Ejercicios resueltos de permutaciones

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Los/as profes

Marta

27 septiembre 2020

Temas

Formando números usando dígitos
Acomodo de personas en butacas
Personas alrededor de una mesa redonda
Formando números usando cifras
Permutaciones con letras
Crea combinaciones de 5 cifras
Ejercicio de mensajes con banderas
Cuadro deportivo de Fútbol
Problema de permutaciones con una restricción
Calcular cuantas formas hay de acomodar libros
Ordenando esferas
Resolver las ecuaciones

Formando números usando dígitos

¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos:
1, 2, 3, 4, 5.?

1 Establecemos las condiciones del ejercicio:

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes

2 Se trata de una Permutación por lo que utilizamos la fórmula:

$_{n}P_{r}=\cfrac{n!}{(n-r)!}$

$n=5\; \; \; \; \; r=5$

3 Sustituimos y resolvemos:

$_{5}P_{5}=\cfrac{5!}{(5-5)!}=5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$

Acomodo de personas en butacas

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

1 Establecemos las condiciones del ejercicio:

Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse 8 personas

Sí importa el orden

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir

2 Se trata de una Permutación por lo que utilizamos la fórmula:

$_{n}P_{r}=\cfrac{n!}{(n-r)!}$

$n=8\; \; \; \; \; r=8$

3 Sustituimos y resolvemos:

$_{8}P_{8}=\cfrac{8!}{(8-8)!}=8!=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=40320$

Personas alrededor de una mesa redonda

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

1 Establecemos las condiciones del ejercicio:

Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse 8 personas

Al ser un arreglo circular debemos eliminar las repeticiones circulares

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir

2 Se trata de una Combinación por lo que utilizamos la fórmula:

$_{n}C_{r}=\cfrac{n!}{n\cdot (n-r)!}$

$n=8\; \; \; \; \; r=8$

3 Sustituimos y resolvemos:

$_{8}C_{8}=\cfrac{8!}{8\cdot (8-8)!}=7!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5040$

Formando números usando cifras

Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4;

¿Cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4;

¿Cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

Tenemos 3 elementos a, b, c, que se repiten:

$m=9\; \; \; \; \; a=3\; \; \; \; \; b=4\; \; \; \; \; c=2\; \; \; \; \; a+b+c=9$

Se trata de una permutación con varios elementos que se repiten por lo que usamos la fórmula:

$P_{n}^{a,b,c}=\cfrac{n!}{a!\cdot b!\cdot c! }$

Sustituimos en la fórmula y resolvemos:

$P_{n}^{a,b,c}=\cfrac{9!}{3!\cdot 4!\cdot 2! }=1260$

Permutaciones con letras

Con las letras de la palabra libro.

¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

Con las letras de la palabra libro.

¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.

Establecemos las condiciones:

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

Al tener 2 vocales con las que puede iniciar podemos calcular el resultado con:

$2\cdot _{n}P_{r}=2\cdot \cfrac{n!}{(n-r)!}$
$2\cdot _{n}P_{r}=2\cdot \cfrac{n!}{(n-r)!}=2\cdot \cdot \cfrac{4!}{(4-4)!}=2\cdot 4!=2\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 =48$

Crea combinaciones de 5 cifras

¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares?

¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares?

¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

Establecemos las condiciones:

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

Para encontrar los números de cinco cifras usando los dígitos impares (1,3,5,7,9) usamos la siguiente fórmula:

$_{n}P_{r}=\cfrac{n!}{(n-r)!}$

Sustituimos y resolvemos:

$_{5}P_{5}=\cfrac{5!}{(5-5)!}=5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$

Para encontrar los números que sean mayores a 70000 consideramos aquellos que empiecen con 7 u 8

$2\cdot _{4}P_{4}=2\cdot \cfrac{4!}{(4-4)!}=2\cdot 4!=2\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48$

Ejercicio de mensajes con banderas

En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes.

¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes.

¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

Tenemos 3 elementos a, b, c, que se repiten:

$m=9\; \; \; \; \; a=3\; \; \; \; \; b=2\; \; \; \; \; c=4\; \; \; \; \; a+b+c=9$

Se trata de una permutación con varios elementos que se repiten por lo que usamos la fórmula:

$P_{n}^{a,b,c}=\cfrac{n!}{a!\cdot b!\cdot c! }$

Sustituimos en la fórmula y resolvemos:

$P_{n}^{a,b,c}=\cfrac{9!}{3!\cdot 2!\cdot 4! }=1260$

Cuadro deportivo de Fútbol

¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?

Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.

1 Establecemos las condiciones del ejercicio:

Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

2 Se trata de una Permutación por lo que utilizamos la fórmula:

$_{n}P_{r}=\cfrac{n!}{(n-r)!}$

$n=10\; \; \; \; \; r=10$

3 Sustituimos y resolvemos:

$_{10}P_{10}=\cfrac{10!}{(10-10)!}=10!=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=3628800$

Problema de permutaciones con una restricción

Una mesa presidencial está formada por ocho personas

¿De cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

Una mesa presidencial está formada por ocho personas.

¿De cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

Consideramos las dos personas que deben ir juntas como una sola lo cual se logra de 2! maneras. Ahora hay siete personas para sentar alrededor de la mesa y se cumple que:

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

Podemos resolver el ejercicio con:

$2! \cdot _{n}C_{r}$

$2! \cdot _{7}C_{7}=2!\cdot \cfrac{7!}{7\cdot (7-7)!}=2!\cdot 6!=2\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=1440$

Calcular cuantas formas hay de acomodar libros

Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante.

De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:

1 Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
2 Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante.

De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:

1 Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

$\underline{\underline{M} \: \underline{M}\: \underline{M}\: \underline{M}}\: \underline{\underline{F}\: \underline{F}\: \underline{F}\: \underline{F}\: \underline{F}\: \underline{F}}\: \underline{\underline{Q}\: \underline{Q}}= 4!\cdot 6!\cdot 2!\cdot 3!=207360$

2 Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

$\underline{\underline{M} \: \underline{M}\: \underline{M}\: \underline{M}}\: \underline{F}\: \underline{F}\: \underline{F}\: \underline{F}\: \underline{F}\: \underline{F}\: \underline{Q}\: \underline{Q}= 4!\cdot 9!=8709120$

Ordenando esferas

Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules.
Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí.

¿De cuántas formas posibles pueden ordenarse?

Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules.
Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí.

¿De cuántas formas posibles pueden ordenarse?

Tenemos 3 elementos a, b, c, que se repiten:

$m=9\; \; \; \; \; a=5\; \; \; \; \; b=2\; \; \; \; \; c=3\; \; \; \; \; a+b+c=9$

Se trata de una permutación con varios elementos que se repiten por lo que usamos la fórmula:

$P_{n}^{a,b,c}=\cfrac{n!}{a!\cdot b!\cdot c! }$

Sustituimos en la fórmula y resolvemos:

$P_{n}^{a,b,c}=\cfrac{10!}{5!\cdot 2!\cdot 3! }=2520$

Resolver las ecuaciones

1 $P_{x}=132\cdot P_{x-2}$

2 $12\cdot P_{x}+5\cdot P_{x+1}= P_{x+2}$

3 $P_{x}=2\cdot V_{5}^{3}$

Resolver las ecuaciones:

Soluciones:

1 $P_{x}=132\cdot P_{x-2}$

$x!=132\cdot (x-2)!$

$x\cdot (x-1)\cdot (x-2)!=132\cdot (x-2)!$

$x\cdot (x-1)=132$

$x^{2}-x-132=0$

$x=12\; \; \; \; \; x=-11$

Descartamos la solución negativa por lo que $x=12$

2 $12\cdot P_{x}+5\cdot P_{x+1}= P_{x+2}$

$12\cdot x!+5\cdot (x+1)\cdot x!=(x+2)\cdot (x+1)\cdot x!$

$12+5\cdot (x+1)=(x+2)\cdot (x+1)$

$12+5x+5=x^{2}+3x+2$

$x^{2}-2x-15=0$

$x=5\; \; \; \; \; x=-3$

Descartamos la solución negativa por lo que $x=5$

3 $P_{x}=2\cdot V_{5}^{3}$

$x!=2\cdot 5\cdot4\cdot3=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5!$

$x!=5!$

$x=5$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Espinosa

Mayo

¿Cuantas permutaciones de cuatro letras puede obtener con las primeras 10 letras del alfabeto?

Ivanella Benavides

Agosto

Hola, ¿me podrían ayudar con mi tarea?
5.Un grupo de cinco amigos, dos hombres y tres mujeres, ingresan a un restaurante. Si en el restaurante hay cinco asientos disponibles, ¿cuál es la probabilidad de que las dos mujeres se sienten juntas?

Cristian David GOMEZ SERRANO

Septiembre

Cuantas combinaciones de letras distintas de 5 letras se pueden construir con las letras de la palabra CLAVE?

Juan Carlos

Noviembre

120 combinaciones

Paola

Septiembre

1. Víctor desea viajar de Medellín a España, pero debe ir a Rionegro y hacer escala en
Portugal. Para ir de Portugal a España existen 6 líneas aéreas, para ir de Medellín a
Rionegro lo puede hacer por vía terrestre en 3 rutas, o lo puede hacer por 2 rutas
aéreas. Si para ir de Rionegro a Portugal existen 5 líneas aéreas. ¿Cuántas maneras
diferentes puede hacer el viaje Víctor? ¿cuántas maneras diferentes de ida y
regreso?(realiza la representación)

Olga Lucía

Diciembre

180 formas de viajar

nivl

Octubre

Cuantas palabras de 5 letras se pueden formar sin importar el significado, con las letras de la palabra «PROBLEMA»

Andrés

Octubre

¿En un restaurante hay 6 sitios disponibles para ubicar a los clientes, de cuantas maneras puede
ubicarse 10 personas? Teniendo en cuenta que es importante el orden me pueden ayudar en esto por favor

Anthonny

Noviembre

cuantos grupos de 8 letras se pueden formar con las letras de la palabra natación.

