Calcula las probabilidades que si piden dada la siguiente información:

 

Sean A y B dos sucesos aleatorios con

 

\displaystyle P(A) = \frac{3}{8}, \qquad P(B) = \frac{1}{2}, \qquad P(A \cap B) = \frac{1}{4}

 

Hallar:

 

1 P \left( A \cup B \right)

 

2 P \left( \overline{A} \right)

 

3 P \left( \overline{B} \right)

 

4 P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right)

 

5 P \left( A \cap \overline{B} \right)

 

6 P \left( \overline{A} \cup \overline{B} \right)

 

7 P \left( B \cap \overline{A} \right)

 

 

Sean A y B dos sucesos aleatorios con

 

\displaystyle P(A) = \frac{3}{8}, \qquad P(B) = \frac{1}{2}, \qquad P(A \cap B) = \frac{1}{4}

 

Hallar:

 

1 P \left( A \cup B \right)

 

Los sucesos son compatibles porque la intersección es distinta del vacío, \qquad A \cap B \neq \emptyset \qquad, dado que su probabilidad no es nula. Por lo tanto

 

    \begin{align*} P \left( A \cup B \right) &= P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( A \cap B \right)\\ &= \frac{3}{8} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{5}{8} \end{align*}

 

2 P \left( \overline{A} \right)

 

Las probabilidad de \overline{A} es igual a 1 (probabilidad total) menos la probabilidad del suceso A

 

    \begin{align*} P \left( \overline{A} \right) &= 1 - P\left( A \right)\\ &= 1 - \frac{5}{8}\\ &= \frac{3}{8} \end{align*}

 

3 P \left( \overline{B} \right)

 

La probabilidad de \overline{B} es igual a 1 (probabilidad total) menos la probabilidad del suceso B

 

    \begin{align*} P \left( \overline{B} \right) &= 1 - P\left( B \right)\\ &= 1 - \frac{1}{2}\\ &= \frac{1}{2} \end{align*}

 

4 P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right)

 

Aplicando las leyes de Morgan obtenemos

 

\displaystyle \overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}

 

Además, la probabilidad de \overline{A \cup B} es igual a 1 (probabilidad total) menos la probabilidad del suceso A \cup B, por lo tanto

 

    \begin{align*} P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right) &= P\left( \overline{A \cup B} \right)\\ &= 1 - P\left( A \cup B \right)\\ &= 1 - \frac{5}{8}\\ &= \frac{3}{8} \end{align*}

 

5 P \left( A \cap \overline{B} \right)

 

Notemos que A \cap \overline{B} = A - B. Aplicando la probabilidad de la diferencia de sucesos tenemos

 

    \begin{align*} P \left( A \cap \overline{B} \right) &= P\left( A - B \right)\\ &= P\left( A \right) - P\left( A \cap B \right)\\ &= \frac{3}{8} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{1}{8} \end{align*}

 

6 P \left( \overline{A} \cup \overline{B} \right)

Aplicando las leyes de Morgan obtenemos

 

\displaystyle \overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}

 

Además, la probabilidad de \overline{A \cap B} es igual a 1 (probabilidad total) menos la probabilidad del suceso A \cap B, por lo tanto

 

    \begin{align*} P \left( \overline{A} \cup \overline{B} \right) &= P\left( \overline{A \cap B} \right)\\ &= 1 - P\left( A \cap B \right)\\ &= 1 - \frac{1}{4}\\ &= \frac{3}{4} \end{align*}

 

7 P \left( B \cap \overline{A} \right)

 

Notemos que B \cap \overline{A} = B - A. Aplicando la probabilidad de la diferencia de sucesos tenemos

 

    \begin{align*} P \left( B \cap \overline{A} \right) &= P\left( B - A \right)\\ &= P\left( B \right) - P\left( B \cap A \right)\\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{1}{4} \end{align*}

 

Calcula lo que se pide dados los siguientes sucesos y sus probabilidades.

