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Calcular las probabilidades que se piden dada la siguiente información

 

Sean A y B dos sucesos aleatorios con

 

\displaystyle P(A) = \frac{3}{8}, \qquad P(B) = \frac{1}{2}, \qquad P(A \cap B) = \frac{1}{2}

 

Hallar:

 

1 P \left( A \cup B \right)

 

2 P \left( \overline{A} \right)

 

3 P \left( \overline{B} \right)

 

4 P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right)

 

5 P \left( A \cap \overline{B} \right)

 

6 P \left( \overline{A} \cup \overline{B} \right)

 

7 P \left( B \cap \overline{A} \right)

 

 

Sean A y B dos sucesos aleatorios con

 

\displaystyle P(A) = \frac{3}{8}, \qquad P(B) = \frac{1}{2}, \qquad P(A \cap B) = \frac{1}{2}

 

Hallar:

 

1 P \left( A \cup B \right)

 

Los sucesos son compatibles porque la intersección es distinta del vacío, \qquad A \cap B \neq \emptyset \qquad, dado que su probabilidad no es nula. Por lo tanto

 

     \begin{align*} P \left( A \cup B \right) &= P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( A \cap B \right)\\ &= \frac{3}{8} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{5}{8} \end{align*}

 

2 P \left( \overline{A} \right)

 

Las probabilidad de \overline{A} es igual a 1 (probabilidad total) menos la probabilidad del suceso A

 

     \begin{align*} P \left( \overline{A} \right) &= 1 - P\left( A \right)\\ &= 1 - \frac{5}{8}\\ &= \frac{3}{8} \end{align*}

 

3 P \left( \overline{B} \right)

 

La probabilidad de \overline{B} es igual a 1 (probabilidad total) menos la probabilidad del suceso B

 

     \begin{align*} P \left( \overline{B} \right) &= 1 - P\left( B \right)\\ &= 1 - \frac{1}{2}\\ &= \frac{1}{2} \end{align*}

 

4 P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right)

 

Aplicando las leyes de Morgan obtenemos

 

\displaystyle \overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}

 

Además, la probabilidad de \overline{A \cup B} es igual a 1 (probabilidad total) menos la probabilidad del suceso A \cup B, por lo tanto

 

     \begin{align*} P \left( \overline{A} \cap \overline{B} \right) &= P\left( \overline{A \cup B} \right)\\ &= 1 - P\left( A \cup B \right)\\ &= 1 - \frac{5}{8}\\ &= \frac{3}{8} \end{align*}

 

5 P \left( A \cap \overline{B} \right)

 

Notemos que A \cap \overline{B} = A - B. Aplicando la probabilidad de la diferencia de sucesos tenemos

 

     \begin{align*} P \left( A \cap \overline{B} \right) &= P\left( A - B \right)\\ &= P\left( A \right) - P\left( A \cap B \right)\\ &= \frac{3}{8} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{1}{8} \end{align*}

 

6 P \left( \overline{A} \cup \overline{B} \right)

Aplicando las leyes de Morgan obtenemos

 

\displaystyle \overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}

 

Además, la probabilidad de \overline{A \cap B} es igual a 1 (probabilidad total) menos la probabilidad del suceso A \cap B, por lo tanto

 

     \begin{align*} P \left( \overline{A} \cup \overline{B} \right) &= P\left( \overline{A \cap B} \right)\\ &= 1 - P\left( A \cap B \right)\\ &= 1 - \frac{1}{4}\\ &= \frac{3}{4} \end{align*}

 

7 P \left( B \cap \overline{A} \right)

 

Notemos que B \cap \overline{A} = B - A. Aplicando la probabilidad de la diferencia de sucesos tenemos

 

     \begin{align*} P \left( B \cap \overline{A} \right) &= P\left( B - A \right)\\ &= P\left( B \right) - P\left( B \cap A \right)\\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{1}{4} \end{align*}

 

Superprof

Calcula lo que se pide dados los siguientes sucesos y sus probabilidades

 

\displaystyle P(\overline{A}) = \frac{2}{3}, \qquad P( A \cup B ) = \frac{3}{4}, \qquad P(A \cap B) = \frac{1}{4}

 

Encontrar:

 

1 P \left( A \right)

 

2 P \left( B \right)

 

3 P \left( A \cap \overline{B} \right)

 

4 P \left( B \cap \overline{A} \right)

 

Calcula lo que se pide dados los siguientes sucesos y sus probabilidades.

 

\displaystyle P(\overline{A}) = \frac{2}{3}, \qquad P( A \cup B ) = \frac{3}{4}, \qquad P(A \cap B) = \frac{1}{4}

 

Encontrar:

 

1 P \left( A \right)

 

La probabilidad de A = \overline{\overline{A}} es igual a 1 (probabilidad total) menos la probabilidad del suceso \overline{A}

 

     \begin{align*} P \left( A \right) &= 1 - P\left( \overline{A} \right)\\ &= 1 - \frac{2}{3}\\ &= \frac{1}{3} \end{align*}

 

2 P \left( B \right)

 

Recordemos que P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) - P \left( A \cap B \right), por lo tanto, si despejamos P \left( B \right) obtenemos

 

     \begin{align*} P \left( B \right) &= P \left( A \cup B \right) + P \left( A \cap B \right) - P \left( A \right)\\ &= \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3}\\ &= \frac{2}{3} \end{align*}