Olga Lucía

Diciembre

10080 palabras

Karol

Octubre

3. En un baile escolar la profesora forma parejas sacando de una bolsa el nombre de un niño y de otra el nombre de una niña. Si en el curso hay 9 niños y 7 niñas, ¿Cuántas parejas distintas se pueden formar?

4. Un producto se vende en tres mercados, en el primero está disponible en 7 tiendas en el segundo en cuatro y en el tercero en 6. ¿ de cuantas maneras puede adquirir una persona dicho producto?

Dave

Enero

3) Multiplica 9P1 X 7P1, pues hay sólo un espacio para niñas y uno para niños, y como deben pasar ambos eventos, usamos el principio de la multiplicación. al final nos da 441.
hay 441 combinaciones

4) En este pasa un evento a la vez, o lo compras en alguna de las primeras 7 o en alguna de las 4, etc… nos queda entonces 7+4+6 = 17
HAY 17 FORMAS DE COMPRAR DICHO PRODUCTO

Vivi

Octubre

En una videoconferencia con 7 alumnos se requiere se conecten en forma aleatoria a la videoconferencia.
De cuántas formas se pueden conectar si son libres de elegir el orden en que deben conectarse ?? Permutacion

Erika

Noviembre

¿De cuantas maneras diferentes se pueden acomodar 4 personas en una fila de 6 asientos, dejando 2 asientos libres de siempre juntos?

Dayelin

Octubre

¿De cuántas formas se pueden sentar 6 personas en una fila de 4 asientos?

Olga Lucía

Diciembre

se pueden sentar de 360 formas

sara

Octubre

¿De cuántas maneras se pueden ordenar en fila los 10 hombres y las 8 mujeres
si los hombres deben estar juntos y las mujeres también?

Olga Lucía

Diciembre

5040 permutaciones

Milagros

Enero

5040

ronderos

Septiembre

carlos invita a maria al cine y a sus 3 hermanos ¿ cuantas maneras posibles pueden sentarse si a la derecha e izquierda de carlos debe ir un hermano?

Gaspar Leon

Junio

Hola,

las distintas formas de acomodar 2 hermanos y en medio a Carlos están dadas por P_3,2* P_1,1=6; podemos pensar como un solo elemento “B” a Carlos y los dos hermanos de María a ambos lados. De esta forma B, María y el hermano restante son tres elementos que se deben acomodar en tres lugares lo cual puede realizarse de P_3,3=6 maneras. Así, las distintas formas de acomodar a Carlos, María y los tres hermanos con la condición que siempre haya un hermano a ambos lados de Carlos es
(P_3,2* P_1,1)*P_3,3=6*6=36

Un saludo

MARIA RAMIREZ BRAVO

Septiembre

Buenas espero que me ayuden con esta pregunra
1. Una ejecutiva cuenta con 4 vestidos (negro, café, azul, blanco), 3 chaquetas (negra, gris, beige) y 2 pares de zapatos (negros y cafés) para una reunión de los directivos, determina la probabilidad de que la ejecutiva se vista:
A) Totalmente de negro.
B) Con la chaqueta y el vestido del mismo color.

Jose romero

Septiembre

n = 4…..n¡…..4¡= 4x3x2x1….y como Carlos solo se mueve dos lugares. 2¡

P(4,2)= 4¡/2¡ = 4x3x2x1/2×1 = 12

Anlllile

Septiembre

sean P = {a,b}y q=3 cuántos resultados distintos se pueden obtener

LUNA

Octubre

¿Cuántos números de cinco cifras existen, con la única condición de no repetir ningún número dígito?

Gaspar Leon

Mayo

Hola Luna,

como se quiere formar números de cinco cifras con los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, la primera cifra que corresponde a la decena de millar no debe ser el dígito 0; así el número de dígitos que pueden estar en la primera cifra corresponde a una permutación de nueve elementos en grupos de tamaño 1, esto es, P(9,1)=9.

En las cifras dos a cuatro pueden estar cualesquiera de los nueve dígitos restantes (ya que fijamos uno en la primera cifra) incluido el 0; así que el número de dígitos que pueden estar en las cifras dos a cinco corresponden a una permutación de nueve elementos en grupos de tamaño 4, esto es, P(9,4)=3,024.

Finalmente la cantidad de números de cinco cifrs que existen sin ningún dígito repetido es:

[P(9,1)][P(9,4)]=27,216

Espero haber resuelto tu duda.
Saludos.

Jeremy

Septiembre

Hola, busco las mismas preguntas

Carmen

Octubre

Melania ce sento 8 filas despues de la cuarta fabian 2 filas detras de melania y carlos 5 filas delante de fabian alguien que me ayude por fizzz

Superprof

Octubre

Hola Carmen, ¿cuál es tu pregunta?

Eze

Octubre

¿cuántos números de 4 cifras distintas pueden formarse? Con los dígitos 12345

Aldo

Septiembre

¿cuantas permutaciones se pueden hacer con la expresion 56712BY

Luis Ernesto Sanchez Perez

Octubre

Buen día.

Primero, notemos que como no hay dígitos ni números repetidos, entonces sí podemos considerar todos los elementos sin problema. Así, las características son que se toman todos los elementos, no hay repetidos y sí importa el orden, por lo tanto, las permutaciones es simplemente el factorial de la cantidad de elementos en la expresión, dado que tenemos 7 elementos, la cantidad de permutaciones es 7! = 5040.

Saludos

Evelyn cardenas

Noviembre

Buenas tardes còmo están alguien que por favor me ayude con estos casos de permutacion sí tengo 3 colores diferentes cuantas banderas de 2 colores se pueden formar

nobody

Diciembre

buen dia, en ese caso es una variacion, N= al numero de datos que tiene la variable, K es el numero de elementos, tu tienes 3 colores, es el total, K=3, si te dice que son 2 colores, N es 2, los colores no se pueden repetir asi que es una variacion sin repeticion, la formula es N factorial sobre N menos K por factorial, (N!)/(K-N)! que nos da (2)!/(2-3)!= 2

LUNA

Octubre

¿Cuántos mensajes diferentes pueden enviarse con una sucesión de cuatro líneas y tres puntos?

Gaspar Leon

Mayo

Hola Luna,

se trata de una permutación con repetición dado que las líneas y puntos se repiten. La fórmula a emplear es P(n+m,[n,m])=(n+m)!/(n! m!). Así, el número de mensajes diferentes que se pueden enviar es

P(7,[4,3])=7!/(4! 3!)=35.

Espero haber resuelto tu duda.
Saludos

Glendy

Agosto

Hola cuantos numeros de 5 digitos diferentes pueden formarse con los numeros 2,3,4,5y6 si los numeros pueden repetirse?

Gaspar Leon

Septiembre

Hola,

vamos a resolverlo empleando el método de las casillas, para esto consideramos cinco casillas
_ _ _ _ _

y en cada una puede ir cualquiera de los cinco dígitos por lo que tenemos cinco posibilidades de elección. Como esto sucede para cada cifra, ya que los dígitos se pueden repetir, entonces se tiene
$\underline{5}\cdot\underline{5}\cdot\underline{5}\cdot\underline{5}\cdot\underline{5} =3,125$

Así, se pueden formar 3,125 números de cinco dígitos con la condición que los dígitos puedan repetirse.

Espero te sea de utilidad.
Un saludo.

Méndez

Octubre

Muchas gracias! Me ayudó muchísimo a estudiar!

Yovani barrios lopez

Octubre

Encuentre el número de palabras con o sin significado que se puede formar con las letras de la palabra silla?

perez

Noviembre

¿Cuántas sucesiones diferentes se pueden formar con 7 ceros y 5 unidades de modo que no queden dos unidades seguidas?

Gaspar Leon

Junio

Hola,

se debe formar una lista de 12 elementos con repetición de manera que no puede haber 2 unidades consecutivas, por ello consideramos una lista de 7 elementos C_7,7=1 y en cada lista dejamos 8 huecos para elegir 5 de ellos C_8,5=56

_0_0_0_0_0_0_0_

El número de sucesiones diferentes que se pueden formar es (1)(56)=56

Un saludo

KIMBERLYN

Septiembre

Hola, me pueden ayudar:(?
1. ¿De cuántas maneras se pueden alinear 5 cuadros sobre una pared?
2. ¿De cuántas maneras se pueden arreglar las letras del conjunto {R,S,T,U} para formar códigos ordenados de 2 letras? Escriba los arreglos posibles.
3. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 5 idiomas entre 8?

Julio Cesar Alcaraz Siqueiros

Septiembre

¡Hola kimberlyn!
Respuesta 1
Preguntarnos por todas la maneras de alinear 5 cuadros, es equivalente a preguntarnos por el total de permutaciones de los 5 cuadros, y esto se calcula utilizando la operación factorial, es decir:

$\text{P}_{n}=n!$

para nuestro caso

$\text{P}_{5}=5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$

Entonces los cuadros se pueden alinear de 120 maneras diferentes.

Respuesta 2
En este caso nos preguntan las maneras de arreglar las letras {R,S,T,U} en códigos de dos letras, esto es equivalente a preguntarnos por el número de permutaciones posibles de 4 letras en 2 espacios; recordemos la fórmula

$\text{P}_{n,r}=\frac{n!}{(n-r)!}$

donde la fórmula nos indica «las permutaciones de r elementos tomando de un conjunto de n elementos», en nuestro caso tenemos:

$\text{P}_{4,2}=\frac{4!}{(4-2)!}$

$\text{P}_{4,2}=\frac{24}{2}=12$

es decir que habrá 12 diferentes claves de dos letras y estas son:

RS, RT, RU, SR, ST, SU, TR, TS, TU, UR, US, UT

Respuesta 3
Para este caso vamos a considerar las combinaciones de 5 idiomas diferentes de entre 8 posibilidades. Es importante hacer la observación que aquí no se consideran las permutaciones, son solo las combinaciones y esto se debe a la naturaleza de la pregunta, por ejemplo, supongamos que elegimos los siguientes 5 idiomas

Inglés, Español, Frances, Alemán y Mandarín

este conjunto sería igual a elegir

Frances, Inglés, Alemán, Mandarín y Español

porque son los mismos idiomas, no importa el orden; en las permutaciones el orden sí es importante, retomando el ejercicio anterior, generar las claves TU y UT, son claves diferentes porque el orden ahí si importa.