 

\displaystyle P(\overline{A}) = \frac{2}{3}, \qquad P( A \cup B ) = \frac{3}{4}, \qquad P(A \cap B) = \frac{1}{4}

 

Encontrar:

 

1 P \left( A \right)

 

2 P \left( B \right)

 

3 P \left( A \cap \overline{B} \right)

 

4 P \left( B \cap \overline{A} \right)

 

Calcula lo que se pide dados los siguientes sucesos y sus probabilidades.

 

\displaystyle P(\overline{A}) = \frac{2}{3}, \qquad P( A \cup B ) = \frac{3}{4}, \qquad P(A \cap B) = \frac{1}{4}

 

Encontrar:

 

1 P \left( A \right)

 

La probabilidad de A = \overline{\overline{A}} es igual a 1 (probabilidad total) menos la probabilidad del suceso \overline{A}

 

    \begin{align*} P \left( A \right) &= 1 - P\left( \overline{A} \right)\\ &= 1 - \frac{2}{3}\\ &= \frac{1}{3} \end{align*}

 

2 P \left( B \right)

 

Recordemos que P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) - P \left( A \cap B \right), por lo tanto, si despejamos P \left( B \right) obtenemos

 

    \begin{align*} P \left( B \right) &= P \left( A \cup B \right) + P \left( A \cap B \right) - P \left( A \right)\\ &= \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3}\\ &= \frac{2}{3} \end{align*}

 

3 P \left( A \cap \overline{B} \right)

 

Notemos que A \cap \overline{B} = A - B. Aplicando la probabilidad de la diferencia de sucesos tenemos

 

    \begin{align*} P \left( A \cap \overline{B} \right) &= P\left( A - B \right)\\ &= P\left( A \right) - P\left( A \cap B \right)\\ &= \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{1}{12} \end{align*}

 

4 P \left( B \cap \overline{A} \right)

 

Notemos que B \cap \overline{A} = B - A. Aplicando la probabilidad de la diferencia de sucesos tenemos

 

    \begin{align*} P \left( B \cap \overline{A} \right) &= P\left( B - A \right)\\ &= P\left( B \right) - P\left( B \cap A \right)\\ &= \frac{2}{3} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{5}{12} \end{align*}

 

Describe el espacio muestral dado el siguiente experimento.

 

Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describe el espacio muestral cuando:

 

1 La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.

 

2 La primera bola no se devuelve.

 

 

Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describe el espacio muestral cuando:

 

1 La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.

 

    {\scriptsize \[ E = \{ BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN \} \] }

 

2 La primera bola no se devuelve.

 

    \displaystyle {\scriptsize \[ E = \{ BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV \} \] }

 

Calcula las probabilidades indicadas según el siguiente experimento:

 

Una urna tiene ocho bolas rojas, cinco amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de que:

 

1 Sea roja.

 

2 Sea verde.

 

3 Sea amarilla.

 

4 No sea roja.

 

5 No sea amarilla.

 

Una urna tiene ocho bolas rojas, cinco amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de que:

 

1 Sea roja.

 

    • Casos favorables: 8.

 

  • Casos posibles: 8 + 5 + 7 = 20.

 

Por lo tanto, la probabilidad es

 

\displaystyle P \left( \text{Extraer una bola roja} \right) = \frac{8}{20} = 0.4

 

2 Sea verde.

 

    • Casos favorables: 7.

 

  • Casos posibles: 8 + 5 + 7 = 20.

 

Por lo tanto, la probabilidad es

 

\displaystyle P \left( \text{Extraer una bola verde} \right) = \frac{7}{20} = 0.35

 

3 Sea amarilla.

 

    • Casos favorables: 5.

 

  • Casos posibles: 8 + 5 + 7 = 20.

 

Por lo tanto, la probabilidad es

 

\displaystyle P \left( \text{Extraer una bola amarilla} \right) = \frac{5}{20} = 0.25

 

4 No sea roja.

 

    • Casos favorables: .

 

  • Casos posibles: 8 + 5 + 7 = 20.

