persona sin gafas
b Con una mujer con gafas

 

Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos:

 

a Con una persona sin gafas.

 

Diagrama de árbol gafas

 

p(\textup{sin gafas})=\cfrac{1}{5}\cdot \cfrac{75}{100}+\cfrac{4}{5}\cdot \cfrac{400}{1000}=0,47

 

 

b Con una mujer con gafas.

p(\textup{mujer con gafas})=\cfrac{4}{5}\cdot \cfrac{600}{1000}=0,48

 

 

 

18 En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él una llave para abrir el trastero. Se pide:

 

a ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?
b ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?
c Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?

 

En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él una llave para abrir el trastero. Se pide:

 

a ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?

 

 

p(\textup{abrir})=\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{1}{7}+\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{1}{8}=0,1559

 

 

b ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?

 

p(\textup{C y no abre})=\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{7}{8}=0,2917

 

 

c Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?

 

p(\textup{llavero A/abre})=\cfrac{\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{1}{5}}{\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{1}{7}+\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{1}{8}}=0,4275

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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