Habiendo aclarado lo anterior, tenemos que las combinaciones de r elementos de un conjunto de n elementos se escribe:

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}$

para nuestro caso tenemos

$\binom{8}{5}=\frac{8!}{(8-5)!5!}$

$\binom{8}{5}=\frac{8!}{3!5!}=\frac{40320}{6\cdot 120}$

$\binom{8}{5}=\frac{40320}{6\cdot 120}=56$

Es decir, hay 56 maneras diferentes de elegir 5 idiomas de entre un conjunto de 8.

Espero esta respuesta haya sido de tu ayuda. Recuerda que puedes consultarnos en caso de tener alguna otra duda.
¡Saludos!

adil

Noviembre

si tenemos 88.000 palabras, cuantas frases de tres palabras puede formar?

Gaspar Leon

Junio

Hola,

consideramos que si influye el orden de las palabras y que no hay frases formadas por tres palabras iguales, con estas condiciones se trata de una permutación
P_{88,000, 3} ≈6.8145×10¹⁴ frases distintas.

Un saludo

Momo

Noviembre

4. La Cámara de Consultores de México seleccionará su nuevo Comité, el cual estará integrado por 7 miembros. Dentro de los elegibles se encuentran,
6 ingenieros
4 administradores
8 abogados
3 contadores
¿De cuántas formas puede integrarse el Comité si debe haber al menos 3 Ingenieros, 1 Abogado, 2 Administradores y 1 Contador?

Gaspar Leon

Junio

Hola,

como la condición al menos incluye 7 miembros no podemos considerar 4 ingenieros ya que solamente sobrarían 3 lugares en los que debemos colocar a 1 abogado, 2 administradores y un contador, lo cual no es posible de realizar. Debido a esto solamente hay un caso que analizar; como no importa el orden se emplea combinaciones.

Existen C_6,3=20 maneras de elegir tres ingenieros, C_8,1=8 maneras de elegir un abogado, C_4,2=6 maneras de elegir dos administradores y C_3,1=3 maneras de elegir un contador.

Así, existen
C_6,3*C_8,1*C_4,2*C_3,1=(20)(8)(6)(3)=2,880
formas de integrar el comité con la condición dada.

Un saludo

Almeralla

Abril

Muchas gracias, tenía duda en algunos pero pude verificar si estaba bien con sus ejercicios ;;

Superprof

Mayo

¡Nos alegramos! 🙂

Aguilar

Mayo

¿cuantas permutaciones podemos obtener si debemos de ordenar abcdefg en 5 areas diferentes?

Luis Ernesto Sanchez Perez

Junio

¡Buen día, Aguilar!

Resolvamos el ejercicio.

Si al decir en 5 áreas diferentes te refieres a hecho de tomar 5 letras de esas 7. Entonces el resultado está dado por variaciones.

$\begin{align*} V_7^5 &= \frac{7!}{(7-5)!}\\ &= \frac{7!}{2!}\\ &= 7*6*5*4*3\\ &= 2520 \end{align*}$

Así, el resultado es que tenemos 2520 posibles «permutaciones».

Saludos.

Gomez

Mayo

Hola. Me podria ayudar con esta actividad.

1. (Técnicas de Conteo). Siete personas se presentan para solicitar trabajo como cajeros en una tienda de descuento.

a. Si solo hay tres trabajos disponibles, ¿de cuántas maneras se pueden seleccionar tres de siete solicitantes?
b. Supongamos que hay tres solicitantes masculinos y cuatro femeninos, y los siete son igualmente calificados, por lo que los tres trabajos se llenan al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el de tres contratados todos sean del mismo sexo?
c. ¿De cuántas maneras diferentes podrían alinearse los siete solicitantes mientras esperan una entrevista?
d. ¿Si hay cuatro mujeres y tres hombres, de cuántas maneras pueden ser los solicitantes aplicados si los tres primeros son mujeres?

Luis Maciel Baron

Junio

¡Hola! Con mucho gusto te ayudo con estás preguntas:

a. Al haber 3 trabajos disponibles pero al ser para puestos similares, no importa en que orden se elijan a los 3 empleados. Por lo tanto podemos resolverlo mediante una combinación

$_{n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ donde ‘n’ es el número de candidatos (7) y ‘r’ el número de personas que seleccionarán (3)

$_{7}C_{3}=\frac{7!}{3!(7-3)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2}=35$

Pueden seleccionar a 3 personas de 35 maneras diferentes.

b. En este caso calculamos la probabilidad de que se elijan 3 hombres y la probabilidad de que se elijan 3 mujeres y aplicamos el principio aditivo.

$P(3\; Hombres )= \frac{3}{7}\cdot \frac{2}{6}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{35}$

$P(3\; Mujeres )= \frac{4}{7}\cdot \frac{3}{6}\cdot \frac{2}{5}=\frac{4}{35}$

$P(3\; Mujeres )\cup P(3 Hombres)= \frac{4}{35}+\frac{1}{35}=\frac{5}{35}=\frac{1}{7}$

La probabilidad de elegir 3 hombres o 3 mujeres es de 1/7

c. Como hay que acomodar a los 7 solicitantes en una línea, se podrían acomodar de 7! formas diferentes: 7!= 5040 formas diferentes

d. En este caso calculamos primero las maneras en que podemos ordenar a las 3 mujeres: 3!= 6
Luego calculamos las formas en que podemos acomodar a los 4 solicitantes restantes: 4!= 24
Aplicamos el principio multiplicativo: 6 x 24 = 144 formas diferentes

Espero que te sea de utilidad. Nos mantenemos al pendiente si surgen más dudas 🙂

Monica

Noviembre

Hola

En la pregunta c que acabas de contestar, ¿ cómo sería si preguntan cuantos grupos de 3 serían si fueran solo hombres o solo mujeres?

Dime porfavor si está bien lo que hice :

3×2 + 4x3x2x1

6 + 24

Jose Gabriel Rosales Castañeda

Diciembre

Hola Mónica.

Si buscas el las diferentes formas de tomar grupos de 3 donde todos sean del mismo sexo y tienes 3 hombres y 4 mujeres entonces, el resultado es correcto.

Saludos.

✌🏼🙁

Mayo

Me confundió más 😭😭😭😭😭

Superprof

Mayo

Hola, antes de intentar resolver los ejercicios, te aconsejamos leer la teoría. Todo será más sencillo después de haber entendido cómo se resuelven y teniendo las fórmulas al lado. ¡Un saludo!

espinoza

Mayo

: En un estante hay 12 libros diferentes. Determina el número de selecciones de 8 libros diferentes que pueden hacerse

Gaspar Leon

Mayo

Hola,

recuerda que si importa el orden de la selección, es decir que libro va primero y cual después entonces se trata de una permutación y sería (12 P 8)=19,958,400. Si solamente te importa los grupos de 8 libros sin su orden interno, entonces se trata de una combinación y sería (12 C 8)= 495

un saludo.

saavedra

Mayo

En una competencia participan 6 atletas, si se sabe que
solo se premia a los 3 primeros, además no hay empate,
se sabe también que Lucho que es uno de estos
6 atletas ha quedado primero. ¿De cuántas maneras
se podrá premiar a 3 de estos atletas?

Karla Paulette Flores Silva

Junio

Hola, como sabemos que Lucho quedó primero, necesitamos calcular de cuantas formas podrían las 5 personas restantes ocupar el 2do y 3er puesto de la competencia. Esto es 5 participantes, 2 lugares. Es una variación ordinaria, pues no entran todos los elementos en el grupo, no hay repetición y sí importa el orden,

V₅² = 5 · 4 = 20

Hay 20 maneras distintas en los que los 5 participantes pueden ocupar estos dos lugares, a estos grupos se le añadirá a Lucho en el 1er en todos.

Si tienes duda te invito a consultar nuestro artículo «Variaciones, permutaciones y combinaciones».

Espero los comentarios te sean útiles,
¡saludos!

gomez

Mayo

cuantos equipos de futbolito se pueden formar con 10 jugadores,, si entre ellos hay un solo portero??

Karla Paulette Flores Silva

Junio

Hola, ¿nos podrías dar más detalles del problema? En específico, sería de ayuda conocer la estructura que deben tener estos equipos

¡saludos!

nfoue

Mayo

¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa?

Karla Paulette Flores Silva

Junio

Hola, para calcular de cuantas maneras se pueden sentar 5 personas en una mesa redonda recurrimos a las permutaciones circulares, que te da una fórmula precisamente para estos casos

PC₅ = P_5-1 = P₄ = 4! = 24

Hay 24 formas de acomodar a 5 personas en una mesa redonda. Si tienes alguna duda puedes consultar nuestro artículo «Permutaciones círculares».

Espero los comentarios te sean útiles,
¡saludos!

Ale

Septiembre

y si me dice que siempre deben sentarse dos de esos amigos juntos?

ruben

Enero

tengo un problema

se vende pan de dos sabores diferentes¿cuantos panes de sabores diferentes podemos elegir entre los sabores de fresa,vainilla,chocolate limon,mango

lucas

Mayo

El problema de permutaciones con una restricción esta mal, es 10080, no 10800.

Karla Paulette Flores Silva

Junio

Hola, muchas gracias por la observación, ya hemos corregido el error

¡saludos!

