Factorial de un número natural

 

Es el producto de los n factores consecutivos desden hasta 1. El factorial de un número se denota por n!.

 

n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1

 

0!=1

 

Variaciones

 

Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m\geq n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:

 

No entran todos los elementos

 

importa el orden

 

No se repiten los elementos

 

\textrm{V}_{m}^{n}=m(m-1)(m-2)(m-3)...(m-n+1)

 

También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:

 

\textrm{V}_{m}^{n}=\cfrac{m!}{(m-n)!}

 

Las variaciones se denotan por \textrm{V}_{m}^{n}\; \textup{o}\; \textrm{V}_{m,n}

 

Variaciones con repetición

 

Se llama variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

 

No entran todos los elementos si m> n. pueden entrar todos los elementos si m\leq n

 

importa el orden

 

se repiten los elementos

 

\textup{VR}^{n}_{m}=m^{n}

 

Permutaciones

 

entran todos los elementos

 

importa el orden

 

No se repiten los elementos

 

\textup{P}_{n}=n!

 

Permutaciones circulares

 

Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.

 

\textup{PC}_{n}=\textup{P}_{n-1}=(n-1)!

 

Permutaciones con repetición

 

Permutaciones con repetición de m elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ...(m=a+b+c+...=n) son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que :

 

entran todos los elementos

 

importa el orden

 

se repiten los elementos

 

\textup{PR}_{n}^{a,b,c,...}=\cfrac{\textup{P}_{n}}{a!\cdot b!\cdot c!\cdot ...}

 

Combinaciones

 

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m\geq n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:

 

No entran todos los elementos

 

No importa el orden

 

No se repiten los elementos

 

\textup{C}_{m}^{n}=\cfrac{\textup{V}^{n}_{m}}{P_{n}}

 

También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

 

\textup{C}_{m}^{n}=\cfrac{m!}{n!(m-n)!}

 

Combinaciones con repetición

 

Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m\geq n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

 

No entran todos los elementos

 

No importa el orden

 

se repiten los elementos

 

\textup{CR}=\begin{pmatrix} m+n-1\\ n \end{pmatrix} =\cfrac{(m+n-1)!}{n!(m-1)!}

 

 

Números combinatorios

 

El número  \textup{C}_{m}^{n} se llama también número combinatorio. Se representa por

 

\begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix}

 

y se lee "m sobre n".

 

\begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix} =\cfrac{m!}{n!(m-n)!}

 

Propiedades de los números combinatorios

 

1 \begin{pmatrix} m\\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} m\\ m \end{pmatrix} =1

 

2 \begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} m\\ m-n \end{pmatrix}

 

3 \begin{pmatrix} m\\ n-1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} m+1\\ n \end{pmatrix}

 

Binomio de Newton

 

La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.

 

(a\pm b)^{n}=\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix} a^{n-1}b+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix} a^{n-2}b^{2}\pm ...\pm \begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix} b^{n}

 

Si deseas aplicar la teoría con ejercicios de variaciones, combinaciones y  permutaciones, no dudes en consultar las otras secciones de este tema.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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