 

3 P \left( A \cap \overline{B} \right)

 

Notemos que A \cap \overline{B} = A - B. Aplicando la probabilidad de la diferencia de sucesos tenemos

 

     \begin{align*} P \left( A \cap \overline{B} \right) &= P\left( A - B \right)\\ &= P\left( A \right) - P\left( A \cap B \right)\\ &= \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{1}{12} \end{align*}

 

4 P \left( B \cap \overline{A} \right)

 

Notemos que B \cap \overline{A} = B - A. Aplicando la probabilidad de la diferencia de sucesos tenemos

 

     \begin{align*} P \left( B \cap \overline{A} \right) &= P\left( B - A \right)\\ &= P\left( B \right) - P\left( B \cap A \right)\\ &= \frac{2}{3} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{5}{12} \end{align*}

 

Describe el espacio muestral dado el siguiente experimento

 

Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describe el espacio muestral cuando:

 

1 La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.

 

2 La primera bola no se devuelve.

 

 

Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describe el espacio muestral cuando:

 

1 La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.

 

     {\scriptsize \[ E = \{ BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN \} \] }

 

2 La primera bola no se devuelve.

 

    \displaystyle {\scriptsize \[ E = \{ BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV \} \] }

 

Calcular las probabilidades indicadas según el siguiente experimento 1

 

Una urna tiene ocho bolas rojas, cinco amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de que:

 

1 Sea roja.

 

2 Sea verde.

 

3 Sea amarilla.

 

4 No sea roja.

 

5 No sea amarilla.

 

Una urna tiene ocho bolas rojas, cinco amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de que:

 

1 Sea roja.

 

    • Casos favorables: 8.

 

  • Casos posibles: 8 + 5 + 7 = 20.

 

Por lo tanto, la probabilidad es

 

\displaystyle P \left( \text{Extraer una bola roja} \right) = \frac{8}{20} = 0.4

 

2 Sea verde.

 

    • Casos favorables: 7.

 

  • Casos posibles: 8 + 5 + 7 = 20.

 

Por lo tanto, la probabilidad es

 

\displaystyle P \left( \text{Extraer una bola verde} \right) = \frac{7}{20} = 0.35

 

3 Sea amarilla.

 

    • Casos favorables: 5.

 

  • Casos posibles: 8 + 5 + 7 = 20.

 

Por lo tanto, la probabilidad es

 

\displaystyle P \left( \text{Extraer una bola amarilla} \right) = \frac{5}{20} = 0.25

 

4 No sea roja.

 

    • Casos favorables: .

 

  • Casos posibles: 8 + 5 + 7 = 20.

 

Por lo tanto, la probabilidad es

 

\displaystyle P \left( \text{Al extraer una bola que no sea roja} \right) = \frac{12}{20} = 0.6

 

5 No sea amarilla.

 

    • Casos favorables: 13.

 

  • Casos posibles: 8 + 5 + 7 = 20.

 

Por lo tanto, la probabilidad es

 

\displaystyle P \left( \text{Extraer una bola que no sea amarilla} \right) = \frac{15}{20} = 0.75

 

Calcular las probabilidades indicadas según el siguiente experimento 2

 

Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:

 

1 Con reemplazamiento (sacar la primera bola y volver a meterla antes de sacar la segunda).

2 Sin reemplazamiento (sacar la primera bola y no regresarla, sacar la segunda de las restantes).

 

Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:

 

1 Con reemplazamiento (sacar la primera bola y volver a meterla antes de sacar la segunda).

 

El espacio muestral está dado por

 

\displaystyle E = \{RR, RB, BR, BB\}

 

La extracción de dos bolas con reemplazamiento son sucesos independientes, puesto que la extracción de la primera bola no tiene ningún efecto sobre la segunda, por lo tanto

 

     \begin{align*} P \left( RR \right) &= \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{100}\\ &\\ P \left( BR \right) &= \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{21}{100}\\ &\\ P \left( RB \right) &= \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{21}{100}\\ &\\ P \left( BB \right) &= \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{49}{100}\\ \end{align*}

 

2 Sin reemplazamiento (sacar la primera bola y no regresarla, sacar la segunda de las restantes).

 

El espacio muestral está dado por

 

\displaystyle E = \{RR, RB, BR, BB\}

 

La extracción de dos bolas con reemplazamiento son sucesos dependientes, la extracción de la primera bola afecta la extracción de la segunda, por lo tanto

 

     \begin{align*} P \left( RR \right) &= \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{90}\\ &\\ P \left( BR \right) &= \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{21}{90}\\ &\\ P \left( RB \right) &= \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{21}{90}\\ &\\ P \left( BB \right) &= \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{42}{90}\\ \end{align*}

 

Calcular las probabilidades indicadas según el siguiente experimento 3

 

Se extrae una bola de una urna que contiene cuatro bolas rojas, cinco blancas y seis negras.

 

 

1 ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca?

 

2 ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

 

 

Se extrae una bola de una urna que contiene cuatro bolas rojas, cinco blancas y seis negras.

 

1 ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca?