Rodriguez Lozano

Junio

El número de permutaciones distinguibles de las seis letras de la palabra CAÑADA

Karla Paulette Flores Silva

Junio

Hola, para este problema debemos notar que la letra A se repite 3 veces, mientras que la C, Ñ y D aparecen una vez. Al acomodarlas en una palabra quiere decir que SÍ entran todos los elementos, que SÍ me importa el orden y en este caso SÍ hay repeticiones, entonces se trata de una permutación con repetición. Usando la fórmula obtenemos que

PR₆^3,1,1,1 = 6!/(3! · 1! · 1! · 1!) = 6!/3! = 6 · 5 · 4 = 120

Hay 120 palabras distinguibles con las letras de la palabra CAÑADA

Espero los comentarios te sean útiles,
¡saludos!

alvaro

Junio

Con las letras de la palabra COCODRILO ¿Cuántas palabras de 9 letras se
pueden formar (con o sin sentido)?

Karla Paulette Flores Silva

Junio

Hola Alvaro, para este problema debemos notar que la letra O se repite 3 veces, la letra C dos veces, mientras que la D, R, I, y L aparecen una vez. Al acomodarlas en una palabra quiere decir que SÍ entran todos los elementos, que SÍ me importa el orden y en este caso SÍ hay repeticiones, entonces se trata de una permutación con repetición. Usando la fórmula obtenemos que

PR₉^3,2,1,1,1,1 = 9!/(3! · 2! · 1! · 1! · 1! · 1!) = 9!/(3! · 2!) = 30240

Hay 30240 palabras distinguibles con las letras de la palabra COCODRILO

Espero que encuentres la solución clara y útil,
¡saludos!

luna

Junio

en el ejercicio de «Calcular cuantas formas hay de acomodar libros»
en el inciso A ¿ de donde sale el dato de p3?
en el inceso B ¿ de donde sale el dato de p9?

Karla Paulette Flores Silva

Junio

Hola, la permutación P₃ sale de las permutaciones que puede haber entre el apartado para los libros de matemáticas, el apartado de libros de química y el apartado de libros de Física. En otras palabra ese P₃ considera que primero pueden ir los de matemáticas, luego los de física y luego los de química (lo que se traduce a algo equivalente con las iniciales MFQ), o bien FQM, QMF, etcétera. Si te fijas se trata de la permutación de las 3 materias.

En el inciso B, el P₉ sale de considerar la permutación entre los 6 libros de física, 2 de química y el cúmulo de libros de matemáticas, como van juntos los voy a considerar como un elemento. Entonces debo permutar 6+2+1=9 elementos, y luego multiplicarlo por las formas que hay de permutar los 4 libros de matemáticas en el espacio designado, por eso lo multiplico por P₄.

Espero haber sido de ayuda,
¡saludos!

lucas

Junio

se disponen de 8 banderas diferentes ¿cuántas señales pueden hacerse izándolas de 3 en 3?

Gaspar Leon

Junio

Hola,

como las banderas son diferentes y si importa el orden en el que se izan, entonces se trata de una permutación.
P_8,3=8!/(8-3)!=336
Así, se disponen de 336 señales distintas.

Un saludo

Montse

Octubre

Pero en que se basan para que importe el orden?? Como identificamos si es permutación o combinación? Hay alguna clave??

Jose Gabriel Rosales Castañeda

Noviembre

Hola Montse.

Esto depende del problema que tengas que resolver, por ejemplo si consideras que tienes 8 personas: p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, y quieres formar equipos de 4 personas, en este caso el orden no importaría dado que el equipo es el mismo sin importar el orden en que las personas son elegidas ya que si eliges p1, p2, p3, p4 es el mismo que p4, p2, p3, p1, ya que de todas formas las 4 personas están en el equipo.

Ahora si el problema es de ver cuantos números de 5 cifras puedes formar con los números del 1 al 5 entonces el orden importa ya que no es lo mismo el número 12345 al 32541, tienen los mismos elementos pero no son los mismos.

En general en situaciones que crean grupos de objetos (como personas, canicas, o cartas), necesitamos saber si su orden importa o no. De lo contrario no podemos encontrar los espacios muestral y de eventos. Cuando formamos grupos en los que el orden no importa, los grupos se llaman combinaciones. Cuando formamos grupos en los que el orden sí importa, los grupos se llaman permutaciones. Recuerda con permutaciones, posición (orden) importa.

Saludos.

lucas

Junio

) calcular cada una de las siguientes factoriales: a) n! b) (n+1)!

Superprof

Junio

Hola Lucas, n! = al producto de todos los números enteros empezando por 1:

n! = 1 • 2 • 3 • … • n

La misma regla se aplica para (n+ 1)!:

(n + 1)! = (1 + 1) • (2 + 1) • (3 + 1) • … • (n +1)

¡Un saludo!

Hernandez

Junio

Alguien me podría decir como resolver este problema?
Cuantos números de 10 cifras se pueden formar con los siguientes dígitos 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10?

Gaspar Leon

Junio

Hola,

el 10 que indicas como dígito debe de ser 0, ya que el 10 consta de 2 dígitos. Vamos a resolver el problema considerando los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
El primer dígito de la izquierda no puede ser 0, por lo que hay 9 posibilidades de elegir un número. Las nueve cifras restantes pueden elegirse de 10⁹ maneras si se pueden repetir los dígitos; y de P_9,9=362,880 maneras si no se repiten los dígitos. Por tanto hay
(9)10⁹=9,000,000,000 números considerando repetición de dígitos, y
(9)(362,880)=3,265,920 números considerando que no se repiten los dígitos

Un saludo

Alicia

Octubre

Por qué se multiplica por 9 y no por 10???

Hernandez

Junio

2. ¿Cuántos comités de cinco personas se pueden formar con un grupo de 8 personas, de tal modo que el comité tenga un presidente, un vicepresidente, un vocal, un secretario y un tesorero?
A. 6480
B. 6960
C. 6560
D. 6720
E. 4480

Gaspar Leon

Junio

Hola,

como importa el orden, se trata de una permutación de 8 elementos en grupos de 5
P_8,5=8!/(8-5)!=6,720

Un saludo

Hernandez

Junio

4. Si se disponen de 12 bolas, 3 negras, 4 azules y 5 rojas. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden ordenar si no es posible distinguir las bolas del mismo color?
A. 2500
B. 2770
C. 27000
D. 27720

3. ¿De cuantas formas diferentes pueden sentarse cinco personas alrededor de una mesa circular?
A. 8
B. 12
C. 15
D. 24

Gaspar Leon

Junio

Hola,

como nos interesa el orden y no se pueden distinguir las bolas del mismo color, entonces se trata de una permutación con repetición
P¹²_3,4,5=12!/(3!*4!*5!)=27,720

Para el segundo problema sentamos una persona en cualquier parte, entonces las 4 restantes pueden sentarse de 4!=24 formas distintas posibles y estas son las formas distintas que se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa

Un saludo

Zoila Vargas

Noviembre

Ayuda por favor!
Alejandro tiene 4 libros de arte, 7 de oratoria y 3 de teología. Desea escoger y colocar en un estante 2 de arte, 3 de oratoria y 2 de teología. ¿De cuántos modos distintos puede hacerlo si primero debe colocar los libros de arte, luego los de oratoria y después los de teología?

mancillas

Junio

en la palabra mucielago, no se permiten repeticion de letras y el orden importa, determinar cual es la probabilidad de una palabra de 5 leytras que tenga 3 consonantes y termine en 1 vocal

Gaspar Leon

Junio

Hola,

la palabra mucielago contiene 4 consonantes (C) y 5 vocales (V) distintas. Las distintas formas de formas palabras de 5 letras con 3 consonantes, 2 vocales y que terminen en vocal son: CCCVV, CCVCV, CVCCV, VCCCV por lo que hay 4*(P_4,3)*(P_5,2)=1920 maneras distintas de obtener lo solicitado. Luego la probabilidad de obtener una palabra de 5 letras con 3 consonantes, 2 vocales y que terminen en vocal es
4*(P_4,3)*(P_5,2)/(P_9,5)=1,920/15,120=0.127

Un saludo

Vazquez

Junio

DETERMINE EL NÚMERO DE PERMUTACIONES DE LOS 6 ENTEROS 1,2,3,4,5,6, TOMADOS DE TRES EN TRES.

Gaspar Leon

Junio

Hola,

la fórmula empleada para calcular permutaciones de n=6 en grupos de m=3 es
P_n,m=n!/(n-m)!
Así la permutación buscada es
P_6,3=6!/(6-3)!=120

Un saludo

Kwak

Junio

Calcular el número de permutaciones distintas que pueden formarse con la palabra «palabra» si se toman todas a la vez

Gaspar Leon

Julio

Hola

primero agrupamos las letras repetidas y obtenemos: aaa, p, l, b, r.
El número de permutaciones que se pueden formar con las letras anteriores se obtiene realizando una permutación con repetición:
$PR^{3,1,1,1,1}_7=\displaystyle\frac{7!}{3! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!}=840$

Espero haber sido de ayuda.
Un saludo

Joela

Agosto

¿Qué procedimiento haces para arrojar el resultado?

Gaspar Leon

Septiembre

Hola,

el procedimiento consiste en multiplicar $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4$ , ello se debe al desarrollo de los factoriales y la simplificación de estos.

$PR_7^{3,1,1,1,1}=\displaystyle\frac{7!}{3!\cdot 1!\cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1 \cdot 1 \cdot 1\cdot 1\cdot 1}=7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4=840$

Espero haber aclarado tu duda.
Un saludo.

Hernández

Junio

Me podrían ayudar con esto Pedro y José juegan volados gana el primero que consiga 3 volados. a) cuántos partidos máximos pueden jugar y B) cuántos posibles elementos pueden obtenerse

Gaspar Leon

Julio

Hola,

el número máximo de partidos que pueden jugar es 5 ya que con estos se garantiza un ganador. Observa que en el peor de los casos aciertan dos volados cada uno, eso quiere decir que ya llevan cuatro, por lo que en el quinto volado alguno de los dos tiene que acertar.

