Dadas las siguientes probabilidades, calcular lo que se pide

Probabilidad de los eventos A, B y C

Hallar:

1Probabilidad de la unión de 2 eventos
2Probabilidad del suceso contrario
3Probabilidad del suceso contrario
4Probabilidad de la intersección de sucesos contrarios
5Probabilidad de la unión de sucesos contrarios
6 Probabilidad de una intersección
7 Probabilidad de una intersección

 

Sean A y B dos sucesos aleatorios con:

Probabilidad de los eventos

Hallar:

 

1 Probabilidad de la unión de 2 eventos

Los sucesos son compatibles porque la intersección es distinta del ∅

Resultado de la probabilidad

 

2 Probabilidad del suceso contrario

Las probabilidad del suceso contrario de A es igual a 1 (probabilidad total)
menos la probabilidad de A

Resultado de la probabilidad

 

3 Probabilidad del suceso contrario

La probabilidad del suceso contrario de B es igual a 1 menos la probabilidad de B

Resultado de la probabilidad

 

4 Probabilidad de la intersección de sucesos contrarios

Aplicamos las leyes de Morgan y después la probabilidad del suceso contrario

Resultado de la probabilidad

 

5 Probabilidad de la unión de sucesos contrarios

Aplicamos las leyes de Morgan y después la probabilidad del suceso contrario

Resultado de la probabilidad

 

6 Probabilidad de una intersección

Aplicamos la probabilidad de la diferencia de sucesos:
p(A – B) = p(A ∩ B) = p(A) – p(A ∩ B)

Resultado de la probabilidad

 

7 Probabilidad de una intersección

Aplicamos la probabilidad de la diferencia de sucesos:

Resultado de la probabilidad

Sean A y B dos sucesos aleatorios con:

Probabilidad de los eventos

Hallar:

1Probabilidad de A
2Probabilidad de B
3 Probabilidad de una intersección
4 Probabilidad de una intersección

 

Sean A y B dos sucesos aleatorios con:

Probabilidad de los eventos

Hallar:

 

1 Probabilidad de A

Obtenemos P(A) por medio de la probabilidad del suceso contrario

Resultado de la probabilidad

 

2 Probabilidad B

A y B son sucesos compatibles porque su intersección es \frac{1}{4}, entonces:

Formula para la probabilidad de una unión

 

Aplicamos la probabilidad de la unión de sucesos compatibles

Formula para la probabilidad de una unión

Resultado de la probabilidad

 

3 Probabilidad de una intersección

Aplicamos la probabilidad de la diferencia de sucesos:
p(A – B) = p(A ∩ B) = p(A) – p(A ∩ B)

 

Formula para la probabilidad de una intersección

Resultado de la probabilidad

 

4 Probabilidad de una intersección

Aplicamos la probabilidad de la diferencia de sucesos

Formula para la probabilidad de una intersección

Resultado de la probabilidad

Primer ejercicio de "bolas en una urna"

Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja,
otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando:

1 La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.
2 La primera bola no se devuelve.

 

Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja,
otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando:

 

1La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.

E = {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN}

 

2La primera bola no se devuelve.

E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV}

Segundo ejercicio de "bolas en una urna"

Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una
bola al azar calcular la probabilidad de:

1 Sea roja.
2 Sea verde.
3 Sea amarilla.
4 No sea roja.
5 No sea amarilla.

 

Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una
bola al azar calcular la probabilidad de:
1 Sea roja.

Casos favorables: 8

Casos posibles : 8 + 5 + 7 = 20

Resultado de la probabilidad

 

2 Sea verde.

Casos favorables: 7

Casos posibles : 20

Resultado de la probabilidad

 

3 Sea amarilla.

Casos favorables: 5

Casos posibles : 20

Resultado de la probabilidad

 

4 No sea roja.

Casos favorables: 20 – 8 = 12

Casos posibles : 20

P(no roja) = \frac{12}{20} = 0.6


También podemos calcular la probabilidad por el suceso contrario= 0.6

Resultado de la probabilidad

 

5 No sea amarilla.

Aplicamos el suceso contrario de ser amarilla

Resultado de la probabilidad

Tercer ejercicio de "bolas en una urna"

Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar.
Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:

1 Con reemplazamiento.
2 Sin reemplazamiento.

 

Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar.
Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:

1 Con reemplazamiento.

Espacio muestral

 

La extracción de dos bolas con reemplazamiento son sucesos independientes,
puesto que la extracción de la primera bola no tiene ningún efecto sobre la segunda

Resultados de la probabilidad

Resultados de la probabilidad

 

2 Sin reemplazamiento.

La extracción de dos bolas sin reemplazamiento son sucesos dependientes, puesto
que la extracción de la primera bola afecta a la segunda, cambiando el número de
casos favorables (3 – 1 = 2)  y  también al de los casos posibles (10 – 1 = 9)

Resultados de la probabilidad

Resultados de la probabilidad

Cuarto ejercicio de "bolas en una urna"

Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras.
¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca?
¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

 

Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras.
¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca?
¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

La extracción de dos bolas de distinto color son suceso incompatibles, es decir,
que su intersección es el conjunto vacío

Resultado de la probabilidad

 

Calculamos la probabilidad del suceso contrario

Resultado de la probabilidad

Ejercicio sobre alumnos en la escuela

En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos.
Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno:

1 Sea hombre.
2 Sea mujer morena.
3 Sea hombre o mujer.

 

En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos.
Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno:

1 Sea hombre.

Casos favorables: 5 + 10

Casos posibles : 10 + 20 + 5 + 10 = 45

Resultado de la probabilidad

 