 

La extracción de dos bolas de distinto color son suceso incompatibles, es decir, que su intersección es el conjunto vacío. Por lo tanto

 

\displaystyle P \left( R \cup B \right) = \frac{4}{15} + \frac{5}{15} = \frac{3}{5}

 

2 ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

 

Recordemos que la probabilidad del suceso \overline{B} es igual a 1 menos la probabilidad del suceso B, así

 

\displaystyle P \left( \overline{B} \right) = 1 - \frac{5}{15} = \frac{2}{3}

 

Ejercicio sobre alumnos en la escuela

 

En una clase asisten 45 alumnos en donde hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Encontrar la probabilidad de que un alumno:

 

1 Sea hombre.

 

2 Sea mujer morena.

 

3 Sea hombre o mujer.

 

 

 

En una clase asisten 45 alumnos en donde hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Encontrar la probabilidad de que un alumno:

 

1 Sea hombre.

 

    • Casos favorables: 5 + 10 = 15.

 

  • Casos posibles: 10 + 20 + 5 + 10 = 45.

 

\displaystyle P \left( X = \text{Hombre} \right) = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}

 

2 Sea mujer morena.

 

    • Casos favorables: 20.

 

  • Casos posibles: 10 + 20 + 5 + 10 = 45.

 

\displaystyle P \left( X = \text{Mujer morena} \right) = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}

 

3 Sea hombre o mujer.

 

    • Casos favorables: 45.

 

  • Casos posibles: 10 + 20 + 5 + 10 = 45.

 

\displaystyle P \left( X = \text{Hombre o Mujer} \right) = \frac{45}{45} = 1

 

 

Primer ejercicio sobre dados

 

Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas.

 

Hallar:

1 La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.

 

2 La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

 

Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas.

 

Hallar:

1 La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.

 

Llamemos p a la probabilidad, dado que es proporcional a los números de los dados tendremos: P(1) = p, P(2) = 2p, P(3) = 3p, \dots. Además, su suma cumple que

 

\displaystyle p + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p = 1

 

Despejando p obtenemos

 

\displaystyle 21p = 1 \qquad \Rightarrow \qquad p = \frac{1}{21}

 

Por lo tanto, P(6) es

 

     \begin{align*} P(6) &= 6p\\ &\\ &= 6 \cdot \frac{1}{21}\\ &\\ &= \frac{2}{7} \end{align*}

 

2 La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

 

Los números impares serían, 1, 3 y 5, por lo tanto la probabilidad está dada por

 

     \begin{align*} P(X \, \text{impar}) &= P(1) + P(3) + p(5)\\ &\\ &= \frac{1}{21} + 3 \cdot \frac{1}{21} + 5 \cdot \frac{1}{21}\\ &\\ &= 9 \cdot \frac{1}{21}\\ &\\ &= \frac{3}{7} \end{align*}

 

Segundo ejercicio sobre dados

 

Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

 

1 La probabilidad de que salga el 7.

 

2 La probabilidad de que el número obtenido sea par.

 

3 La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

 

 

Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

 

1 La probabilidad de que salga el 7.

 

    • Casos favorables: Los casos favorables son los 6 siguientes

       \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{matrix}.

 

  • Casos posibles: Para encontrar los casos posibles debemos calcular las variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 2 en 2

    \displaystyle VR_{6,2} = 6^2 = 36.

 

Así, nuestra probabilidad de que los dados sumen 7 es

 

\displaystyle P(7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.

 

2 La probabilidad de que el número obtenido sea par.

 

    • Casos posibles: Por el inciso anterior sabemos que los casos posibles son 36.

 

  • Casos favorables: La cantidad de casos favorables, en los cuales la suma es par, es la mitad es la mitad de los casos posibles, esto dado que la suma de dos números pares es par y la suma de dos números impares es par, por lo tanto los casos favorables son 18.

 

Dado lo anterior, la probabilidad de que la suma sea par es

 

\displaystyle P(X \, \text{es par}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}.

 

3 La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

 

    • Casos favorables: Los casos favorables son los 12 siguientes

       \begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3\\ 2 & 5 & 1 & 4 & 3 & 6 \end{matrix}

       

       \begin{matrix} 4 & 4 & 5 & 5 & 6 & 6\\ 2 & 5 & 1 & 4 & 3 & 6 \end{matrix}

 

  • Casos posibles: De los incisos anteriores sabemos que los casos posibles son 36.

 

Así, nuestra probabilidad de que los dados sumen un múltiplo de 3 es

 

\displaystyle P(X \, \text{es múltiplo de} \, 3) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}.

 

Tercer ejercicio sobre dados

 

Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:

 

1 Salga 6 en todos.

 

2 Los puntos obtenidos sumen 7.

 

 

Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:

 

1 Salga 6 en todos.

 

  • Casos favorables: Solamente tenemos un caso favorable.
  • Casos posibles: Para encontrar los casos posibles debemos calcular las variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 3 en 3

    \displaystyle VR_{6,3} = 6^3 = 216.

 

Así, nuestra probabilidad de que todos los dados sean 6 es

 

\displaystyle P(\text{Todos los dados son} \, 6) = \frac{1}{216} = \frac{1}{3}.

 

2 Los puntos obtenidos sumen 7.

 

    • Casos favorables: Los casos favorables son los 15 siguientes

       \begin{matrix} 1 & 1 & 5\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 3\\ 1 & 4 & 2\\ 1 & 5 & 1\\ 2 & 1 & 4\\ 2 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 2\\ 2 & 4 & 1\\ 3 & 1 & 3\\ 3 & 2 & 2\\ 3 & 3 & 1\\ 4 & 1 & 2\\ 4 & 2 & 1\\ 5 & 1 & 1\\ \end{matrix}

 

  • Casos posibles: Del inciso anterior sabemos que los casos posibles son 216.