 

Por lo tanto, la probabilidad es

 

\displaystyle P \left( \text{Al extraer una bola que no sea roja} \right) = \frac{12}{20} = 0.6

 

5 No sea amarilla.

 

    • Casos favorables: 13.

 

  • Casos posibles: 8 + 5 + 7 = 20.

 

Por lo tanto, la probabilidad es

 

\displaystyle P \left( \text{Extraer una bola que no sea amarilla} \right) = \frac{15}{20} = 0.75

 

Calcula las probabilidades indicadas según el siguiente experimento:

 

Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:

 

1 Con reemplazamiento (sacar la primera bola y volver a meterla antes de sacar la segunda).

2 Sin reemplazamiento (sacar la primera bola y no regresarla, sacar la segunda de las restantes).

 

Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:

 

1 Con reemplazamiento (sacar la primera bola y volver a meterla antes de sacar la segunda).

 

El espacio muestral está dado por

 

\displaystyle E = \{RR, RB, BR, BB\}

 

La extracción de dos bolas con reemplazamiento son sucesos independientes, puesto que la extracción de la primera bola no tiene ningún efecto sobre la segunda, por lo tanto

 

    \begin{align*} P \left( RR \right) &= \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{100}\\ &\\ P \left( BR \right) &= \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{21}{100}\\ &\\ P \left( RB \right) &= \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{21}{100}\\ &\\ P \left( BB \right) &= \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{49}{100}\\ \end{align*}

 

2 Sin reemplazamiento (sacar la primera bola y no regresarla, sacar la segunda de las restantes).

 

El espacio muestral está dado por

 

\displaystyle E = \{RR, RB, BR, BB\}

 

La extracción de dos bolas con reemplazamiento son sucesos dependientes, la extracción de la primera bola afecta la extracción de la segunda, por lo tanto

 

    \begin{align*} P \left( RR \right) &= \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{90}\\ &\\ P \left( BR \right) &= \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{21}{90}\\ &\\ P \left( RB \right) &= \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{21}{90}\\ &\\ P \left( BB \right) &= \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{42}{90}\\ \end{align*}

 

Calcula las probabilidades indicadas según el siguiente experimento:

 

Se extrae una bola de una urna que contiene cuatro bolas rojas, cinco blancas y seis negras.

 

 

1 ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca?

 

2 ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

 

Se extrae una bola de una urna que contiene cuatro bolas rojas, cinco blancas y seis negras.

 

1 ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca?

 

La extracción de dos bolas de distinto color son suceso incompatibles, es decir, que su intersección es el conjunto vacío. Por lo tanto

 

\displaystyle P \left( R \cup B \right) = \frac{4}{15} + \frac{5}{15} = \frac{3}{5}

 

2 ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

 

Recordemos que la probabilidad del suceso \overline{B} es igual a 1 menos la probabilidad del suceso B, así

 

\displaystyle P \left( \overline{B} \right) = 1 - \frac{5}{15} = \frac{2}{3}

 

Resuelve los siguientes problemas:

 

En una clase asisten 45 alumnos en donde hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Encontrar la probabilidad de que un alumno:

 

1 Sea hombre.

 

2 Sea mujer morena.

 

3 Sea hombre o mujer.

 

 

En una clase asisten 45 alumnos en donde hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Encontrar la probabilidad de que un alumno:

 

1 Sea hombre.

 

    • Casos favorables: 5 + 10 = 15.

 

  • Casos posibles: 10 + 20 + 5 + 10 = 45.

 

\displaystyle P \left( X = \text{Hombre} \right) = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}

 

2 Sea mujer morena.

 

    • Casos favorables: 20.

 

  • Casos posibles: 10 + 20 + 5 + 10 = 45.

 

\displaystyle P \left( X = \text{Mujer morena} \right) = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}

 

3 Sea hombre o mujer.

 

    • Casos favorables: 45.

 

  • Casos posibles: 10 + 20 + 5 + 10 = 45.

 

\displaystyle P \left( X = \text{Hombre o Mujer} \right) = \frac{45}{45} = 1

 

 

 

Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas.

