Factorial de un número natural

 

Es el producto de los n factores consecutivos desden hasta 1. El factorial de un número se denota por n!.

 

n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1

 

0!=1

 

Superprof

Variaciones

 

Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m\geq n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:

 

No entran todos los elementos

 

importa el orden

 

No se repiten los elementos

 

\textrm{V}_{m}^{n}=m(m-1)(m-2)(m-3)...(m-n+1)

 

También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:

 

\textrm{V}_{m}^{n}=\cfrac{m!}{(m-n)!}

 

Las variaciones se denotan por \textrm{V}_{m}^{n}\; \textup{o}\; \textrm{V}_{m,n}

 

Variaciones con repetición

 

Se llama variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

 

No entran todos los elementos si m> n. pueden entrar todos los elementos si m\leq n

 

importa el orden

 

se repiten los elementos

 

\textup{VR}^{n}_{m}=m^{n}

 

Permutaciones

 

entran todos los elementos

 

importa el orden

 

No se repiten los elementos

 

\textup{P}_{n}=n!

 

Permutaciones circulares

 

Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.

 

\textup{PC}_{n}=\textup{P}_{n-1}=(n-1)!

 

Permutaciones con repetición

 

Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces,... de tal modo que (n=a+b+c+...), son los distintos grupos que pueden formarse con esos n elementos de forma que :

 

entran todos los elementos

 

importa el orden

 

se repiten los elementos

 

\textup{PR}_{n}^{a,b,c,...}=\cfrac{\textup{P}_{n}}{a!\cdot b!\cdot c!\cdot ...}

 

Combinaciones

 

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m\geq n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:

 

No entran todos los elementos

 

No importa el orden

 

No se repiten los elementos

 

\textup{C}_{m}^{n}=\cfrac{\textup{V}^{n}_{m}}{P_{n}}

 

También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

 

\textup{C}_{m}^{n}=\cfrac{m!}{n!(m-n)!}

 

Combinaciones con repetición

 

Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m\geq n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

 

No entran todos los elementos

 

No importa el orden

 

se repiten los elementos

 

\textup{CR}=\begin{pmatrix} m+n-1\\ n \end{pmatrix} =\cfrac{(m+n-1)!}{n!(m-1)!}

 

 

Números combinatorios

 

El número  \textup{C}_{m}^{n} se llama también número combinatorio. Se representa por

 

\begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix}

 

y se lee "m sobre n".

 

\begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix} =\cfrac{m!}{n!(m-n)!}

 

Propiedades de los números combinatorios

 

1 \begin{pmatrix} m\\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} m\\ m \end{pmatrix} =1

 

2 \begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} m\\ m-n \end{pmatrix}

 

3 \begin{pmatrix} m\\ n-1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} m+1\\ n \end{pmatrix}

 

Binomio de Newton

 

La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.

 

(a\pm b)^{n}=\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix} a^n \pm \begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix} a^{n-1}b+\begin{pmatrix} n\\ 2 \end{pmatrix} a^{n-2}b^{2}\pm ...\pm \begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix} b^{n}

 

Si deseas aplicar la teoría con ejercicios de variaciones, combinaciones y  permutaciones, no dudes en consultar las otras secciones de este tema.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Bermejo
Bermejo
Invité
31 May.

La descripción y explicaciones son concisas y de una precisión magnífica (que estupendo habría sido tenerla de profesora!) En cuanto a los números combinatorios hubiera sido aleccionador que hiciera algún comentario explicando su funcionalidad(dado que el conocimiento de ellos suele se r escaso),
Me permite que le envíe un cariñoso abrazo de agradecimiento? Saludos cordiales!

Superprof
Superprof
Administrateur
31 May.

Muchísimas gracias por tus amables palabras. Es muy alentador ver como todo el esfuerzo tiene su recompensa y que esta página sea de utilidad para muchas personas.
Un fuerte abrazo para ti también 🙂

posta
posta
Invité
23 Sep.

en la parte de combinaciones, arriva de combinaciones con repeticion, despues de También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:…
esta mal expresado la combinatoria de n sobre m … si no me equivoco

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
18 Jun.

Hola,
Si se encuentra bien expresado ya que al principio se indica que Cmn representa las combinaciones de m elementos tomados de n en n; sin embargo, en varios textos Cmn representa las combinaciones de n elementos tomados de m en m lo cual produce este tipo de confusiones. Espero haber resuelto tu duda.
Un saludo

Gabaldón
Gabaldón
Invité
7 Oct.

En el caso de querer obtener todas las posibilidades de los números del DNI que constan de 10 nº pero se usan de 8 en 8, creo que serían Variaciones con Repetición y el resultado se obtendría con m elevado a n. Me baso en que las condiciones son: No entran todos los elementos (se emplean 10 nº pero solo se usan 8), SI importa el orden de los nº (ya que no es lo mismo terminar en 47 o en 74) y SI se repiten números en algunos DNI. Por tanto el resultado sería m elevado a n que… Lire la suite »

Gabaldón
Gabaldón
Invité
7 Oct.

Me han parecido una explicaciones perfectas, claras y concisas. Muchas gracias por las ayudas que suponen.

Superprof
Superprof
Administrateur
7 Oct.

¡Con mucho gusto Manuel!

Deheza
Deheza
Invité
30 Oct.

Excelente trabajo!! Unos ejemplos numéricos en cada acápite hubieran sido interesantes

Bonilla
Bonilla
Invité
15 Nov.

Sería mejor explicado si hay ejemplos

Superprof
Superprof
Administrateur
15 Nov.

Hola, esta es una página de teoría pero sí buscas la página de combinatoria (justo la página anterior) podrás encontrar ejemplos y ejercicios interactivos.

Gandia
Gandia
Invité
25 Abr.

Hola,, Creo que el binomio de Newton te falta en el primer término un «a» elevado a n.

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
16 Jun.

Hola, muchas gracias por tu comentario, el error ha sido modificado

¡saludos!

canillas
canillas
Invité
14 May.

Yo estoy preparándome los psicotécnicos de mi oposición, y eres mi salvación! Que simple y fácil haces que se vea todo. Gracias!

Superprof
Superprof
Administrateur
8 Jun.

¡Es un gran placer leer tu comentario! Te deseamos mucha suerte 🙂

Vidal
Vidal
Invité
19 May.

Hola!Excelente explicación, mi única duda es la siguiente, la diferencia que existe entre permutación y variación es que: en la variación no entran todos los elementos, y en la permutación si entran todos los elementos?

Juan Manuel Sanchez Perez
Juan Manuel Sanchez Perez
Editor
28 Jun.

¡Hola, Vidal!

Sí, según las definiciones en este artículo, esa es la diferencia. Las permutaciones definen un «cambio de orden» de todos los elementos de un conjunto; mientras que una variación define posibles «acomodos» de un subconjunto.

Si tienes más dudas con gusto te las respondemos.

Gau
Gau
Invité
22 May.

Ecxelente explicacion, estaba por darme por vencida con este tema y me despejó todas las dudas!!! Mil gracias

Superprof
Superprof
Administrateur
25 May.

¡Nos alegramos mucho y te deseamos suerte! 🙂

Fernandez S
Fernandez S
Invité
9 Jun.

el binomio de newton no deberia la primera n sobre 0 estar acomñada de una a elevado a la n?

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
6 Jul.

Hola,
en efecto el primer término del binomio de Newton contiene el elemento an.
En nuestro artículo se expresa tal como lo describes.
Un saludo