 

Así, nuestra probabilidad de que los dados sumen 7 es

 

\displaystyle P(7) = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}.

 

 

Ejercicio sobre fichas de dominó

 

Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

 

Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

 

El evento de fichas de dominó en donde se obtenga un número de puntos mayor que 9 está dado por

 

\displaystyle A = \left{ (4,6), (5,5), (5,6), (6,6) \right}

 

El evento de fichas de dominó en donde se obtenga un número de puntos mayor que 9 está dado por

 

\displaystyle B = \left{ (0,4), (1,3), (2,2), (2,6), (3,5), (4,4), (6,6) \right}

 

Por lo tanto, nuestro evento final a considerar es A \cup B. Además, el juego de dominó está compuesto por 28 fichas, por lo tanto, la probabilidad está dada por

 

     \begin{align*} P \left( A \cup B \right) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B)\\ &\\ &= \frac{4}{28} + \frac{7}{28} - \frac{1}{28}\\ &\\ &= \frac{10}{28} &\\ &= \frac{5}{14} \end{align*}

 

 

Cuarto ejercicio sobre dados

 

Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

 

1 Un número par.

 

2 Un múltiplo de tres.

 

3 Mayor que cuatro.

 

 

Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

 

1 Un número par.

 

    • Casos favorables: Los casos favorables son los 3 siguientes

       \left\{ 2, 4, 6\right\}

 

  • Casos posibles: Al ser un dado de 6 caras, tenemos 6 casos favorables.

 

Dado lo anterior, tenemos que la probabilidad es

 

\displaystyle P \left( X \; \text{es par}\right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.

 

2 Un múltiplo de tres.

 

    • Casos favorables: Los casos favorables son los 2 siguientes

       \left\{ 3, 6\right\}

 

  • Casos posibles: Al ser un dado de 6 caras, tenemos 6 casos favorables.

 

Dado lo anterior, tenemos que la probabilidad es

 

\displaystyle P \left( X \; \text{es múltiplo de} \; 3\right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.

 

3 Mayor que cuatro.

 

    • Casos favorables: Los casos favorables son los 2 siguientes

       \left\{ 5, 6\right\}

 

  • Casos posibles: Al ser un dado de 6 caras, tenemos 6 casos favorables.

 

Dado lo anterior, tenemos que la probabilidad es

 

\displaystyle P \left( X > 4\right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.

 

Ejercicio sobre monedas

 

Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

 

1 Dos caras.

 

2 Dos cruces.

 

3 Una cara y una cruz.

 

 

Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

 

1 Dos caras.

 

Diagrama de árbol para espacio muestral

 

Son sucesos independientes, por lo tanto, dado que la probabilidad de que cada moneda sea cara es \frac{1}{2}, tenemos que

 

\displaystyle P \left( \text{Obtener dos caras}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.

 

2 Dos cruces.

 

Diagrama de árbol para espacio muestral

 

Al igual que el inciso anterior, son sucesos independientes, por lo tanto, dado que la probabilidad de que cada moneda sea cruz es \frac{1}{2}, tenemos que

 

\displaystyle P \left( \text{Obtener dos cruces}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.

 

3 Una cara y una cruz.

 

Diagrama de árbol para espacio muestral

 

La probabilidad de que obtengamos una cara y una cruz es la probabilidad de obtener el evento (cara, cruz) \cup (cruz, cara). Además, al igual que en inciso anteriores, son sucesos independientes, por lo tanto, dado que la probabilidad de que cada moneda sea cruz o cara es \frac{1}{2}, tenemos que

 

\displaystyle P \left( \text{Obtener una cara y una cruz}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}= \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.

 

Ejercicio sobre papeletas en un sobre

 

En un sobre hay 20 papeletas, 8 llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche:

 

1 Si se saca una papeleta.

 

2 Si se extraen dos papeletas.

 

3 Si se extraen tres papeletas.

 

 

En un sobre hay 20 papeletas, 8 llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche:

 

1 Si se saca una papeleta.

 

Tenemos 8 casos favorables y 20 posibles, por lo tanto

 

\displaystyle P(C_1) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}.

 

2 Si se extraen dos papeletas.

 

Tenemos que la probabilidad de que al sacar 2 paletas al menos una tenga un coche es igual a 1 menos la probabilidad de que al sacar 2 paletas las dos sean blancas. Por lo tanto

 

     \begin{align*} P(C_2) &= 1 - P(2 \; \text{Blancas})\\ &\\ &= 1 - \frac{12}{20}\cdot \frac{11}{19}\\ &\\ &= \frac{62}{95} \end{align*}

 

3 Si se extraen tres papeletas.

 

Tenemos que la probabilidad de que al sacar 3 paletas al menos una tenga un coche es igual a 1 menos la probabilidad de que al sacar 3 paletas todas sean blancas. Por lo tanto

 

     \begin{align*} P(C_3) &= 1 - P(3 \; \text{Blancas})\\ &\\ &= 1 - \frac{12}{20}\cdot \frac{11}{19} \cdot \frac{10}{18}\\ &\\ &= \frac{46}{57} \end{align*}