 

Hallar:

1 La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.

 

2 La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

 

Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas.

 

Hallar:

1 La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.

 

Llamemos p a la probabilidad, dado que es proporcional a los números de los dados tendremos: P(1) = p, P(2) = 2p, P(3) = 3p, \dots. Además, su suma cumple que

 

\displaystyle p + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p = 1

 

Despejando p obtenemos

 

\displaystyle 21p = 1 \qquad \Rightarrow \qquad p = \frac{1}{21}

 

Por lo tanto, P(6) es

 

    \begin{align*} P(6) &= 6p\\ &\\ &= 6 \cdot \frac{1}{21}\\ &\\ &= \frac{2}{7} \end{align*}

 

2 La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

 

Los números impares serían, 1, 3 y 5, por lo tanto la probabilidad está dada por

 

    \begin{align*} P(X \, \text{impar}) &= P(1) + P(3) + p(5)\\ &\\ &= \frac{1}{21} + 3 \cdot \frac{1}{21} + 5 \cdot \frac{1}{21}\\ &\\ &= 9 \cdot \frac{1}{21}\\ &\\ &= \frac{3}{7} \end{align*}

 

 

Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

 

1 La probabilidad de que salga el 7.

 

2 La probabilidad de que el número obtenido sea par.

 

3 La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

 

 

Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

 

1 La probabilidad de que salga el 7.

 

    • Casos favorables: Los casos favorables son los 6 siguientes

      \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{matrix}.

 

  • Casos posibles: Para encontrar los casos posibles debemos calcular las variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 2 en 2,

    \displaystyle VR_{6,2} = 6^2 = 36.

 

Así, nuestra probabilidad de que los dados sumen 7 es

 

\displaystyle P(7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.

 

2 La probabilidad de que el número obtenido sea par.

 

    • Casos posibles: Por el inciso anterior sabemos que los casos posibles son 36.

 

  • Casos favorables: La cantidad de casos favorables, en los cuales la suma es par, es la mitad es la mitad de los casos posibles, esto dado que la suma de dos números pares es par y la suma de dos números impares es par, por lo tanto los casos favorables son 18.

 

Dado lo anterior, la probabilidad de que la suma sea par es

 

\displaystyle P(X \, \text{es par}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}.

 

3 La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

 

    • Casos favorables: Los casos favorables son los 12 siguientes

      \begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3\\ 2 & 5 & 1 & 4 & 3 & 6 \end{matrix}

       

      \begin{matrix} 4 & 4 & 5 & 5 & 6 & 6\\ 2 & 5 & 1 & 4 & 3 & 6 \end{matrix}

 

  • Casos posibles: De los incisos anteriores sabemos que los casos posibles son 36.

 

Así, nuestra probabilidad de que los dados sumen un múltiplo de 3 es

 

\displaystyle P(X \, \text{es múltiplo de} \, 3) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}.

 

 

Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:

 

1 Salga 6 en todos.

 

2 Los puntos obtenidos sumen 7.

 

 

Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:

 

1 Salga 6 en todos.

 

  • Casos favorables: Solamente tenemos un caso favorable.
  • Casos posibles: Para encontrar los casos posibles debemos calcular las variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 3 en 3,

    \displaystyle VR_{6,3} = 6^3 = 216.

 

Así, nuestra probabilidad de que todos los dados sean 6 es

 

\displaystyle P(\text{Todos los dados son} \, 6) = \frac{1}{216} = \frac{1}{3}.

 

2 Los puntos obtenidos sumen 7.

 

    • Casos favorables: Los casos favorables son los 15 siguientes

      \begin{matrix} 1 & 1 & 5\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 3\\ 1 & 4 & 2\\ 1 & 5 & 1\\ 2 & 1 & 4\\ 2 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 2\\ 2 & 4 & 1\\ 3 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 2\\ 3 & 3 & 1\\ 4 & 1 & 2\\ 4 & 2 & 1\\ 5 & 1 & 1\\ \end{matrix}

 

  • Casos posibles: Del inciso anterior sabemos que los casos posibles son 216.

