Definición de permutaciones con repetición

 

Supongamos que tenemos una \text{ agrupación } U con n elementos, \text{ en } U el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces y así sucesivamente. Entonces,

    $$n=a+b+c+d+\dots.$$

Las permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, el tercero c veces, ...

Son los distintos grupos que pueden formarse con esos n elementos de forma que:

entran todos los elementos

importa el orden

se repiten los elementos

 

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Vamos

Formula de permutaciones con elementos repetidos 

 

Para calcular el número de permutaciones tomando en cuenta los elementos repetidos, usamos la fórmula siguiente basada en el principio multiplicativo:

    $$PR_{n}^{a,b,c,\dots}=\cfrac{P_{n}}{a!b!c!\cdots},$$

el valor P_{n} es el número n! el cual representa el número de permutaciones de n elementos en n posiciones.

Ejemplos de ejercicios de permutaciones con repetición

 

1 Calcular las permutaciones con repetición de PR_{12}^{6,4,2}

Para resolver este problema solo debemos reemplazar los valores a=6, b=4, c=2, n=12 en la formula anterior del número de permutaciones.

    $$PR_{12}^{6,4,2}=\cfrac{P_{12}}{6!4!2!}=\cfrac{12!}{2!4!2!}=\cfrac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6!}{6!\cdot4\cdot3\cdot2\cdot2}$$

    $$=\cfrac{11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7}{4}=13860.$$

 

 

2 Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿Cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

Primero formemos grupos con los elementos de la misma clase. El primero es formado por el valor 2, el segundo por el valor 3 y el ultimo por el valor 4. Si a,b,c denotan el número de valores en cada grupo tenemos que

    $$a = 3,\quad b = 4,\quad c = 2,\quad n=a + b + c = 9.$$

Las permutaciones de estos elementos cumplen los siguiente

entran todos los elementos

importa el orden

se repiten los elementos

Resolviendo mediante la formula tenemos :

    $$PR_{9}^{3,4,2}=\cfrac{P_{9}}{3!4!2!}=\cfrac{9!}{3!4!2!}=1260.$$

 

 

3 En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules
y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

Primero formemos grupos con los elementos de la misma clase. El primero es formado por las 3 banderas rojas, el segundo por las 2 banderas azules y el ultimo por las 4 verdes. Si a,b,c denotan el número de banderas en cada grupo tenemos que

    $$a = 3,\quad b = 2,\quad c = 4,\quad n=a + b + c = 9.$$

Las permutaciones de estos elementos cumplen los siguiente

entran todos los elementos

importa el orden

se repiten los elementos

Resolviendo mediante la formula

    $$PR_{9}^{3,2,4}=\cfrac{P_{9}}{3!2!4!}=\cfrac{9!}{3!2!4!}=1260.$$

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