 

 

Ejercicio sobre estudiantes y la suspención de exámenes

 

Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades \frac{1}{2} y \frac{1}{5} de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de \frac{1}{10}. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

 

Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades \frac{1}{2} y \frac{1}{5} de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de \frac{1}{10}. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

 

Notemos que son sucesos compatibles porque P(A \cap B) \neq 0. Por lo tanto

 

     \begin{align*} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B)\\ &\\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10}\\ &\\ &= \frac{3}{5} \end{align*}

 

Ejercicio sobre cacería

 

Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo 1 pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

 

 

Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo 1 pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

 

Primero calculemos la probabilidad de que ambos maten una pieza. Esto es

 

\displaystyle P(A \cap B) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{5}

 

Notemos que, dado lo anterior, los sucesos son compatibles. Por lo tanto

 

     \begin{align*} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B)\\ &\\ &= \frac{2}{5} + \frac{1}{2} - \frac{1}{5}\\ &\\ &= \frac{7}{10} \end{align*}

 

Ejercicio sobre color de ojos en hombres y mujeres

 

Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

 

 

Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

 

Espacio muestral y casos favorables

 

Dada nuestra tabla anterior, tenemos que la probabilidad es

 

     \begin{align*} P(\text{H} \, \cup \, \text{O.C}) &= P(\text{H}) + P(\text{O.C}) - P(\text{H} \, \cap \, \text{O.C})\\ &\\ &= \frac{10}{30} + \frac{15}{30} - \frac{5}{30}\\ &\\ &= \frac{2}{3} \end{align*}

 

 

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Ejercicio sobre promedios de vida

 

La probabilidad de que un hombre viva 20 años es \frac{1}{4} y la de que su mujer viva 20 años es \frac{1}{3}. Se pide calcular la probabilidad:

 

1 De que ambos vivan 20 años.

 

2 De que el hombre viva 20 años y su mujer no.

 

3 De que ambos mueran antes de los 20 años.

 

 

La probabilidad de que un hombre viva 20 años es \frac{1}{4} y la de que su mujer viva 20 años es \frac{1}{3}. Se pide calcular la probabilidad:

 

1 De que ambos vivan 20 años.

 

Primero, notemos que son sucesos independientes, por lo tanto

 

\displaystyle P(\text{H} \, \cap \, \text{M}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}

 

2 De que el hombre viva 20 años y la mujer no.

 

     \begin{align*} P(\text{H} \, \cap \, \overline{\text{M}}) &= P(\text{H}) \left(1 - P(\overline{\text{M}}) \right)\\ &\\ &= \frac{1}{4} \left(1 -\frac{1}{3} \right)\\ &\\ & = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}\\ &\\ &= \frac{1}{6}\\ \end{align*}

 

3 De que ambos mueran antes de los 20 años.

 

     \begin{align*} P(\overline{\text{H}} \, \cap \, \overline{\text{M}}) &= \left( 1 - P(\overline{\text{H}}) \right) \left(1 - P(\overline{\text{M}}) \right)\\ &\\ &= \left(1 - \frac{1}{4} \right) \left(1 - \frac{1}{3} \right)\\ &\\ & = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}\\ &\\ &= \frac{1}{2}\\ \end{align*}

 

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Marta

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Garcia
Garcia
Invité
30 Ago.

Gracias! Me sirvió

Superprof
Superprof
Administrateur
5 Sep.

¡Con mucho gusto! 🙂

rueda
rueda
Invité
24 Sep.

gracias que buenos ejercicios

rueda
rueda
Invité
24 Sep.

que buena pagina.

Diego Castañeda Escamilla
Diego Castañeda Escamilla
Invité
8 Oct.

3. lanzar dos dados distintos al tiempo.
a. la suma de dos dados sea 12 .
b. la suma de dos dados mayor que 2.
c. la suma de dos sea 7.
d. la suma de dos dados es 1.

4. Extraer dos boletas de de una urnas que contiene una balota azul, una roja, una verde y una amarilla.
a. saca una amarilla.
b. saca una verde.
c. saca una negra.
d. saca una verde y una roja.

Carlos Alberto Palafox Benitez
Carlos Alberto Palafox Benitez
Invité
23 Oct.

Veamos: a) hay que considerar todos los casos en donde la suma puede ser 12, el cual seria unico y es cuando ambos dados caigan en 6. Cuantas posibles combinaciones hay al lanzar 2 dados? Respuesta: 36 : 1,1 ; 1,2 ; …;1,6 ; 2,1; …. ; 6,6; Entonces la probabilidad es 1 de 36 , es decir 1/36=0.027 o el 2.7% b) Los casos favorables serian todos los posibles a excepcion del (1,1) ya que no es mayor que 2, es igual a 2. entonces tienes 35 de 36 o 35/36=0.9722 o bien 97.22% c) Casos favorables, cuando los… Lire la suite »

Garto
Garto
Invité
19 Oct.

Muy bueno

Garto
Garto
Invité
19 Oct.

Muy bueno! Excelente trabajo

Lopez zapata librado
Lopez zapata librado
Invité
26 Oct.

Que buena información

Villegas
Villegas
Invité
3 Nov.