 

Así, nuestra probabilidad de que los dados sumen 7 es

 

\displaystyle P(7) = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}.

 

 

 

Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

 

Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

 

El evento de fichas de dominó en donde se obtenga un número de puntos mayor que 9 está dado por

 

\displaystyle A = \left{ (4,6), (5,5), (5,6), (6,6) \right}

 

El evento de fichas de dominó en donde se obtenga un número de puntos mayor que 9 está dado por

 

\displaystyle B = \left{ (0,4), (1,3), (2,2), (2,6), (3,5), (4,4), (6,6) \right}

 

Por lo tanto, nuestro evento final a considerar es A \cup B. Además, el juego de dominó está compuesto por 28 fichas, por lo tanto, la probabilidad está dada por

 

    \begin{align*} P \left( A \cup B \right) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B)\\ &\\ &= \frac{4}{28} + \frac{7}{28} - \frac{1}{28}\\ &\\ &= \frac{10}{28} &\\ &= \frac{5}{14} \end{align*}

 

 

 

Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

 

1 Un número par.

 

2 Un múltiplo de tres.

 

3 Mayor que cuatro.

 

 

Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

 

1 Un número par.

 

    • Casos favorables: Los casos favorables son los 3 siguientes

      \left\{ 2, 4, 6\right\}

 

  • Casos posibles: Al ser un dado de 6 caras, tenemos 6 casos favorables.

 

Dado lo anterior, tenemos que la probabilidad es

 

\displaystyle P \left( X \; \text{es par}\right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.

 

2 Un múltiplo de tres.

 

    • Casos favorables: Los casos favorables son los 2 siguientes

      \left\{ 3, 6\right\}

 

  • Casos posibles: Al ser un dado de 6 caras, tenemos 6 casos favorables.

 

Dado lo anterior, tenemos que la probabilidad es

 

\displaystyle P \left( X \; \text{es múltiplo de} \; 3\right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.

 

3 Mayor que cuatro.

 

    • Casos favorables: Los casos favorables son los 2 siguientes

      \left\{ 5, 6\right\}

 

  • Casos posibles: Al ser un dado de 6 caras, tenemos 6 casos favorables.

 

Dado lo anterior, tenemos que la probabilidad es

 

\displaystyle P \left( X > 4\right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.

 

 

Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

 

1 Dos caras.

 

2 Dos cruces.

 

3 Una cara y una cruz.

 

 

Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

 

1 Dos caras.

 

Diagrama de árbol para espacio muestral

 

Son sucesos independientes, por lo tanto, dado que la probabilidad de que cada moneda sea cara es \frac{1}{2}, tenemos que

 

\displaystyle P \left( \text{Obtener dos caras}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.

 

2 Dos cruces.

 

Diagrama de árbol para espacio muestral

 

Al igual que el inciso anterior, son sucesos independientes, por lo tanto, dado que la probabilidad de que cada moneda sea cruz es \frac{1}{2}, tenemos que

 

\displaystyle P \left( \text{Obtener dos cruces}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.

 

3 Una cara y una cruz.

 

Diagrama de árbol para espacio muestral

 

La probabilidad de que obtengamos una cara y una cruz es la probabilidad de obtener el evento (cara, cruz) \cup (cruz, cara). Además, al igual que en inciso anteriores, son sucesos independientes, por lo tanto, dado que la probabilidad de que cada moneda sea cruz o cara es \frac{1}{2}, tenemos que

 

\displaystyle P \left( \text{Obtener una cara y una cruz}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}= \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.

 

 

En un sobre hay 20 papeletas, 8 llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche:

 

1 Si se saca una papeleta.

 

2 Si se extraen dos papeletas.

 

3 Si se extraen tres papeletas.

 

 

En un sobre hay 20 papeletas, 8 llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche:

 

1 Si se saca una papeleta.

 

Tenemos 8 casos favorables y 20 posibles, por lo tanto

 

\displaystyle P(C_1) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}.