El número de posibles elementos que pueden obtenerse es 20. Estos son: {(p,p,p), (p,p,j,p), (p,p,,j,p), (p,p,j,j,j), (p,j,p,p), (p,j,p,j,p), (p,j,p,j,j), (p,j,j,p,p), (p,j,j,p,j), (p,j,j,j) (j,p,p,p), (j,p,p,j,p), (j,p,p,j,j), (j,p,j,p,p), (j,p,j,p,j), (j,p,j,j), (j,j,p,p,p), (j,j,p,p,j), (j,j,p,j), (j,j,j)}.
Te puedes apoyar en un diagrama tipo árbol para obtenerlo.

Un saludo

Nostra

Junio

¿De cuántas maneras se pueden elegir 5 letras de las letras l, m, N, p, q, r, S, t, u?

Gaspar Leon

Julio

Hola,
como se trata de elegir 5 letras de un total de 9 letras, entonces se trata de una combinación ya que no importa el orden de las letras puesto que no se está solicitando palabras formadas por estas 5 letras.
Así, existen C₉⁵=126 maneras de elegir 5 letras.
Un saludo

gonzalez

Junio

se lanzan 4 volados consecutivos con una moneda, se lanzan 3 dados y se escoge una carta de 40 cartas.¿cuantos resultados distintos se pueden obtener?

Luis Ernesto Sanchez Perez

Julio

Hola, buen día.

Este resultado no es muy complicado. Primero,

a) 4 Volados

Tenemos que cada cara tiene dos lados, por lo tanto, tenemos

$2^4 = 16$

Posibles resultados

b) Se lanzan 3 dados

Cada dado tiene 6 caras, por lo tanto tenemos

$6^3 = 216$

resultados.

c) Como solo se toma una carta entre 49, pues tenemos solamente 49 posibles resultados.

Así, en total, al combinar todos estos experimentos tenemos

$2^4 * 6^3 * 49 = 16 * 216 * 49 = 169344$

posibles resultados.

Saludos.

Joel Medina

Junio

Espero y me puedas ayudar con esto
En el zoologico de la ciudad de mexico se exhibian en 9 jaulas: 5 monos araña numerados del 1 al 5 y 6 pandas numerados del 1 al 6

a) de cuantas formas diferentes pueden colocarse
b) si los pandas deben estar en jaulas contiguas¿de cuantas formas podran exhibirse los mono araña y los pandas?

Karla Paulette Flores Silva

Julio

Hola, ¿podrías darnos más detalles del problema? ya que como son 9 jaulas y 11 animales necesitamos saber si debe haber un animal por jaula, o si puede haber dos o más. Supondremos que es uno por jaula. En este caso como cada animal está enumerado, son elementos que no se repiten. Entonces:

a) ¿De cuántas formas diferentes pueden colocarse?

Tengo 11 elementos sin repetición (pues serán diferentes acomodos si pongo al mono araña 1 al principio que si pongo al 2), que se deben acomodar en 9 lugares. Esto es una variación ordinaria, por lo que se calcula

V₁₁⁹ = 11!/(11-9)! = 11!/2! = 19,958,400

Hay 19,958,400 maneras de acomodar a los mono arañas y pandas en estas nueve jaulas

b) Si los pandas deben estar en jaulas contiguas ¿de cuántas formas podrán exhibirse los mono araña y los pandas?

Debo dividir por casos, cuando se exhiben 4 pandas, cuando se exhiben 5 y cuando se exhiben los 6 (no se pueden exhibir menos porque sobraría espacio en las jaulas ya que contamos con 5 mono arañas máximo).

Caso 1) 4 pandas exhibidos

Como las 4 jaulas de pandas estarán juntas, consideraremos todas como un solo bloque, como un elemento en conjunto con los 5 mono arañas, son 6 los elementos que quiero permutar, entonces hay

P₆ = 6! = 720 maneras de acomodar el bloque destinado para los pandas y los 5 mono arañas

multiplicaremos este resultado por las formas que hay de acomodar pandas en los 4 espacios disponibles para ellos

V₆⁴ = 6!/(6-4)! = 6!/2! = 360

Hay 720*360 = 259,200 maneras de acomodar 5 mono arañas y 4 pandas, de tal manera que los pandas estén juntos

Te invitamos a verificar que al proceder de la misma manera para el caso en el que hay 5 y 6 pandas (al final se suman los de cada caso), obtendremos que finalmente hay

P₆·V₆⁴ + P₅·V₆⁵ + P₄·V₆⁶ = 259,200 + 86,400 + 17,280 = 362,880 maneras de acomodar mono arañas y pandas, de tal manera que los pandas estén juntos

Espero las soluciones te sean útiles,
¡saludos!

Elizondo

Junio

Un dado es tirado siete veces y el orden de
los tiros es considerado. ¿De cuántas maneras
pueden ocurrir dos números 2, tres 3, un 4 y un
5?

Karla Paulette Flores Silva

Julio

Hola, quiero saber de cuántas maneras pueden ocurrir que de las 7 tiradas del dado obtenga dos veces el 2, tres veces el 3, un 4 y un 5. Entonces quiero permutar los siguientes elementos:

2, 2, 3, 3, 3, 4, 5

Sí importa el orden, sí hay elementos repetidos, y sí entran todos los elementos, por lo que se trata de una permutación con repetición

PR₇^2,3,1,1 = 7!/(2! · 3! · 1! · 1!) = 7!/(2! · 3!) = 420

Existen 420 maneras de que al tirar 7 veces el dado obtenga dos 2, tres 3, un 4 y un 5.

Espero los comentarios te sean útiles,
¡saludos!

MENDOZA

Junio

UN ENTRENADOR DE FÚTBOL QUIERE PRESENTAR UNA ALINEACIÓN CON 3 DEFENSAS, 4 CENTROCAMPISTAS Y 3 DELANTEROS.SI DISPONE DE 3 PORTEROS,7 DEFENSAS,10 CENTROCAMPISTAS Y 6 DELANTEROS,¿CUANTAS ALINEACIONES DISTINTAS PUEDE PRESENTAR TENIENDO EN CUENTA QUE CADA JUGADOR SOLO PUEDE JUGAR EN SU LINEA CORRESPONDIENTE?

el problema se trata de Combinaciones – Permutaciones – Variaciones

Karla Paulette Flores Silva

Julio

Hola, la alineación será constituida por

1 portero
3 defensas
4 centrocampistas
3 delanteros

tengo que ver cuántas formas hay de elegir un portero de los 3 disponibles.

Al elegir 1 de 3 no importa el orden, no entran todos los elementos, no hay repeticiones, entonces es una combinación: C₃¹ = 3!/(2!·1!) = 3

Esto tengo que multiplicarlo por las formas que hay de elegir 3 defensas de las 7 disponibles, y por las formas de elegir 4 centrocampistas de 10 y 3 delanteros de 6. En total hay:

C₃¹ · C₇³ · C₁₀⁴ · C₆³ = 3 + 35 + 210 + 20 = 268

Hay 268 maneras diferentes de presentar la alineación del equipo de fútbol.

Espero que encuentres la solución clara,
¡saludos!

Luperon

Junio

¿ De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 6 personas en 7 butacas ?

Karla Paulette Flores Silva

Julio

Hola, notemos que es equivalente repartir a las personas en las 7 sillas, o repartir 7 papelitos a las 6 personas con el lugar de la silla que le toque. Si consideramos los 7 papelitos tomados de 6 en 6 para ser repartidos luego a las personas, en este caso sí importa el orden, no entran todos los elementos y no hay repeticiones, se trata de una variación ordinaria, por lo tanto

V₇⁶ = 7!/(7-6)! = 7!/1! = 7! = 5040

Hay 5040 maneras diferentes en las que 6 personas se puedan sentar en 7 butacas

Espero los comentarios te sean útiles,
¡saludos!

Noe

Junio

Resuelvan el siguiente problema considerando todas las posibilidades (de una,
dos, tres y cuatro cifras)
¿Cuántos números menores de 10.000 se pueden armar con los dígitos 2, 3, 5
y 7 sin repetir ninguno de los dígitos en cada número?

Karla Paulette Flores Silva

Julio

Hola, en los números de dos, tres o cuatro cifras formados como dice el problema

NO hay repeticiones de los dígitos

SÍ importa el orden de los dígitos

Se trata de variaciones ordinarias. Así que hay:

Una cifra V₄¹ = 4!/3! = 4 números

Dos cifras V₄² = 4!/2! = 12 números

Tres cifras V₄³ = 4!/1! = 24 números

Cuatro cifras V₄⁴ = 4!/0! = 24 números

En total hay 4+12+24+24=64 números menores de 10,000 que se pueden armar con los dígitos 2,3,5 y 7 sin repetir

Espero la solución te sea útil
¡saludos!

Ventura

Junio

Si quiero sentar 10 delegados, entre ellos los de Francia, Inglaterra, EUA y Rusia, en una fila. ¿De cuántas maneras puedo hacerlo si Francia e Inglaterra siempre deben sentarse juntos mientras que EUA y Rusia siempre deben sentarse separados?

Luis Maciel Baron

Julio

¡Hola!

Con mucho gusto te apoyo con tu ejercicio

La estrategia a seguir es la siguiente:

1) Calcularemos las formas en que podemos sentar a los 10 delegados y que el de Francia e Inglaterra queden juntos. Para ello, consideraremos a Francia e Inglaterra como un sólo «objeto» por lo que podemos considerar sólo 9 posiciones a ocupar. por lo tanto, se pueden acomodar de 9! formas distintas. Ahora, consideremos que los delegados de Francia e Inglaterra (Juntos) pueden acomodarse de 2 formas distintas entre sí, por lo que en total tendríamos:

$2\times 9!=725760$ formas distintas de sentar a los 10 delegados y que los de Francia e Inglaterra queden juntos.

