Temas

 

Formando números usando dígitos

¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos:
1, 2, 3, 4, 5.?

 

¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos:
1, 2, 3, 4, 5.?

 

1 Establecemos las condiciones del ejercicio:

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3

 

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321

 

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes

 

2 Se trata de una Permutación por lo que utilizamos la fórmula:

_{n}P_{r}=\cfrac{n!}{(n-r)!}

 

n=5\; \; \; \; \; r=5

 

3 Sustituimos y resolvemos:

 

_{5}P_{5}=\cfrac{5!}{(5-5)!}=5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120

 

 

Acomodo de personas en butacas

 

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

 

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

 

1 Establecemos las condiciones del ejercicio:

Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse 8 personas

 

Sí importa el orden

 

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir

 

2 Se trata de una Permutación por lo que utilizamos la fórmula:

_{n}P_{r}=\cfrac{n!}{(n-r)!}

 

n=8\; \; \; \; \; r=8

 

3 Sustituimos y resolvemos:

 

_{8}P_{8}=\cfrac{8!}{(8-8)!}=8!=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=40320

 

 

Personas alrededor de una mesa redonda

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

 

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

 

1 Establecemos las condiciones del ejercicio:

Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse 8 personas

 

Al ser un arreglo circular debemos eliminar las repeticiones circulares

 

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir

 

2 Se trata de una Combinación por lo que utilizamos la fórmula:

_{n}C_{r}=\cfrac{n!}{n\cdot (n-r)!}

 

n=8\; \; \; \; \; r=8

 

3 Sustituimos y resolvemos:

 

_{8}C_{8}=\cfrac{8!}{8\cdot (8-8)!}=7!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5040

 

 

Formando números usando cifras

 

Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4;

¿Cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

 

Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4;

¿Cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

 

1

Tenemos 3 elementos a, b, c, que se repiten:

m=9\; \; \; \; \; a=3\; \; \; \; \; b=4\; \; \; \; \; c=2\; \; \; \; \; a+b+c=9

 

2

Se trata de una permutación con varios elementos que se repiten por lo que usamos la fórmula:

P_{n}^{a,b,c}=\cfrac{n!}{a!\cdot b!\cdot c! }

3

Sustituimos en la fórmula y resolvemos:

 

P_{n}^{a,b,c}=\cfrac{9!}{3!\cdot 4!\cdot 2! }=1260

 

 

Permutaciones con letras

 

Con las letras de la palabra libro.

¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

 

 

Con las letras de la palabra libro.

 

¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

1

La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.

2

Establecemos las condiciones:

 

Sí entran todos los elementos

 

Sí importa el orden

 

No se repiten los elementos

3

Al tener 2 vocales con las que puede iniciar podemos calcular el resultado con:

2\cdot _{n}P_{r}=2\cdot \cfrac{n!}{(n-r)!}
2\cdot _{n}P_{r}=2\cdot \cfrac{n!}{(n-r)!}=2\cdot \cdot \cfrac{4!}{(4-4)!}=2\cdot 4!=2\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 =48

 

 

Crea permutaciones de 5 cifras

 

¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares?

 

¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

 

 

¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares?

 

¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

1

Establecemos las condiciones:

 

Sí entran todos los elementos

 

Sí importa el orden

 

No se repiten los elementos

2

Para encontrar los números de cinco cifras usando los dígitos impares (1,3,5,7,9) usamos la siguiente fórmula:

 

_{n}P_{r}=\cfrac{n!}{(n-r)!}

Sustituimos y resolvemos:

_{5}P_{5}=\cfrac{5!}{(5-5)!}=5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120

Para encontrar los números que sean mayores a 70000 consideramos aquellos que empiecen con 7 u 8

2\cdot _{4}P_{4}=2\cdot \cfrac{4!}{(4-4)!}=2\cdot 4!=2\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48

 

Ejercicio de mensajes con banderas

 

En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes.

 

¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

 

 

En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes.

 

¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

1

Tenemos 3 elementos a, b, c, que se repiten:

m=9\; \; \; \; \; a=3\; \; \; \; \; b=2\; \; \; \; \; c=4\; \; \; \; \; a+b+c=9

 

2

Se trata de una permutación con varios elementos que se repiten por lo que usamos la fórmula:

P_{n}^{a,b,c}=\cfrac{n!}{a!\cdot b!\cdot c! }

3

Sustituimos en la fórmula y resolvemos:

 

P_{n}^{a,b,c}=\cfrac{9!}{3!\cdot 2!\cdot 4! }=1260

 

 

Cuadro deportivo de Fútbol

 

¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?