Me pueden resolver este problema de probabilidad:

Una escuela tenia 280 niños. De los cuales 90 eran niños con sobrepeso y 35 de ellos hacian actividad fisica. 23 niños tenian bajo peso y 2 de ellos hacia deporte. En total habian 153 deportes.
a) ¿ Cual es la probabilidad de encontar un niño con peso normal y haga deporte ?
b) ¿ Cual es la probabilidad de encontrar un niño con sobrepeso y haga deporte ?
Gracias.

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
14 Jun.

Hola,   tenemos 90 niños con sobrepeso y 23 con bajo peso de un total de 280, entonces el número de niños con peso normal es 280-90-23=167. Además se sabe que 35 niños con sobrepeso practican deporte, por lo que los 55 restantes no practican deporte; 2 niños con bajo peso practican deporte, por lo que los 21 restantes no practican deporte; como 153 niños practican deporte, entonces el número de niños con peso normal y que practican deporte es 153-35-2=116, por lo que los 51 restantes no practican deporte.   Denotemos por N los niños con peso normal, S… Lire la suite »

Martinez
Martinez
Invité
6 Nov.

Tengo dos recipientes, uno con 3 bolas blancas y 2 negras, y el otro 2 azules y 5 negras. Si se extrae una bola de cada uno ¿todos los sucesos elementales tienen igual probabilidad?

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
26 May.

Hola Martínez,   la respuesta a tu pregunta es no. Ello se debe a que la probabilidad de obtener una bola negra es distinta de cero, mientras que la probabilidad de obtener una blanca o una azul es cero; observa que la probabilidad de obtener una azul del primer recipiente es cero y la probabilidad de obtener una blanca es 3/5 y la de una negra es 2/5; por su parte la probabilidad de obtener una blanca del segundo recipiente es cero y la probabilidad de obtener una azul es 2/7 y la de una negra es 5/7. Puesto que… Lire la suite »

Delgado
Delgado
Invité
22 Nov.

Muchísimas gracias!

Guardado
Guardado
Invité
23 Abr.

Ejercicio. Un envío de computadoras contiene 2 defectuosas y 98 que
no tienen defectos. Si se examinan 2 computadoras al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que la primera funcione y la segunda no si;
a. No se reemplaza la primera computadora examinada.
b. Sí se reemplaza.

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
17 Jun.

Hola, Para calcular probabilidades consideraremos el cociente de los casos favorables entre los casos totales:   a) Sin reemplazo Como antes de tomar la primera computadora hay 98 que funcionan de las 100, entonces P(1ra funcione) = 98/100 Para cuando va a tomar la segunda computadora, ya quedan 99 porque no hay reemplazo, 97 que funcionan y 2 que no P(2da no funcione) = 2/99 P(1ra funcione y 2da no) = (98/100)*(2/99) = 0.0197 Por lo tanto, la probabilidad, considerando que no hay reemplazo, de que la primera computadora funcione y la segunda no es de 1.97%   b) Con… Lire la suite »

bek
bek
Invité
24 Abr.

1. Con las 5 vocales y los 10 dígitos: i) ¿Cuántas claves de 6 caracteres distintos podrían formarse? ii) ¿Cuántas claves comienzan con A? iii) ¿Cuántas claves contienen el dígito 5? iv) ¿Cuántas claves no contienen ninguna vocal? 2. En una mutualista se utilizan siete símbolos para clasificar las historias clínicas de sus pacientes, de manera que los tres primeros son letras y los cuatro últimos son dígitos. Suponiendo que utilizan 12 letras y 9 dígitos: ¿Cuántas historias clínicas podrían hacerse con la única condición de que las letras no pueden ser iguales? 3. En una mutualista trabajan 20 doctores… Lire la suite »

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
18 Jun.

Hola, Con gusto te apoyamos; i) Para el primer caracter hay 10+5=15 posibilidades, para el segundo ya solo 14 porque no puedo usar el caracter del inicio ya que quiero contar las claves con caracteres diferentes. Entonces hay 15*14*13*12*11*10 = 3603600 claves con caracteres distintos. ii) Comienza con A. El segundo caracter puede ser cualquiera de los 15 (asumiendo que en este inciso si son posibles las repeticiones). Hay 155 claves que comienzan con A. Si no se permitiera repetición entonces habría 14*13*12*11*10 claves. iii) Esta inciso es más fácil contar cuántas claves no tienen ningun 5 y luego se… Lire la suite »

Juan Borrega Herrera
Juan Borrega Herrera
Invité
24 Abr.

Me podríais ayudar en este ejercicio
Sean A y B dos sucesos con
P(A) =0,3
P(B/A)=0,4
P(B/A’) =0,6
Calcular:
A) P(A/B)
B) P(A’/B’)
Nota:S’ denota el suceso complementario del suceso S.

Muchas gracias a todos por vuestra colaboración

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
15 Jun.