2) Ahora, debemos ver dentro de ese total de cuántas maneras quedarían los delegados de EUA y Rusia juntos y restarlos del total. El razonamiento es el mismo: Consideramos EUA-Rusia como un único elemento (que puede acomodarse de 2 formas distintas), Francia-Inglaterra como un único elemento (que puede acomodarse de 2 formas distintas) y habría que acomodar un total de 8 elementos. Así, las combinaciones que incluyen a EUA y Rusia juntos son:

$2\times 2\times 8!=161280$

3) Por último restamos ambas cantidades para eliminar las posibilidades de que EUA y Rusia estén juntos:

$725760-161280=564480$

Que serían las combinaciones posibles considerando que Francia e Inglaterra estarán juntos y EUA y Rusia estarán separados

Espero que ésta explicación te sea de utilidad. No dudes en consultarnos para más preguntas que tengas.

¡Saludos!

Oyola Xiomara

Junio

¿de cuantas maneras pueden ser colocados 12 automoviles en un stok, si 3 de ellos son Fiat, 5 son ford, 2 toyota y 2 BMW?

Luis Maciel Baron

Julio

¡Hola!

En este caso no nos dan ninguna condición sobre si los autos deben ir acomodados bajo ciertas condiciones, por lo que simplemente podemos calcular las formas en que podemos acomodar los 12 autos que sería:

$12!= 479001600$

Espero que te sea de utilidad. ¡Saludos!

Sosa

Junio

Escribir la canidad de numeros que se pueden obtener permutando las cifras en cada caso
A) 23
B)234
C)2345
D)23456

Luis Maciel Baron

Julio

¡Hola!

Con gusto te apoyo con tu duda:

Para saber el número de permutaciones posibles simplemente calculamos n!

a) 2 cifras, entonces 2! = 2

b) 3 cifras, entonces 3! = 3*2*1=6

c) 4 cifras, entonces 4! = 4*3*2*1=24

d) 5 cifras, entonces 5! = 5*4*3*2*1=120

Espero que esta breve explicación te sea de utilidad. No dudes en consultarnos para más dudas que tengas.

¡Un saludo!

Marts

Junio

Cuantos números de cinco dígitos se pueden formar con 8 números.

Luis Maciel Baron

Julio

¡Hola!

Con gusto te apoyo con la solución de tu ejercicio.

No nos indican si puede haber o no repetición. En caso de que se puedan repetir los números:

$n=8^{5}=32768$

En caso de que no se puedan repetir los números:

$n=\cfrac{8!}{(8-5)!}=8\times 7\times 6\times 5\times 4=6720$

Espero que esta breve explicación te sea de utilidad. No dudes en consultarnos para más dudas que tengas.

¡Un saludo!

Bartolo

Junio

33
2. Una dirección gubernamental cuenta con 102 empleados ¿de cuántas
maneras pueden ser asignados los cargos de director general, director
general adjunto, director de área, subdirector, jefe de departamento, si
ningún miembro puede tener más de un cargo? y ¿de cuántas maneras
pueden ser asignados los cinco cargos si cada uno debe ser ocupado
por miembros diferentes?

Juan Manuel Sanchez Perez

Julio

¡Hola, Bartolo! Lo primero que debemos darnos cuenta es que las dos preguntas se refieren a lo mismo. Si ningún miembro puede tener más de un cargo, entonces todos los cargos deben ser ocupados por miembros diferentes.

Una vez que nos damos cuenta de eso, entonces debemos darnos cuenta que se tratan de variaciones ya que

Elegimos elementos de un conjunto.
Los elementos no se pueden repetir.
Sí importa el orden de los elementos.

Una vez dicho esto, sólo se trata de utilizar la fórmula:

$V_{102}^{5} = \frac{102!}{(102-5)!} = 102\cdot 101 \cdot 100 \cdot 99 \cdot 98 = 9,995'000,400$

Esto es, hay casi 10 mil millones de formas en que se pueden asignar los cargos.

¡Un saludo!

robledo

Junio

¿Cuantos grupos de cuatro elementos se pueden formar sin repetir, del siguiente conjunto de letras {a, b, c, d, e, f, g, h}?

Juan Manuel Sanchez Perez

Julio

¡Hola! En tu caso, lo primero que debes determinar es qué tipo de «ejercicio» es. Resulta que se trata de una combinación ya que:

Escoges subconjuntos de un conjunto de n elementos.
El orden no importa.
No se pueden repetir los elementos.

De este modo, sólo es cuestión de utilizar la fórmula:

$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8 - 4)!} = \frac{40,320}{24\cdot 24} = 70$

¡Y listo! Esa es la respuesta a tu problema. Cualquier otra pregunta, no dudes en comentarla.

herrera

Junio

Calcular la cantidad de maneras distintas en las que puedan sentarse 5 personas en 6 sillas

Juan Manuel Sanchez Perez

Julio

¡Hola! En tu caso tenemos variaciones. Puedes ver que se trata de elegir 5 sillas de un conjunto de 6, en las cuales sí importa el orden y no se pueden repetir los elementos.

Es cuestión de seguir la fórmula:

$V_6^5 = \frac{6!}{(6 - 5)!} = \frac{6!}{1!} = 720$

Si tienes más preguntas, no dudes en comentarlas. ¡Saludos!

Rios

Junio

Cuántos números de 4 dígitos diferentes y mayores que 6000 se pueden escribir usando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7?

Karla Paulette Flores Silva

Julio

Hola, los números de cuatro cifras mayores a 6000 y formados con los dígitos que mencionas, solo tienen dos opciones: Inician con 6 o inician con 7. Ya en el resto de cifras no hay restricción excepto que no se repitan. Por lo tanto:

Para el primer dígito existen 2 opciones: 6 y 7
Para el segundo dígito existen 6 opciones: pues puedo usar cualquier número de los 7 enlistados, excepto el que ya puse al inicio pues no debo repetir.
Para el tercer dígito existen 5 opciones: pues puedo usar cualquier número de los 7 enlistados, excepto el que ya puse primero y segundo pues no debo repetir.
Para el último dígito existen 4 opciones: pues puedo usar cualquier número de los 7 enlistados, menos los que ya haya usado.

Así que hay:

2·6·5·4 = 240 números de 4 dígitos diferentes y mayores a 6000 escritos con los dígitos del 1 al 7.

Espero la solución te sea útil
¡saludos!

Rios

Junio

3. Un jugador de fútbol dispone de 5 camisetas, 4 pantalonetas, 4 pares de medias y 2 pares de guayos. ¿Cuántos conjuntos diferentes de una camiseta, una pantaloneta, un par de media y un par de guayos pude usar?

Karla Paulette Flores Silva

Julio

Hola,

Para la camiseta tengo 5 opciones
Para la pantaloneta tengo 4 opciones

Como por cada camiseta tengo 4 opciones de pantaloneta, tengo 5×4=20 maneras diferentes de usar una camiseta y una pantaloneta. Ahora, añadiendo que

Para las medias tengo 4 opciones
Para los guayos tengo 2 opciones

Así que hay:

5·4·4·2 = 160 conjuntos diferentes de vestir una camiseta, una pantaloneta, un par de media y un par de guayos

Espero la solución te sea útil
¡saludos!

Juan

Junio

1. ¿Cuantos números de 4 dígitos no repiten cifras?

Karla Paulette Flores Silva

Julio

Hola, si quiero considerar los números de 4 dígitos que se pueden formar con los números del 0 al 9 y que no repiten cifras entonces

NO entran todos los elementos

NO hay repeticiones de los dígitos

SÍ importa el orden de los dígitos

Se trata de una variacion ordinaria. Así que:

V₁₀⁴ = 10!/(10-4)! = 10!/6! = 5040 números

Sin embargo tengo que contar los números que inician con 0 y restárselas ya que estos no son números de 4 cifras. Como inicia con 0, las otras tres cifras pueden ser cualquier número menos el 0. Se trata de una variación de los elementos del 1 al 9, en 3 lugares.

V₉³ = 9!/(9-3)! = 9!/6! = 504 números

En total hay 5040-504 = 4536 números de 4 dígitos que no repiten cifras

Espero la solución te sea útil
¡saludos!

Noriega

Junio

En la cafetería de una empresa los empleados tienen derecho a tres porciones de verdura en las que tenemos: tomate, cebolla, zanahoria, remolacha, lechuga, brócoli, aguacate, pepino, rábano y coliflor.
¿Si no les permiten repetir verduras entre cuántos combos pueden elegir.?
¿Si les permiten repetir verduras entre cuántos combos pueden elegir.?

Karla Paulette Flores Silva

Julio

Hola, primero notamos que tenemos 10 verduras distintas, de estas deben elegir 3 para comer. Por lo tanto, no entran todos los elementos, no hay repeticiones, y no importa el orden. Se trata de una combinación

C₁₀³ = 10!/3!7! = 120

Hay 120 combos para elegir si no se permite repetir verdura.

En caso que sí se permita repetir, nuevamente no entran todos los elementos y no importa el orden. Se trata de una combinación con repetición

CR₁₀³ = (10+3-1)!/[3!(10-1)!] = 12!/(3!9!) = 220

Hay 220 combos de verdura en la que sí se permiten repeticiones.

Espero la solución te sea útil
¡saludos!

Cedeño

Julio

un sistema determinado guía en combinaciones de punto en relieve o espacio sin punto, en grupos ordenados de ocho posibilidades. ¿Cuántas ordenaciones posibles hay?

Karla Paulette Flores Silva

Julio

Hola, ¿podrías darnos más detalles del problema? ¿Lo que se está ordenando son puntos en relieve y espacios sin puntos en grupos de 8? De ser así, como sí importa el orden, no entran todos los elementos y sí se repiten, se trata de una variación con repetición, así que hay

VR₈² = 2⁸ = 256 posibles ordenaciones

Espero la solución te sea útil,
¡saludos!

Brayan_Bv

Julio

si tienen 4 equipos de fútbol: a, b, c, d, finalistas de un torneo. ¿De cuantas maneras pueden quedar asignados los 2 primeros títulos: campeón y subcampeon

Karla Paulette Flores Silva

Julio

Hola, hay 2 títulos para 4 equipos (4 elementos), donde sí importa el orden porque se diferencia el campeón del subcampeón, y no hay repeticiones por lo que se trata de una variación ordinaria:

V₄² = 4!/2! = 12

Hay 12 maneras distintas en las que el campeonato y subcampeonato pueden quedar asignados.