 

 

¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?

 

Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.

1 Establecemos las condiciones del ejercicio:

Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.

 

Sí entran todos los elementos

 

Sí importa el orden

 

No se repiten los elementos

 

2 Se trata de una Permutación por lo que utilizamos la fórmula:

_{n}P_{r}=\cfrac{n!}{(n-r)!}

 

n=10\; \; \; \; \; r=10

 

3 Sustituimos y resolvemos:

 

_{10}P_{10}=\cfrac{10!}{(10-10)!}=10!=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=3628800

 

 

Problema de permutaciones con una restricción

Una mesa presidencial está formada por ocho personas

¿De cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

 

 

Una mesa presidencial está formada por ocho personas.

 

¿De cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

1

Consideramos las dos personas que deben ir juntas como una sola lo cual se logra de 2! maneras. Ahora hay siete personas para sentar alrededor de la mesa y se cumple que:

 

Sí entran todos los elementos

 

Sí importa el orden

 

No se repiten los elementos

 

2

Podemos resolver el ejercicio con:

2! \cdot _{n}C_{r}

2! \cdot _{7}C_{7}=2!\cdot \cfrac{7!}{7\cdot (7-7)!}=2!\cdot 6!=2\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=1440

 

Calcular cuantas formas hay de acomodar libros

Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante.

De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:

1 Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
2 Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

 

Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante.

De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:

 

1 Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

 

\underline{\underline{M} \: \underline{M}\: \underline{M}\: \underline{M}}\: \underline{\underline{F}\: \underline{F}\: \underline{F}\: \underline{F}\: \underline{F}\: \underline{F}}\: \underline{\underline{Q}\: \underline{Q}}= 4!\cdot 6!\cdot 2!\cdot 3!=207360

 

2   Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

\underline{\underline{M} \: \underline{M}\: \underline{M}\: \underline{M}}\: \underline{F}\: \underline{F}\: \underline{F}\: \underline{F}\: \underline{F}\: \underline{F}\: \underline{Q}\: \underline{Q}= 4!\cdot 9!=8709120

 

 

Ordenando esferas

 

Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules.
Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí.

¿De cuántas formas posibles pueden ordenarse?

 

 

Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules.
Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí.

¿De cuántas formas posibles pueden ordenarse?

 

1

Tenemos 3 elementos a, b, c, que se repiten:

m=9\; \; \; \; \; a=5\; \; \; \; \; b=2\; \; \; \; \; c=3\; \; \; \; \; a+b+c=9

 

2

Se trata de una permutación con varios elementos que se repiten por lo que usamos la fórmula:

P_{n}^{a,b,c}=\cfrac{n!}{a!\cdot b!\cdot c! }

3

Sustituimos en la fórmula y resolvemos:

 

P_{n}^{a,b,c}=\cfrac{10!}{5!\cdot 2!\cdot 3! }=2520

 

 

Resolver las ecuaciones

 

1 P_{x}=132\cdot P_{x-2}

 

2 12\cdot P_{x}+5\cdot P_{x+1}= P_{x+2}

 

3 P_{x}=2\cdot V_{5}^{3}

 

 

Resolver las ecuaciones:

 

Soluciones:

 

1 P_{x}=132\cdot P_{x-2}

x!=132\cdot (x-2)!

 

x\cdot (x-1)\cdot (x-2)!=132\cdot (x-2)!

 

x\cdot (x-1)=132

 

x^{2}-x-132=0

 

x=12\; \; \; \; \; x=-11

 

Descartamos la solución negativa por lo que x=12

 

 

2 12\cdot P_{x}+5\cdot P_{x+1}= P_{x+2}

12\cdot x!+5\cdot (x+1)\cdot x!=(x+2)\cdot (x+1)\cdot x!

 

12+5\cdot (x+1)=(x+2)\cdot (x+1)

 

12+5x+5=x^{2}+3x+2

 

x^{2}-2x-15=0

 

x=5\; \; \; \; \; x=-3

 

Descartamos la solución negativa por lo que x=5

 

 

3 P_{x}=2\cdot V_{5}^{3}

x!=2\cdot 5\cdot4\cdot3=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5!

 

x!=5!

 

x=5

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