Hola Juan,

A continuación detallamos la solución de este problema:

 

la primera identidad que nos será útil es

P(S|F)=P(SF)/P(F)

pues

P(B|A)=P(AB)/P(A)

0,4=P(AB)/0,3

(0,4)(0,3) = P(AB)

P(AB) = 0,12

 

además

P(B|A’)=P(A’B)/P(A’)

considero que P(A’)=1-P(A)

0,6=P(A’B)/(1-0,3)

(0,6)(1-0,3) = P(A’B)

(0,6)(0,7) = P(A’B)

P(A’B) = 0,42

 

de los 2 cálculos anteriores puedo obtener P(B) con la siguiente identidad:

P(B)=P(AB)+P(A’B)

P(B)=0,12+0,42

P(B)=0,54

 

A) P(A|B)

P(A|B) = P(AB)/P(B)

P(A|B) = 0,12/0,54

P(A|B)=0,22

 

B) P(A’|B’)

P(A’|B’) = P(A’B’)/P(B’)

No sabemos el valor de P(A’|B’), pero eso se resuelva con la identidad

P(A’)=P(A’B)+P(A’B’)

P(A’B’)=P(A’)-P(A’B)

P(A’B’)=(1-0,3)-0,42

P(A’B’)=0,7-0,42

P(A’B’)=0,28

continuamos resolviendo el inciso

P(A’|B’) = P(A’B’)/P(B’)

P(A’|B’) = 0,28/(1-0,54)

P(A’|B’) = 0,28/0,46

P(A’|B’) = 0,61

Espero la explicación te sea útil,
¡saludos!

Daza
Daza
Invité
25 Abr.

Muy bueno el artículo. Gracias por su valioso aporte.

Superprof
Superprof
Administrateur
27 Abr.

¡Gracias por el comentario! Es un placer compartir nuestros conocimientos. 🙂

Ramirez suarez
Ramirez suarez
Invité
2 May.

Se tiene una bolsa con 8 balotas: una azul, una roja, una
verde, una amarilla, una morada, una naranja y dos negras.
1. (12 PUNTOS) ¿Cuál es la probabilidad de extraer:
a) una bola azul
b) una bola roja
c) una bola negra

Superprof
Superprof
Administrateur
6 Jun.

Hola Ramirez,

a) 1/8
b) 1/8
c) 2/8

¡Un saludo!

mac
mac
Invité
28 May.

Un test detecta una cierta enfermedad con una probabilidad de 0,9 en caso de
que la misma esté presente. Si la persona está sana, el test detecta la ausencia de la
enfermedad con una probabilidad de 0,8
Sabiendo que dicha enfermedad es padecida por el 15% de la población, calcular
la probabilidad de que:
a) La persona esté realmente enferma, si el test dio positivo.
b) La persona esté sana si el test dio negativo.
c) Que una persona esté enferma y el test de positivo.
d) Que la persona esté enferma o el test dé positivo.
e) Que al aplicar el test se obtenga un resultado erróneo.

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
29 Jun.

Hola, primero vamos a considerar los eventos E = Estar enfermo S = Estar sano P = Salir positivo en la prueba N = Salir negativo en la prueba Los datos que tengo son P(E) = 0.15 P(P|E) = 0.9 P(N|S) = 0.8 Pero si la probabilidad de salir negativo dado que uno está sano es 0.8, entonces P(P|S) = 0.2 = P(P|Ec) pues Nc = P (si uno no salió negativo salió positivo), y Ec=S (si no está enfermo, está sano) Por la fórmula P(PE) = P(E)P(P|E) tenemos que P(PE) = 0.15*0.9 = 0.135 P(PEc) = 0.85*0.2 = 0.17… Lire la suite »

Alonso jimenez
Alonso jimenez
Invité
28 May.

Si en una bolsa se ponen 7 fichas con los números del 1 al 7. Al sacar una ficha de la bolsa los posibles casos que pueden resultar son

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
25 Jun.

Hola, como las 7 fichas están dentro de la bolsa al sacar una ficha los posibles casos que pueden resultar son:

1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7

por lo tanto hay 7 posibilidades distintas

Espero los comentarios te sean útiles,
¡saludos!

Streber
Streber
Invité
7 Jun.

Si 10% de la población mundial tiene ojos verdes, y detengo a 3 personas a las azar mientras caminan en la calle, cual es la probabilidad de que 2 de las 3 personas tengan ojos verdes y la otra no?

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
13 Jul.

Hola,
 
vamos a la distribución binomial con n=3, p=0.1, q=1-p=0.9.
 
P(X=x)=C_n^xp^xq^{n-x}
 
La probabilidad de que dos personas tengan ojos verdes y la otra no, viene dada por
 
P(X=2)=C_3^2(0.1)^2(0.9)=0.027
 
Espero haber sido de ayuda.
Un saludo

ROMERO
ROMERO
Invité
17 Jun.

¿Cuáles de los siguientes son parejas de eventos mutuamente excluyentes al sacar una carta de un mazo de 52 barajas? a) Un corazón y una reina. b) Una espada y una carta roja. c) Un número par y una espada. d) Un as y un número impar. ¿Cuáles de los siguientes son resultados mutuamente excluyentes al lanzar dos dados? a) Un total de cinco puntos y un cinco en un dado. b) Un total de siete puntos y un número par de puntos en ambos dados. c) Un total de ocho puntos y un número impar de puntos en ambos… Lire la suite »

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
8 Jul.

Hola, con gusto te ayudamos a) No es mutuamente excluyente, pues podría salirte la reina de corazones b) Sí es mutuamente excluyente, porque no hay una carta que pertenezca a ambos eventos c) No es mutuamente excluyente, ya que las cartas de espadas 2, 4, 6, etc., son cartas que son pares y espadas a la vez d) No es mutuamente excluyente, todos los ases tienen un 1, que es un número impar ¿Cuáles de los siguientes son resultados mutuamente excluyentes al lanzar dos dados? a) Sí es mutuamente excluyente, si te sale 5 de un lado, el total debe… Lire la suite »

Otiniano
Otiniano
Invité
18 Jun.