 

2 Si se extraen dos papeletas.

 

Tenemos que la probabilidad de que al sacar 2 paletas al menos una tenga un coche es igual a 1 menos la probabilidad de que al sacar 2 paletas las dos sean blancas. Por lo tanto

 

    \begin{align*} P(C_2) &= 1 - P(2 \; \text{Blancas})\\ &\\ &= 1 - \frac{12}{20}\cdot \frac{11}{19}\\ &\\ &= \frac{62}{95} \end{align*}

 

3 Si se extraen tres papeletas.

 

Tenemos que la probabilidad de que al sacar 3 paletas al menos una tenga un coche es igual a 1 menos la probabilidad de que al sacar 3 paletas todas sean blancas. Por lo tanto

 

    \begin{align*} P(C_3) &= 1 - P(3 \; \text{Blancas})\\ &\\ &= 1 - \frac{12}{20}\cdot \frac{11}{19} \cdot \frac{10}{18}\\ &\\ &= \frac{46}{57} \end{align*}

 

 

Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades \frac{1}{2} y \frac{1}{5} de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de \frac{1}{10}. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

 

Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades \frac{1}{2} y \frac{1}{5} de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de \frac{1}{10}. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

 

Notemos que son sucesos compatibles porque P(A \cap B) \neq 0. Por lo tanto

 

    \begin{align*} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B)\\ &\\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10}\\ &\\ &= \frac{3}{5} \end{align*}

 

 

En Superprof te ayudamos con las matematicas secundaria.

Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo 1 pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

 

 

Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo 1 pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

 

Primero calculemos la probabilidad de que ambos maten una pieza. Esto es

 

\displaystyle P(A \cap B) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{5}

 

Notemos que, dado lo anterior, los sucesos son compatibles. Por lo tanto

 

    \begin{align*} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B)\\ &\\ &= \frac{2}{5} + \frac{1}{2} - \frac{1}{5}\\ &\\ &= \frac{7}{10} \end{align*}

 

 

Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

 

 

Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

 

Espacio muestral y casos favorables

 

Dada nuestra tabla anterior, tenemos que la probabilidad es

 

    \begin{align*} P(\text{H} \, \cup \, \text{O.C}) &= P(\text{H}) + P(\text{O.C}) - P(\text{H} \, \cap \, \text{O.C})\\ &\\ &= \frac{10}{30} + \frac{15}{30} - \frac{5}{30}\\ &\\ &= \frac{2}{3} \end{align*}

 

 

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La probabilidad de que un hombre viva 20 años es \frac{1}{4} y la de que su mujer viva 20 años es \frac{1}{3}. Se pide calcular la probabilidad:

 

1 De que ambos vivan 20 años.

 

2 De que el hombre viva 20 años y su mujer no.

 

3 De que ambos mueran antes de los 20 años.

 

 

La probabilidad de que un hombre viva 20 años es \frac{1}{4} y la de que su mujer viva 20 años es \frac{1}{3}. Se pide calcular la probabilidad:

 

1 De que ambos vivan 20 años.

 

Primero, notemos que son sucesos independientes, por lo tanto

 

\displaystyle P(\text{H} \, \cap \, \text{M}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}

 

2 De que el hombre viva 20 años y la mujer no.

 

    \begin{align*} P(\text{H} \, \cap \, \overline{\text{M}}) &= P(\text{H}) \left(1 - P(\overline{\text{M}}) \right)\\ &\\ &= \frac{1}{4} \left(1 -\frac{1}{3} \right)\\ &\\ & = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}\\ &\\ &= \frac{1}{6}\\ \end{align*}

 

3 De que ambos mueran antes de los 20 años.

 

    \begin{align*} P(\overline{\text{H}} \, \cap \, \overline{\text{M}}) &= \left( 1 - P(\overline{\text{H}}) \right) \left(1 - P(\overline{\text{M}}) \right)\\ &\\ &= \left(1 - \frac{1}{4} \right) \left(1 - \frac{1}{3} \right)\\ &\\ & = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}\\ &\\ &= \frac{1}{2}\\ \end{align*}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