Factorial de un número

El factorial de un entero positivo n, se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n. Es decir que hay que multiplicar todos los números naturales que hay entre ese número y el 1.

La función factorial se representa con un signo de exclamación “!” detrás de un número y tendremos entonces que el factorial de n es

     \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \]

Por ejemplo, el factorial de 5 es

     \[ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \]

 

La variación, es cada una de las posibles tuplas que se pueden constituir a partir de un grupo de elementos.

Si tenemos m cantidad de elementos, podemos formar tuplas con una cantidad n de elementos, presentándose una diversa variedad de alternativas. Esto dependerá de si es posible o no repetir elementos en una misma tupla.

Si no se admiten elementos repetidos, entonces el número de n-tuplas en que ninguno de los elementos se repiten se llama número de variaciones sin repetición y las obtenemos mediante la siguiente formula

     \[ V_{m}^n = \frac{m!}{(m-n)!} = m (m-1)(m-2)(m-3)\cdots(m-n+1) \]

Cuando dentro de cada tupla se puede repetir un elemento más de una vez se llama número de variaciones con repetición y este resulta ser:

     \[ VR_{m}^{n} = m^n \]

 

Permutaciones

Una permutación son los posibles ordenamientos de aquellos elementos que forman parte de un conjunto. Es decir, es un cambio de la manera en la que se disponen los elementos.

El numero de permutaciones en un conjunto de n elementos es

     \[ P_n = n! \]

Por ejemplo, hay seis permutaciones del conjunto {1, 2, 3} pues tiene 3 elementos y 3! = 3(2)(1) = 6 y estas son

     \[ (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) \]

Permutaciones circulares

Las permutaciones circulares son un caso particular de las permutaciones.

Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.

El numero de permutaciones de n elementos en este caso es

     \[ PC_{n} = P_{n-1}= (n-1)! \]

 

Permutaciones con repetición

Una permutación con repetición consiste en una permutación de m elementos, de los cuales hay varios que son iguales entre sí

Supongamos que en el conjunto de los m elementos no son todos distintos entre sí, sino que el primer elemento se repite m_1 veces, el segundo se repite m_2 veces, ..., el n-esimo se repite m_n veces. De tal manera que

     \[ m = m_1 + m_2 + m_3 + \cdots + m_n \]

Entonces, el número de permutaciones de los elementos que se repiten son:

Permutaciones del primer elemento:  m_1!

Permutaciones del segundo elemento:  m_2!

Permutaciones del n-esimo elemento:  m_n!

Estas permutaciones de elementos idénticos son iguales entre sí. Y por tanto, las diferentes formas que ordenar los m elementos sería

     \[ PR_{m}^{m_1, m_2,\dots, m_n} = \frac{P_m}{m_1! m_2! \dots m_n!} \]

 

Combinaciones

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n con  m\geq n a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:

No entran todos los elementos

No importa el orden

No se repiten los elementos

Estas se calculan mediante

     \[ C_{m}^{n}=\cfrac{V_{m}^{n}}{P_{n}} \]

También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

     \[ C_{m}^{n}=\cfrac{m!}{n!\left ( m-n \right )!} \]

Combinaciones con repetición

Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n con  m\geq n , son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

Al número de combinaciones con repetición se de denotará por { \bf {CR^n_m}}. El problema, entonces, consiste en determinar el valor de { CR^n_m}, el cual podemos calcular con la siguiente fórmula:

     \[ CR_m^n = \binom{m+n-1}{n} = \frac{(m+n-1)!}{n!(m-1)!} \]

 

Números combinatorios

Los números combinatorios, se definen y denotan como:

 

\displaystyle C_{m}^{n} = \begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix} = \frac{m!}{n! (m - n)!}

 

en donde \qquad m \qquad y \qquad n \qquad son enteros y \qquad m \geq n > 0. El número combinatorio de arriba se lee como \qquad m \qquad sobre \qquad n.

Propiedades de los números combinatorios:

1  \begin{pmatrix} m\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m\\ m \end{pmatrix} = 1
2 \begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m\\ m - n \end{pmatrix}
3  \begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m - 1\\ n - 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} m - 1\\ n \end{pmatrix}

 

Binomio de Newton

El binomio de Newton es la fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio, su formula es la siguiente

     \[ (a\pm b)^{n}=\binom{n}{0}a^{n} \pm\binom{n}{1}a^{n-1}b +\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2} \pm \cdots \pm \binom{n}{n} b^{n} \]

Término que ocupa el lugar k

Las siguientes formulas nos dan el termino de la posición k en la expansión de Newton de un binomio:

1 Para el binomio (a+b)^{n} tenemos que su termino k-esimo es

     \[ T_k=\binom{n}{k-1}a^{n-(k-1)}b^{k-1} \]

2 Para el binomio (a-b)^{n} tenemos que su termino k-esimo es

     \[ T_k=(-1)^{k-1}\binom{n}{k-1}a^{n-(k-1)}b^{k-1} \]

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