Hola podrían ayudarme con este por favor

una caja contiene 4 canicas rojas ,3 verdes 2 azules.Si se extraen dos canicas sucesivamente sin reposición¿cual es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda sea verde?

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
8 Jul.

Hola, si en total hay 4+3+2=9 canicas, y 4 son azules, la probabilidad de que la primera canica sea azul es de

P(1A) = 4/9

supongamos que ya sacamos una azul, por lo que nos quedarían 8 canicas de las cuales 3 son verdes, la probabilidad de que la segunda sea verde dado que la primera salió azul es de

P(2V|1A) = 3/8

finalmente, la probabilidad de que la primera sea azul y la segunda verde es

P(2V ∩ 1A) = P(1A) * P(2V|1A)

P(2V ∩ 1A) = (4/9) * (3/8) = 1/6

La probabilidad es 1/6

Espero los comentarios te sean útiles,
¡saludos!

Erik Mateu
Erik Mateu
Invité
23 Jun.

En el ejercicio de Juan Borrega Herrera, el resultado del apartado de:
A) P(A/B) es igual a 0.22 periodo, esta errado ese resultado. gracias por los ejercicios muy utiles

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
3 Jul.

Hola,
gracias por compartir tus observaciones.
Ya hemos actualizado el resultado.
Un saludo

sanz
sanz
Invité
1 Jul.

Hola, me podrian resolver este problema:
Tengo una administración de loterias. Hace unos días, hemos tenido una discusión sobre un tema de probabilidad con unos amigos. Y visto que ninguno de los allí presentes tenemos las ideas muy claras sobre este tema, lo quiero exponer aquí para ver si podéis ayudarme:

Si en mi administración hago una venta en el sorteo de navidad de 1000 números diferentes (indistintamente de cuantos decimos venda de cada uno de ellos)
¿Que probabilidad tengo de dar uno de los 13 grandes premios (primero, segundo, tercero, cuartos o quintos)?

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
22 Jul.

Hola, con gusto te apoyamos, ¿podrías darnos más detalles del problema? ¿juntando los premios del primer al quinto lugar resultan 13 ganadores? Y quieres saber qué probabilidad hay de ganar uno de esos premios, ¿cierto? De ser así, tienes que sacar el cociente de los casos favorables entre el total de casos. Por ejemplo hay 1000 números para la lotería, pero solo 13 salen premiados así que la probabilidad de ganar teniendo un boleto es de

Casos fav/total = 13/1000 = 0.013

Espero la solución te sea útil,
¡saludos!

Payan
Payan
Invité
7 Jul.

Hola me pueden ayudar con un ejercicio? En un estudio reciente acerca de cómo pasan los estadounidenses su tiempo libre se entrevistó a trabajadores con más 5 años en su empleo. Se calculó en 0.45 la probabilidad de que un empleado tuviera 2 semanas de vacaciones; en 0.10 que contara con 1 semana, y en 0.20 que disfrutara de 3 semanas o más. Su- ponga que se seleccionan 10 empleados al azar. Responda a las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que 8 empleados tengan 2 semanas de vacaciones? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo 1… Lire la suite »

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
22 Jul.

Hola,
 
aplicamos la distribución binomial para n=10.
Para el primer inciso consideramos X el número de empleados que tienen dos semanas de vacaciones, p=0.45, q=1-p=0.55
 
P(X=8)=\left(C_{10}^8\right)(0.45)^8(0.55)^2=0.023
 
Para el segundo inciso consideremos X el número de empleados que tienen una semana de vacaciones, p=0.10, q=0.90
 
P(X=1)=\left(C_{10}^1\right)(0.10)(0.90)^9=0.39
 
Para el tercer inciso consideremos X el número de empleados que tienen tres o más semanas de vacaciones, p=0.30, q=0.70
 
P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
 
Para el cuarto inciso consideremos X el número de empleados que tienen una semana de vacaciones, p=0.10, q=0.90
 
P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)
 
Te invitamos a que ralices las operaciones de los últimos dos incisos.
En caso de presentar dificultades, puedes preguntarnos tus dudas.
Un saludo

Bismary Muñoz
Bismary Muñoz
Invité
7 Jul.

hola buenas tardes.
me podrian hacer favor de ayudarme con este ejercicio, se lo agradezco.
una bolsa contiene dos bolas negras, tres bolas blancas,cuatro bolas rojas y cinco bolas verdes.se estrae una bola de la bolsa, describe el espacio muestral E y calcula la probabilidad de:

a. la bola es de color rojo.
b. la bola no es negra.
c. la bola es blanca o verde.

Superprof
Superprof
Administrateur
8 Jul.

Hola, primero calculamos el número total de bolas:

2 + 3 + 4 + 5 = 14

a) como hay 4 bolas rojas, la probabilidad de sacar una roja es 4/14
b) la probabilidad de sacar una bola que no es negra, es igual que la probabilidad de sacar cualquiera de otro color: 12/14
c) La bola es blanca o verde: 8/14

¡Un saludo!