Espero la solución te sea útil,
¡saludos!

Amores

Julio

Una prueba de administración para un colegio de la ciudad Pide a un estudiante que forme un número de dos cifras diferentes, usando cuatro cifras con los números 1,2,5,7
¿ Cuántos números distintos puede formar el niño en la prueba?

Karla Paulette Flores Silva

Julio

Hola, no nos mencionaste si los números se pueden repetir al momento de formar el número de dos cifras. Calcularemos ambos casos, primero si no se pueden repetir:

NO hay repeticiones de los dígitos

SÍ importa el orden de los dígitos

Se trata una variación ordinaria, en este caso de 4 elementos (1, 2, 5 y 7) en grupos de 2. Así que hay:

V₄² = 4!/(4-2)! = 4!/2! = 12 números

En caso que se sí se puedan repetir (tomando en cuenta los números: 11, 22, 55, 77)

SÍ hay repeticiones de los dígitos

SÍ importa el orden de los dígitos

Se trata una variación con repetición, en este caso de 4 elementos (1, 2, 5 y 7) en grupos de 2. Así que hay:

VR₄² = 4² = 16 números

Espero la solución te sea útil
¡saludos!

Aylwin

Julio

El problema de la mesa con restricción no es correcto:
Hacemos 2 grupos, uno de 2 y otro de 7, pero el problema es circular, por lo que la respuesta debe ser:
P_2* PC_7 = 2!*(7-1)! = 1440
Como argumento, si la mesa no tuviera restricción, y siguiendo la formulación que usaron en el ejercicio de mesa redonda, serían 8 personas sentadas en una mesa sin restricción:
PC_8 = (8-1)! = 5040
Es imposible que las combinaciones posibles aumenten si le añadimos una restricción, por lo que la respuesta no puede ser mayor a 5040, por lo que la respuesta NO es 1080

Gaspar Leon

Julio

Hola,
Gracias por indicarnos tus observaciones.
Hemos actualizado el problema que indicas.
Te invitamos a que sigas consultando nuestro material.
Un saludo.

Molina

Julio

Buenas noches, me podrían ayudar con algo.? Quiero saber si en el siguiente ejercicio el orden importa o no.

En un centro de salud, un odontólogo atiende todos los días de 8h00 a 17h00, excepto a la hora del almuerzo (13h00 – 14h00) y con cada paciente se demora aproximadamente media hora. Si la mamá de Esteban, Gabriela y Carlos necesita tomar turnos para que el odontólogo atienda a sus hijos el día martes, ¿de cuántas maneras se pueden tomar estos turnos?

Gaspar Leon

Julio

Hola,

si importa el orden de atención de los tres hijos,
por lo que se emplean permutaciones para elegir grupos de tres de un total de 16 turnos.
Así el resultado es

$P_{16}^3=3,360$

Un saludo

Olga

Octubre

Luis hace terrarios en pequeños frascos, cada uno con 5 tierras de diferentes colores,
colocadas por capas, sin repetir color de tierra. ¿Cuántos terrarios distintos puede realizar
si tiene tierras de 8 colores diferentes?

Castro

Julio

¿De cuántas formas se pueden distribuir 4 palomas, 5 cardenales y 6 canarios en 5 jaulones distintos con la condición de que no haya más de una paloma por jaulón?

Gaspar Leon

Agosto

Hola,

observa que solamente debe ir una paloma en cada jaulón, quedando uno de estos sin paloma, por lo que hay que distribuir las 11 aves restantes en los 5 jaulones, lo cual se realiza de
$C_{11}^5=462$
distintas formas.

Como uno de los jaulones no contiene paloma y los jaulones son distintos entre si, existen 5 maneras de realizar la distribución, por ello, las formas distintas en que se pueden distribuir 4 palomas, 5 cardenales y 6 canarios en 5 jaulones distintos con la condición de que no haya más de una paloma por jaulón es
$5\cdot C_{11}^5=5 \cdot 462 =2,310$

Espero te sea de utilidad.
Un saludo

Shelsea

Julio

Porfavor me pueden ayudar en esto
En una clase hay 25 estudiantes. ¿De cuántas maneras pueden ser elegidos presidente, vicepresidente, secretario y tesorero, si
a) si cualquiera de ellos puede ser elegido.
b) si dos estudiantes cancelan semestre antes de la elección.
c) si tres estudiantes no desean ser elegidos para ningún cargo. d) si el cargo de presidente ya está elegido.

e) si solamente cinco estudiantes pueden aspirar a la presidencia y no pueden ser elegidos para ningún otro cargo.
f) si solo pueden aspirar a la presidencia cinco estudiantes, y pueden ser elegidos para los otros cargos

Gaspar Leon

Agosto

Hola,

aplicaremos el principio de las casillas, en el que en cada posición se consideran el total de posibilidades de elección. Así, para el inciso a) se tiene
$\underline{25}\cdot \underline{24}\cdot \underline{23}\cdot \underline{22} = 303,600$
formas distintas.

Para el inciso b) se tiene un total de 23 estudiantes, entonces
$\underline{23}\cdot \underline{22}\cdot \underline{21}\cdot \underline{20} =212,520$
formas distintas.

Para el inciso c) se tiene un total de 22 estudiantes, entonces
$\underline{22}\cdot \underline{21}\cdot \underline{20}\cdot \underline{19} =175,560$
formas distintas.

Para el inciso d) si el cargo de presidente ya está elegido, solamente restan tres puestos entre los 24 alumnos restantes, entonces
$\underline{1}\cdot \underline{24}\cdot \underline{23}\cdot \underline{22} =12,144$
formas distintas.

Para el inciso e) si solamente 5 estudiantes pueden aspiarar a la presidencia pero no a los otros puestos, entonces
$\underline{5}\cdot \underline{20}\cdot \underline{19}\cdot \underline{18} =34,200$
formas distintas.

Para el inciso f) si solamente 5 estudiantes pueden aspiarar a la presidencia y pueden aspirar a los otros cargos, entonces
$\underline{5}\cdot \underline{24}\cdot \underline{23}\cdot \underline{22} =60,720$
formas distintas.

Espero te sea de utilidad.
Un saludo

García

Julio

De cuantas formas puedo escoger a 3 de mis 5 amigos para entrar al cine?

Juan Manuel Sanchez Perez

Agosto

¡Hola! Antes de resolver el ejercicio, te recomiendo nuestro artículo «Variaciones, permutaciones y combinaciones»; al visitarlo podemos darnos cuenta que este problema no es una permutación, sino una combinación. Esto se debe a que no seleccionas a todos tus amigos, no importa el orden en que los seleccionas y no se repiten las selecciones (es decir, no puedes elegir a un amigo dos veces).

Si seguimos la fórmula, entonces obtenemos

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = 10$

Es decir, puedes escoger a 3 de tus amigos de 10 maneras diferentes.

Si te quedan más dudas, coméntalas y con gusto te las resolvemos. ¡Un saludo!

cuesta

Julio

buenas me podrían ayudar con un ejercicio de cuantas formas puede un juez otorgar el primero, segundo , y tercero premio en un concurso que tiene ocho concursante ?

Juan Manuel Sanchez Perez

Agosto

¡Hola!

Lo primero que debes determinar si estamos tratando con permutaciones, combinaciones u ordenamientos. Observa que:

– Sí importa el orden en que se escogen los concursantes.
– No entran todos los elementos, solo 3.
– ¿Es posible que un mismo individuo gane más de dos premios? Consideraremos los dos casos.

Supongamos que un mismo individuo no puede ganar más de dos premios. Entonces esto es equivalente a elegir 3 concursantes en donde sí importa el orden en que los escogemos. Por lo tanto, se trata de una variación y se calcula mediante

$V_8^3 = 8\cdot (8 - 1) \cdot (8 - 2) = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$

De esta forma, se pueden escoger de 336 formas diferentes.

Supongamos ahora que un mismo individuo sí puede ganar más de un premio. En este caso se trata de una variación con repetición y se calcula utilizando

$RV_8^3 = 8^3 = 512$

Así, se pueden escoger los ganadores de 512 formas diferentes.

Si tienes más dudas, coméntanos y con gusto te ayudamos.

CASTILLO

Julio

Un club de fútbol tiene en total 8 jugadores de los que en cada partido solo pueden jugar 6 ¿Cuántos equipos de 6 jugadores pueden formarse, si en todos ellos siempre debe estar el capitán?

Después de jugar un sábado por la mañana todo el equipo decide ir a un restaurante para almorzar. Si se desea distribuir al equipo de jugadores en 2 mesas redondas de 3 y 4 personas cada una. Calcular de cuántas formas distintas se podrán ubicar a los jugadores.

Juan Manuel Sanchez Perez

Agosto

¡Hola!

En el primer caso tienes:

– No entran todos los jugadores
– No se pueden repetir los jugadores (es decir, no puedes elegir a un jugador para que ocupe dos posiciones)
– No importa el orden en que los escojas

Por lo tanto, tienes combinaciones (pero con un elemento ya fijo). Es decir, como el capitán siempre debe estar, entonces debes elegir los restantes 5 jugadores de los 7 jugadores que no son el capitán. La fórmula está dada por

$C_7^5 = \frac{m!}{n!(m - n)!} = \frac{7!}{5!2!} = \frac{5040}{120 \cdot 2} = 21$

Por lo tanto, los puedes escoger de 21 formas posibles.

Para el segundo caso, ¿por qué solo tienes 7 sillas para 8 jugadores?

– Invariablemente un jugador se quedará de pie, entonces tienes 8 formas de escoger a ese jugador.

– Para la primera mesa, harás variaciones (3 de 7) ya que ahora sí importa el orden. Solo que dividirás entre 3 debido a que son variaciones circulares. La formula sería

$VC_7^3 = \frac{7!}{4!3} = 70$

– Por último, para la segunda mesa harás permutaciones circulares. Es decir, harás un acomodo circular de los 4 jugadores restantes. La fórmula es

$PC_4 = (4 - 1)! = 3! = 6$

Así, las posibilidades es el producto de estos valores: $8 \cdot 70 \cdot 6 = 3360$ . Así, tienes 3,360 posibilidades.

