1
Halla el número de capicúas de ocho cifras. ¿Cuántos capicúas hay de nueve cifras?

Notemos que para el primer caso el número tiene la forma

    $$\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{d}\,\underline{d}\,\underline{c}\,\underline{b}\,\underline{a}$$

El valor de a no puede ser cero asi que tenemos 9 posible valores para el primer termino. Para b, c y d tenemos que ellos pueden ser cualquier numero entre 0 y 9. Finalmente multiplicando concluimos que el número de capicúas de ocho cifras es

    $$9\times 10\times10\times 10=9000.$$

Similar al caso anterior el número de 9 dígitos tiene la forma

    $$\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{d}\,\underline{e}\,\underline{d}\,\underline{c}\,\underline{b}\,\underline{a}$$

De nuevo el primer dígito no puede ser cero asi que tenemos 9 posibilidades para la primera posición. Y para los posibles valores que pueden tomar b, c, d y e tenemos 10 posibilidades. Multiplicando el número de posibles valores para cada una de las posiciones tenemos que hay

    $$9\times 10\times10\times 10\times 10=90000.$$

capicúas de nueve cifras.

2
Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:

1Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
2Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

1Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos. Dado que los libros de cada asignatura van juntos y a su vez cada libro es diferente entonces podemos calcular primero por separado el número de permutaciones en matemáticas, física y química. Respectivamente tenemos que

    $$P_{Mat}=4\cdot3\cdot 2\cdot1=4!=24$$

    $$P_{Fis}=6\cdot5\cdot 4\cdot3\cdot2\cdot1=6!=720$$

    $$P_{Qui}=2\cdot1=2!=2$$

Dado que tenemos tres materias distintas primero podría venir un libro de química o matemáticas y luego uno de física o un física primero y luego uno de química. El número total de permutaciones de este tipo es 3\cdot2\cdot1=3!=6. Finalmente multiplicando tenemos que el número de formas de colocar los libro es

    $$4!\cdot6!\cdot2!\cdot3!=207360.$$

2Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.Ahora solo tenemos dos clases, los libro de matemáticas y el resto. En total el resto son 8 libros así el número total de permutaciones para el resto de los libro es

    $$P_{Res}=8!=40320.$$

Ya que bien puede venir primero un libro de matemáticas, química o física debemos multiplicar por 9 al producto de P_{Mat} y P_{Res} para obtener el resultado final,

    $$9\cdot P_{Mat}\cdot P_{Res}=9\cdot4!\cdot8!=8709120.$$

3
Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

Podemos contar primero cuantas sumas de dinero tendrá si solo usa una moneda, luego dos, luego tres, luego cuatro y finalmente cinco. Esto lo hacemos tomando el número de combinaciones de uno entre cinco, dos entre cinco, tres entre cinco y asi sucesivamente. Si al final sumamos obtenemos nuestro resultado,

    $${5\choose1}+{5\choose2}+{5\choose3}+{5\choose4}+{5\choose5}=5+10+10+5+1=31.$$

4
Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?

En este caso tenemos un problema de permutación con repetición ya que las bolas de igual color no se distinguen. Utilizando el principio multiplicativo obtenemos una formula para resolver esto, lo que nos da

    $$P_{10}^{5,2,3}=\cfrac{10!}{5!\cdot2!\cdot3!}=2520.$$

5
Resolver las ecuaciones combinatorias:

16V_{x}^{3}=V_{x}^{5}2V_{x}^{4}=20V_{x}^{2}32V_{x-1}^{2}-4=V_{x+1}^{2}4VR_{x}^{2}-V_{x}^{2}=17

Recordemos que V_{x}^{k}=x(x-1)\dots(x-(k-1)) y VR_{x}^{k}=x^{k}.
1

    $$6V_{x}^{3}=6x(x-1)(x-2)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=V_{x}^{5}$$

    $$6=(x-3)(x-4)$$

    $$x^{2}-7x+6=0\Rightarrow x=6, x=1$$

Tomamos la solución x=6.

2

    $$V_{x}^{4}=x(x-1)(x-2)(x-3)=20x(x-1)=20V_{x}^{2}$$

    $$(x-2)(x-3)=20$$

    $$x^{2}-5x-14=0\Rightarrow x=7, x=-2$$

Tomamos la solución x=7.

3

    $$2V_{x-1}^{2}-4=2(x-1)(x-2)-4=(x+1)x=V_{x+1}^{2}$$

    $$x^{2}-7x=0\Rightarrow x=7, x=0$$

Tomamos la solución x=7.
4

    $$VR_{x}^{2}-V_{x}^{2}=x^{2}-x(x-1)=17$$

    $$x^{2}-x^{2}+x=17\Rightarrow x=17.$$

6
Resolver las ecuaciones combinatorias:

1P_{x}=132P_{x-2}212P_{x}+5P_{x+1}=P_{x+2}3P_{x}=2V^{3}_{5}

Recordemos que P_{x}=x! y V_{x}^{k}=x(x-1)\dots(x-(k-1)).
1

    $$P_{x}=x!=132(x-2)!=132P_{x-2}$$

    $$x(x-1)(x-2)!=132(x-2)!$$

    $$x^{2}-x-132=0\Rightarrow x=12, x=-11$$

Tomamos la solución x=12.

