La combinatoria es una rama de la matemática que estudia las ordenaciones o agrupaciones de un determinado número de elementos u objetos. Esta nos puede ser muy útil para calcular los sucesos posibles y favorables para posteriormente aplicar la regla de Laplace.

 

Para poder aplicar la combinatoria en la probabilidad primero debemos conocer los conceptos básicos de combinatoria, tales como permutaciones, variaciones, etc.

 

Conceptos de combinatoria

 

Variaciones

 

Se llama variaciones ordinarias de \displaystyle m elementos tomados de \displaystyle n en \displaystyle n \; (m \ge  n)  a los distintos grupos formados por \displaystyle n elementos en donde:

 

    • Importa el orden.

 

  • No se repiten los elementos.

 

Las variaciones se denotan por

 

V_{m}^{n} \quad \text{o} \quad V_{m, n}

 

y la fórmula para calcularlas está dada por

 

\displaystyle V_{m}^{n} = m (m - 1)(m - 2) \cdots (m-n+1) = \frac{m!}{(m-n)!}.

 

Podemos pensar las variaciones ordinarias como tener un conjunto con \displaystyle m objetos, tomar de este todos los subconjuntos de \displaystyle n objetos y después ordenarlos de todas las maneras posibles cada subconjunto.

 

Para ver ejemplos de variaciones, visita este artículo.

 

Permutaciones

 

Se llaman permutaciones de \displaystyle m elementos a las distintas formas en que pueden ordernarse estos \displaystyle m elementos. Hay que tener en cuenta  lo siguiente:

 

    • Sí importa el orden, ya que el intercambio entre dos elementos distintos genera una nueva permutación.

 

  • No se repiten los elementos, ya que de repetirse o ser iguales entre si, al intercambiarlos no se genera una nueva permutación.

 

Para obtener el total de permutaciones de m elementos se utiliza la siguiente fórmula:

 

\displaystyle P_{m}= m!

 

Para ver ejemplos de permutaciones, visita este artículo.

 

Combinaciones

 

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m\geq n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:

 

    • No se consideran todos los elementos.

 

    • El orden no importa.

 

  • No se repiten los elementos.

 

C_{m}^{n}=\cfrac{V_{m}^{n}}{P_{n}}

 

También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

 

C_{m}^{n}=\cfrac{m!}{n!\left ( m-n \right )!}

 

Las combinaciones se denotan por C_{m}^{n} o C_{m,n}

.

 

Para ver ejemplos de combinaciones, visita este artículo.

 

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Combinatoria en la probabilidad

 

La combinatoria nos puede ser muy útil para calcular los sucesos posibles y favorables, al aplicar la regla de Laplace. Especialmente si hay un gran número de sucesos.

 

Ejemplos

 

1. Un grupo de \qquad 10 \qquad personas se sienta en un banco. ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas fijadas de antemano se sienten juntas?

 

    • Casos posibles:

       

      Es la cantidad de formas distintas en las cuales pueden acomodarse \qquad 10 \qquad personas.

       

      \displaystyle P_{10} = 10!

 

  • Casos favorables:

     

    Si consideramos las dos personas que se sientan juntas como una sola persona habrá \qquad 9!; pero pueden estar de dos formas posibles a la izquierda uno de otro o a la derecha, por tanto se tiene \qquad 2 \cdot 9!.

 

Por lo anterior, tendríamos que

 

\displaystyle P(A) = \frac{2 \cdot 9!}{10!} = \frac{1}{5}

 

2. Hallar la probabilidad de que al sacar \qquad 4 \qquad cartas (de una en una), de una baraja de \qquad 52 \qquad cartas, obtengamos puros "As".

 

    • Casos posibles:

       

      Son los distintos órdenes en los que podrían salirnos los \qquad 4 \qquad As.

       

      \displaystyle P_{4} = 4!

 

  • Casos favorables:

     

    Son los distintos grupos de \qquad 4 \qquad cartas que podemos obtener de las \qquad 52\qquad cartas.

     

     P_{52}^{4} = \frac{52!}{(52 - 4)!} = 52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49

 

Por lo anterior, tendríamos que

 

\displaystyle P(\text{Obtener cuatro As}) = \frac{4!}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49} = \frac{24}{6497400}

.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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