Unión de eventos

 

Dados dos eventos, \quad A \quad y \quad B, definimos la unión de eventos, denotada por \quad A \cup B, como el evento formado por todos los elementos que están en \quad A \quad o en \quad B. Es decir, el evento \quad A \cup B \quad se verifica cuando ocurre uno de los dos, \quad A \quad o en \quad B, o ambos.

 

\quad A \cup B se lee como "\quad A \quad unión \quad B".

 

Observación. Notemos que en realidad la unión de dos eventos no es nada más que la unión de sus conjuntos.

 

Ejemplo:

 

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, consideremos el evento de caiga un número par como \quad A = \{2, 4, 6\}\quad y el evento de que caiga un número que sea múltiplo de tres como \quad B = \{ 3, 6\} \quad. Calculemos la unión los eventos \quad A \quad y \quad B \quad (\quad A \cup B):

 

A = \{2, 4, 6\}\quad

 

 B = \{ 3, 6\} \quad

 

\quad A \cup B = \{2, 3, 4, 6\}

 

representación gráfica de union de eventos

 

 

Consideremos dos eventos \quad A \quad y \quad B \quad con probabilidades \quad P(A) \quad y \quad P(B), respectivamente. Entonces, tenemos que la probabilidad de su unión, \quad A \cup B, está dada por

 

(1)    \begin{equation*} P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \end{equation*}

.

 

Esto nos da dos casos importantes a considerar. Cuando \quad A \cap B = \emptyset \quad y cuando \quad A \cap B \neq \emptyset.

 

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles

 

Decimos que dos eventos \quad A \quad y \quad B \quad son compatibles cuando contienen al menos un evento elemental en común. En otras palabras, si ambos consideran al menos un mismo resultado.

 

Cuando dos eventos \quad A \quad y \quad B \quad son compatibles, su intersección no es vacía (es distinta del conjunto vacío, \quad \emptyset). Esto es

 

\displaystyle A \cap B \neq \emptyset.

 

En este caso, como la intersección no es vacía, y sus elementos (resultado que considera) pertenecen al espacio muestral, se tiene que \quad P(A \cap B) \neq 0. Así, consideramos la ecuación (1) para calcular la probabilidad de \quad A \cup B.

 

 P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) .

 

Ejemplo

 

Consideremos el experimento de lanzar un dado y los siguientes eventos:

 

    • Que al lanzar el dado el número sea un múltiplo de tres, \quad A = \{3, 6\}.

 

  • Que al lanzar el dado caiga en el número \quad 6, \quad B = \{6\}.

 

Notemos que \quad A \cap B = \{ 6 \} \neq \emptyset, por lo tanto, son conjuntos compatibles. Además, tenemos que \quad P(A) = \frac{2}{6} \quad y \quad P(B) = P(A \cap B) = \frac{1}{6}. Aplicando la fórmula de la ecuación (1), tenemos que

 

     \begin{align*} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B)\\ &= \frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{6}\\ &= \frac{2}{6} \end{align*}

 

Probabilidad de la unión de eventos incompatibles

 

Decimos que dos eventos \quad A \quad y \quad B \quad son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. En otras palabras, si un resultado que es considerado en \quad A \quad no está en \quad B \quad y viceversa.

 

Otra forma es que dos eventos \quad A \quad y \quad B \quad son incompatibles cuando su intersección es vacía (es el conjunto vacío, \quad \emptyset). Esto es

 

\displaystyle A \cap B = \emptyset

 

Tenemos que la probabilidad del conjunto vacío es \quad P(\emptyset) = 0 ya que este evento no considera ningún resultado. Notemos que, debido a esto, tendríamos que la ecuación (1) se reduce a

 

(2)    \begin{equation*} P(A \cup B) = P(A) + P(B) \end{equation*}

.

 

Ejemplo

 

Consideremos el experimento de lanzar un dado y los siguientes eventos:

 

    • Que al lanzar el dado el número sea primo menor a 4, \quad A = \{2, 3\}.

 

  • Que al lanzar el dado caiga en el número \quad 1 \quad o el número \quad 6, \quad B = \{1, 6\}.

 

Notemos que \quad A \cap B = \emptyset \neq \emptyset, por lo tanto, son conjuntos incompatibles. Además, tenemos que \quad P(A) = \frac{2}{6} \quad y \quad P(B) = \frac{2}{6}. Aplicando la fórmula de la ecuación (2), tenemos que

 

     \begin{align*} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) \\ &= \frac{2}{6} + \frac{2}{6}\\ &= \frac{4}{6}\\ &= \frac{2}{3} \end{align*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