2

    $$12P_{x}+5P_{x+1}=12x!-5(x+1)!=(x+2)!=P_{x+2}$$

    $$12x!+5(x+1)x!=(x+2)(x+1)x!$$

    $$12+5(x+1)=(x+2)(x+1)$$

    $$12+5x+5=x^{2}+3x+2$$

    $$x^{2}-2x-15=0\Rightarrow x=5, x=-3$$

Tomamos la solución x=5.

3

    $$P_{x}=x!=2(5\cdot 4\cdot 3)=2V^{3}_{5}$$

    $$x!=2(5\cdot 4\cdot 3)=5\cdot 4\cdot 3\cdot2\cdot1$$

    $$x!=5\cdot 4\cdot 3\cdot2\cdot1=5!$$

Entonces x=5.

7
Resolver las ecuaciones combinatorias:

1V_{m}^{x}=120C_{m}^{x}2C_{x}^{6}=7C_{x}^{4}34C_{19}^{x}=19C_{17}^{x}

Recordemos que V_{m}^{x}=\cfrac{m!}{(m-x)!} y C_{m}^{x}=\cfrac{m!}{x!(m-x)!}.
1

    $$V_{m}^{x}=\cfrac{m!}{(m-x)!}=120\cfrac{m!}{x!(m-x)!}=120C_{m}^{x}$$

    $$1=\cfrac{120}{x!}$$

    $$x!=120\Rightarrow x!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5!\Rightarrow x=5$$

2

    $$C_{x}^{6}=\cfrac{x!}{6!(x-6)!}=7\cfrac{x!}{4!(x-4)!}=7C_{x}^{4}$$

    $$\cfrac{x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{6\cdot5\cdot4!}=7\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{4!}$$

    $$x^{2}-5x-4x+20=210$$

 

    $$x^{2}-9x-190=0\Rightarrow x=19, x=-10$$

Tomamos la solución x=19.

3

    $$4C_{19}^{x}=4\cfrac{19!}{x!(19-x)!}=19\cfrac{17!}{x!(17-x)!}=19C_{17}^{x}$$

    $$\cfrac{4\cdot19\cdot18\cdot17!}{(19-x)(18-x)(17-x)!}=\cfrac{19\cdot17!}{(17-x)!}$$

    $$\cfrac{4\cdot18}{(19-x)(18-x)}=1$$

    $$72=342-19x-18x+x^{2}$$

    $$x^{2}-37x+270=0\Rightarrow x=10, x=27$$

Tomamos la solución x=10. 27 no es solución porque el número de orden en las combinaciones es menor que el número de elementos.

8
Resolver las ecuaciones combinatorias:

1{25\choose x}={25\choose 7}2{7\choose 3}+{7\choose x}={8\choose 4}3{x\choose 4}=20{x\choose 2}4{x\choose 2}+{x-1\choose 2}+{x-2\choose 2}=136

1
Para este primer ejercicio utilizaremos la 1ª propiedad de los números combinatorios, la cual nos dice que

    $${m\choose n}={m\choose m-n}.$$

Entonces, {25\choose x}={25\choose 7} implica que x=25-7=18.

2
Para este ejercicio utilizaremos la 2ª propiedad de los números combinatorios, la cual nos dice que

    $${m\choose n}={m-1\choose n-1}+{m-1\choose n}.$$

Entonces, {7\choose 3}+{7\choose x}={8\choose 4} implica que x=4.

3

    $${x\choose 4}=\cfrac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{4\cdot3\cdot2}=\cfrac{20x(x-1)}{2}=20{x\choose 2}$$

    $$\cfrac{(x-2)(x-3)}{12}=20$$

    $$x^{2}-3x-2x+6=240$$

    $$x^{2}-5x-234=0\Rightarrow x=18,x=-13$$

Tomamos la solución x=18.

4

    $${x\choose 2}+{x-1\choose 2}+{x-2\choose 2}=\cfrac{x!}{2!(x-2)!}+\cfrac{(x-1)!}{2!(x-3)!}+\cfrac{(x-2)!}{2!(x-4)!}=136$$

    $$\cfrac{x(x-1)(x-2)!}{2!(x-2)!}+\cfrac{(x-1)(x-2)(x-3)!}{2!(x-3)!}+\cfrac{(x-2)(x-3)(x-4)!}{2!(x-4)!}=136$$

    $$x(x-1)+(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)=2\cdot136$$

    $$x^{2}-3x-88=0\Rightarrow x=2,x=-8$$

Tomamos la solución x=2.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