2 Sea mujer morena.

Casos favorables: 20

Casos posibles : 45

Resultado de la probabilidad

 

3 Sea hombre o mujer.

La suma de hombres y mujeres equivale al suceso seguro (E) cuya probabilidad es 1

Resultado de la probabilidad

Primer ejercicio sobre dados

Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas
caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:

1 La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
2 La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

 

Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas
caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:

 

1 La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.

Suma de probabilidades

Llamemos p a la probabilidad, como es proporcional a los números de los dados
tendremos: p, 2p, 3p,... y cuya suma es p(E) = 1

Suma de probabilidades

 

Resolvemos la ecuación

Resultado de la probabilidad

Resultado de la probabilidad

 

2 La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

La probabilidad de los tres sucesos que son incompatibles será:

Suma de probabilidades

 

Sustituimos el valor de p:

Resultado de la probabilidad

Segundo ejercicio sobre dados

Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

1 La probabilidad de que salga el 7.
2 La probabilidad de que el número obtenido sea par.
3 La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

 

Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

 

1 La probabilidad de que salga el 7.

Combinaciones para obtener el resultado deseado

Casos favorables: 6

Casos posibles : Variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 2 en 2.

VR6,2 = 6² = 36

Resultado de la probabilidad

 

2 La probabilidad de que el número obtenido sea par.

Casos posibles : Variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 2 en 2.

VR6,2 = 6² = 36

Casos favorables: Suman par, la mitad de los casos posibles.

Resultado de la probabilidad

 

3 La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres

Combinaciones para obtener el resultado deseado

Casos favorables: 12

Casos posibles : VR6,2 = 6² = 36

Resultado de la probabilidad

Tercer ejercicio sobre dados

Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:

1 Salga 6 en todos.
2 Los puntos obtenidos sumen 7.

 

Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:

1 Salga 6 en todos.

Son sucesos independientes, el resultado de un dado no afecta a los otros

Resultado de la probabilidad

 

2 Los puntos obtenidos sumen 7.

Combinaciones para obtener el resultado deseado

Casos favorables: 15

Casos posibles : Variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 3 en 3.

VR6,3 = 6³ = 216

Resultado de la probabilidad

Ejercicio sobre fichas de domino

Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga
un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

 

Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga
un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

Casos favorables

Casos favorables

 

Vemos que son sucesos compatibles porque (6,6) es común, por tanto A ∩ B ≠ ∅

Resultado de la probabilidad

 

Cuarto ejercicio sobre dados

Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

1 Un número par.
2 Un múltiplo de tres.
3 Mayor que cuatro.

 

Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

1 Un número par.

Casos favorables: 3 (2, 4, 6)

Casos posibles : 6

Resultado de la probabilidad

 

2 Un múltiplo de tres.

Casos favorables: 2 (3, 6)

Casos posibles : 6

Resultado de la probabilidad

 

3 Mayor que cuatro.

Casos favorables: 2 (5, 6)

Casos posibles : 6

Resultado de la probabilidad

 

Ejercicio sobre monedas

Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

1 Dos caras.
2 Dos cruces.
3 Una cara y una cruz.

 

Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

1 Dos caras.

Diagrama de árbol para espacio muestral

Son sucesos independientes

Resultado de la probabilidad

 

2 Dos cruces.

Son sucesos independientes

Resultado de la probabilidad

 

3 Una cara y una cruz.

La probabilidad de sacar una cara y una cruz sería la probabilidad de cx o de xc:

P(c ∩ x) ∪ P(x ∩ c)

Resultado de la probabilidad

 

Ejercicio sobre papeletas en un sobre

En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes
son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el
dibujo de un coche:

1 Si se saca una papeleta.
2 Si se extraen dos papeletas.
3 Si se extraen tres papeletas.

 

En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes
son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el
dibujo de un coche:

1 Si se saca una papeleta.

Resultado de la probabilidad

 

2 Si se extraen dos papeletas.

La probabilidad de al menos una papeleta con el coche será igual a 1 menos la
probabilidad de sacar dos papeletas blancas

Tenemos en cuenta que sacar dos papeletas blancas son sucesos dependientes

Resultado de la probabilidad

 

3 Si se extraen tres papeletas.

La probabilidad de al menos una papeleta con el coche será igual a 1 menos la
probabilidad de sacar tres papeletas blancas

Resultado de la probabilidad

 

Ejercicio sobre estudiantes y la suspensión de exámenes

Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5
de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen
simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al
menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

 

Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5
de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen
simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al
menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

Son sucesos compatibles porque A ∩ B ≠∅

Resultado de la probabilidad

 

Ejercicio sobre cacería

Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2 piezas
cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan
al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

 

Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2 piezas
cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan
al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

Probabilidad de los eventos

Son sucesos compatibles porque A ∩ B ≠∅

Resultado de la probabilidad

 

Ejercicio sobre color de ojos en hombres y mujeres

Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad
de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una
persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

 

Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad
de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una
persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

Espacio muestral y casos favorables

 

Son sucesos compatibles

Resultado de la probabilidad

 

Ejercicio sobre promedios de vida

La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que
su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:

1 De que ambos vivan 20 años.

2 De que el hombre viva 20 años y su mujer no.

3 De que ambos mueran antes de los 20 años.

 

La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que
su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:

1 De que ambos vivan 20 años.

Son sucesos independientes

Resultado de la probabilidad

 

2 De que el hombre viva 20 años y su mujer no.

La diferencia de sucesos, H − M, es el suceso formado por todos los elementos
de A que no son de B.

Resultado de la probabilidad

 

3 De que ambos mueran antes de los 20 años.

Resultado de la probabilidad

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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