Si tienes más preguntas, no dudes en comentarlas.

manco muñoz

Julio

ejercicios de permutacion en una reunion de fin de año se va a rifar un televisor, un viaje y un bono de dinero.el encargado de hacer la rifa decide poner en una bolsa negra los nombres de los 20 asistentes y sacar de alli los tres ganadores.encontrar el numero de posibilidades

Juan Manuel Sanchez Perez

Agosto

¡Hola!

La manera más sencilla es darte cuenta de lo siguiente:
– Para escoger el primer ganador se tienen 20 opciones.
– Luego, para escoger el segundo ganador se tienen 19 opciones (puesto que el nombre del primer ganador no se regresa a la bolsa).
– Por último, para escoger el tercer ganador se tienen 18 opciones.

De este modo, el número de posibilidades es $20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840$ .

Otra forma de verlo es darte cuenta que estás trabajando con variaciones ya que no consideras todos los elementos, no se repiten los elementos y sí importa el orden. Después de eso aplicarías la formula (la cual puedes consultar en nuestro artículo de variaciones, ordenamientos y combinaciones).

No dudes en comentar otras preguntas que tengas. ¡Saludos!

Zepeda

Julio

Cuantas palabras diferentes pueden eon las letras de la palabra pormar R CHENBER?

Juan Manuel Sanchez Perez

Agosto

¿Cuál es la palabra que quieres ordenas? Si se trata de «CHENBER», entonces se trata de un ordenamiento donde hay algunos objetos repetidos (la E está dos veces). Al igual que el ejemplo anterior:

1 – Si todas las letras fueran diferentes, el número de formas de ordenarlas es $7! = 5040$ .

2 – Como la E se repite, entonces debemos dividir por 2!

De este modo, el número de palabras que se pueden formar con las letras es

$\frac{7!}{2} = 2520$

¡No dudes en comentarnos otras preguntas que tengas!

Zepeda

Julio

En una urna hay 5 bolas del mismo tamaño peso, de los Cuales 3 son rojas Y. 2 azules.
¿ De cuantas maneras se pueden extraer de una a una las bolas de la una)

Juan Manuel Sanchez Perez

Agosto

¡Hola!

Este ejercicio es parecido a un ordenamiento, solo que con ‘clases’. Te explicaré paso a paso:

1 – Para extraer la primera bola tienes 5 opciones. Luego, para la segunda bola tienes 4 opciones; para la tercera tienes 3 y así sucesivamente. Es decir, tienes $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5! = 120$ formas de sacar las bolas asumiendo que todas son distintas.

2 – Sin embargo, las bolas no son distintas. Tenemos 3 bolas rojas y 2 azules que no se distinguen entre sí mismas (las del mismo color), de este modo, debemos dividir por la número de formas de ordenas las bolas rojas (3!) y el número de formas de ordenas las bolas azules (2!).

Así, el número de maneras de extraer las bolas es:

$\frac{120}{3!2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10$

¡Si tienes más dudas, coméntanos!

Nicol

Julio

si hay 8 digitos del 1 al 8 cual es la probabilidad de escoger uno que termine en 2,6,1,5,7
5 puntos
0.29%
0.12%
0.35%
0.54%

Luis Ernesto Sanchez Perez

Agosto

Buen día.

¿Podrías ser más específico con el ejercicio? Esto ya que es fácil entender si tienes 8 dígitos y tomas el 2,6,1,5,7 entre ellos, o bien si formas números de 8 dígitos con esos 8 dígitos y si estos se puede repetir (o sea, si se pueden números como 11111111 o sólo números como 12345678).

Espero tu respuesta para poder ayudarte con el ejercicio.

Saludos

gon

Julio

Un joyero adquiere 12 piedras preciosas diferentes para ubicarlas en los puntos de las horas de
un reloj que está preparando por encargo de la casa real de un país europeo. ¿Cuántas formas
distintas tiene para ordenar las piedras en el reloj?

Luis Ernesto Sanchez Perez

Agosto

¡Buen día!

Resolvamos el ejercicio. Primero te recomiendo leer nuestro artículo llamado «Permutaciones con ejemplos», ahí viene la fórmula y varios ejemplos que te ayudarán a entender a la perfección este tipo de problemas.

Ahora, tenemos $12$ piedras y además, $12$ lugares en el reloj, por lo tanto, a cada piedra le corresponde un lugar exactamente. Así, nuestra fórmula está dada por

$P_{12} = 12! = 479001600$

Saludos.

lpo uwu

Julio

¿Cuántos números de tres cifras diferentes pueden formarse con los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9, si el primer dígito es par, el segundo dígito es impar, y el tercer dígito es cero?

Luis Maciel Baron

Agosto

¡Hola!
Con gusto te apoyo con la solución de este ejercicio.

Para este caso, podemos emplear el principio multiplicativo, para el primer dígito tenemos 4 opciones (2,4,6,8), para el segundo dígito 5 opciones (1,3,5,7,9) y para el último dígito sólo 1 opción (0)

Por lo que solamente multiplicamos las posibilidades en cada dígito:

4X5X1=20

Por lo que podemos formar sólo 20 números distintos que cumplan con los requisitos.

Espero que esta breve explicación te sea de utilidad. No dudes en consultarnos para más preguntas que tengas.

¡Saludos!

fram

Julio

hola
Se tomara una fotografía a tres matrimonios. ¿De cuántas maneras se
puede hacer si.
.- Se disponen todos en una sola fila.?
.- Se disponen en dos filas: una de hombres y otra de mujeres?
.- Una fila a continuación de la otra.
.- La fila de hombres se ubica detrás de la fila de mujeres.
.- En tres filas una detrás de la otra y cada matrimonio juntos.?

Luis Maciel Baron

Agosto

¡Hola!

Con gusto te apoyo con la solución de este ejercicios de conteo.

Al ser 3 matrimonios, tenemos un total de 6 personas, por lo que:

1. Se disponen todos en una sola fila:

$N= 6!=720$

2. Se disponen en 2 filas, una de hombres y una de mujeres:

Calculamos las formas en que podemos acomodar cada fila:

Fila de hombres: $H=3!=6$
Fila de mujeres: $M=3!=6$

Para el total, aplicamos el principio multiplicativo y duplicamos el resultado (Porque podrimos tener las filas como HM o MH)

$Total= HXM=6X6X2=72$

Una fila a continuación de la otra:

Sería como en el ejemplo anterior.

La fila de hombres se ubica detrás de la de mujeres:

Sería la mitad que en el ejemplo anterior: 36

En tres filas una detrás de otra y cada matrimonio juntos:

Primero, consideramos que cada matrimonio puede acomodarse de 2 formas distintas

Tomando a los 3 matrimonios, podemos acomodarlos de $3!=6$ formas diferentes

Aplicamos el principio multiplicativo: $Total=2X6=12$ formas diferentes.

Espero que esta breve explicación te sea de utilidad. No dudes en consultarnos para más preguntas que puedas tener.

¡Saludos!

genesis

Agosto

Una empresa de guardias de seguridad cuenta con 21 empleados, y con ellos forma grupos de 3 personas para realizar las guardias semanales en una empresa. ¿Cuántos grupos se pueden formar? (variación)

Julio Cesar Alcaraz Siqueiros

Septiembre

¡Hola Genesis!
Preguntarnos por todas las formas posibles de formar equipos de 3 personas de entre 21 empleados, es equivalente a preguntarnos las combinaciones de 21 personas en grupos de 3. La fórmula para calcular las combinaciones de $\text{ }n\text{ }$ objetos en grupos de tamaño $\text{ }r\text{ }$ es:

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-r)!r!}$ .

Para nuestro caso

$n=21$

$r=3$

sustituyendo tenemos

$\binom{21}{3}=\frac{21!}{(21-3)!3!}$

$\binom{21}{3}=\frac{21!}{18!3!}$

$\binom{21}{3}=\frac{51090942171709440000}{6402373705728000\cdot 6}$

$\binom{21}{3}=\frac{51090942171709440000}{38414242234368000}$

$\binom{21}{3}=1330$

Es decir, se pueden formar 1330 grupos diferentes de tres personas para las guardias semanales.

Espero esta respuesta haya sido de tu ayuda. Si tienes alguna otra duda o comentario recuerda que puedes consultarnos.
¡Saludos!

evelys

Agosto

1) Cuántos números de 5 cifras distintas pueden formarse con los número dígitos?

2) Cuántas elecciones distintas puede haber en un grupo de 28 alumnos donde se va a elegir un delegado y un subdelegado.

3) De cuántas maneras diferentes se puede contestar un examen de 12 preguntas, si solo hay que contestar 10 de ellas?

4) Cuántas banderas tricolores se pueden confeccionar con 7 colores?

5) Cuál es la posibilidad de que 3 dados caigan por caras diferentes, al hacer un lanzamiento con ellos?

6) Cuántos números distintos de 4 dígitos pueden obtenerse con las cifras del 0 al 9?

7) Cuántas variaciones podemos tener con 3 números si los agrupamos de a 2?

8. De cuántas maneras diferentes se puede contestar un examen de 10 preguntas, si solo hay que contestar 4 de ellas?

9. Cuántas elecciones distintas puede hacerse en un grupo de 25 personas si se va a elegir 15 de ellas?

10. Cuántos números diferentes de 8 cifras se pueden formar con los dígitos?

11 En una carrera de 200 metros participan 12 corredores. De cuántas formas diferentes se podrán repartir 5 medallas?

12 Cuántas banderas tricolores diferentes se pueden confeccionar con 10 colores?

Gaspar Leon

Octubre

Hola,

en un comentario anterior hemos respondido el mismo comentario a Diego.
Consúltalo y si presentas dificultades, no dudes en escribirnos.

Un saludo.

Diego