Primero, recordemos que las variaciones de m elementos tomados de n en n están dadas por la fórmula

 

\displaystyle V_{m}^{n} = \frac{m!}{(m - n)!}

 

en donde m > n.

 

Igualmente, las variaciones con repetición de m elementos tomando n están dadas por

 

\displaystyle VR_{m}^{n} = m^n

 

en donde m, n > 0, pero no hay restricciones entre ellos.

 

Una vez recordandas estas definiciones, procedamos con los ejercicios.

 

Ejercicios aplicados a cifras

 

1 ¿Cuántos números de tres cifras (todas distintas) se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4, 5?

Es claro que se tratan de variaciones ya que

 

1 No entran todos los elementos. Sólo tomaremos tres de los cinco números.

 

2 Sí importa el orden. No es lo mismo 123 que 231.

 

3 No se repiten los elementos. Una vez que tomamos un número este queda fuera de nuestras siguientes opciones, esto sucede ya que todas las cifras deben de ser distintas.

 

Entonces nos encontramos con variaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3, esto es, m = 5 y n = 3, por lo tanto la cantidad de números de podemos formar es

 

    \begin{align*} V_{5}^{3} &= \frac{5!}{(5 - 3)!}\\&= \frac{5!}{2!}\\&= 5 \cdot 4 \cdot 3\\&= 60\end{align*}

 


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2 ¿Cuántos números de tres cifras (permitiendo cifras repetidas) se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4, 5?

Es claro que se tratan de variaciones ya que

 

1 No entran todos los elementos. Sólo tomaremos tres de los cinco números.

 

2 Sí importa el orden. No es lo mismo 123 que 231.

 

3 Sí se repiten los elementos. El mismo ejercicio explica que se permite repetir cifras, esto es, se permiten números como 111, 233, 414, etc.

 

Entonces nos encontramos con variaciones con repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3, esto es, m = 5 y n = 3, por lo tanto la cantidad de números que podemos formar es

 

    \begin{align*} VR_{5}^{3} &= 5^{3}\\&= 125\end{align*}

 

3 ¿Cuántos números de tres cifras (todas diferentes) se pueden formar con los números 0, 1, 2, 3, 4, 5?

Notemos que es un caso un poco más complejo, esto ya que el primer dígito tiene que ser estrictamente distinto de cero, por lo tanto tenemos 5 posibilidades que son los números 1, 2, 3, 4 y 5, esto es, tenemos variaciones de 5 elementos tomados de 1 en 1

 

\displaystyle V_5^1 = \frac{5!}{(5 - 1)!} = \frac{5!}{4!} = 5

 

Ahora, una vez que tomamos un número para la primer cifra nos quedarían 4 números libres más el número 0, ya que la segunda cifra sí puede tomar el valor de 0, por lo tanto contaríamos de nuevo con 5 opciones, entonces para la segunda y tercer cifra ya estamos considerando sobre un conjunto de cinco elementos con la única restricción que no pueden repetirse, por lo tanto tenemos variaciones de 5 tomados de 2 en 2 ya que se cumplen las condiciones

 

1 No entran todos los elementos. Sólo tomaremos dos de los cinco números.

 

2 Sí importa el orden. No es lo mismo 12 que 21.

 

3 No se repiten los elementos.El mismo ejercicio menciona que todas las cifras deben de ser diferentes.

 

Notemos que para estas variaciones se tiene que m = 5 y n = 2.

 

Así, nuestra solución es la multiplicación de las variaciones para la primer cifra por las variaciones de la segunda y tercer cifra

 

    \begin{align*} V_{5}^{1}V_{5}^{2} &= 5 \frac{5!}{(5 - 2)!}\\&= 5 \frac{5!}{3!}\\&= 5 \cdot 5 \cdot 4\\&= 100\end{align*}

 

4 ¿Cuántos números de tres cifras (permitiendo que se repitan) se pueden formar con los números 0, 1, 2, 3, 4, 5?

Al igual que el caso anterior es un poco más complejo, esto ya la primer cifra debe de ser ser estrictamente distinta del número cero, por lo tanto tenemos 5 posibilidades que son los números 1, 2, 3, 4 y 5, esto es, tenemos variaciones de 5 elementos tomados de 1 en 1

 

\displaystyle V_5^1 = \frac{5!}{(5 - 1)!} = \frac{5!}{4!} = 5

 

Ahora, una vez que tomámos un número para la primer cifra tenemos que la segunda cifra puede ser cualquiera de los seis números a considerar al igual que la tercer cifra, esto debido a que no tenemos restricciones sobre repetición, por lo tanto tenemos variaciones con repetición de 6 tomados de 2 en 2 ya que se cumplen las condiciones

 

1 No entran todos los elementos. Sólo tomaremos dos de los cinco números.

 

2 Sí importa el orden. No es lo mismo 12 que 21.

 

3 Sí se repiten los elementos. El mismo ejercicio lo menciona.

 

Notemos que para estas varciaciones con repetición m = 6 y n = 2.

 

Así, tenemos que nuestra solución es la multiplicación de las variaciones para la primer cifra por las variaciones con repetición de la segunda y tercer cifra

 

    \begin{align*} V_{5}^{1}VR_{6}^{2} &= 5 \cdot 6^2\\&= 5 \cdot 36\\&= 180\end{align*}

 

5 ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden formar con los números 1, 2, 3?

Primero notemos que se nos pide formar un número con cinco cifras donde cada cifra solo puede tomar tres valores, esto es n > m, así que asumimos repetición, ya que de no asumir que los elementos pueden repetirse tendríamos a lo más números con 3 cifras. También, notemos que se cumplen las condiciones

 

1 Entran todos los elementos

 

2 Sí importa el orden. No es lo mismo 121 que 211.

 

3 Sí se repiten los elementos. Es fácil deducirlo.

 

Así, tenemos variaciones con repetición de 3 elementos tomando 5, esto es m = 3, n = 5, así, la cantidad de números que se pueden formar está dada por

 

    \begin{align*} VR_{3}^{5} &= 5 \cdot 3^5\\&= 243\end{align*}

 

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Ejercicios aplicados a deportes

 

6 ¿Cuántas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurar el acierto de los 15 resultados?

Primero entendamos qué es una quiniela. En la quiniela se tiene una columna en donde hay 15 juegos, cada juego tiene 3 posibles resultados, que gane el equipo de la izquierda, que gane el equipo de la derecha o que haya empate. Notemos que entonces estamos tratando con variaciones con repeticiòn en donde m = 3, n = 15 y m > n. Además, veamos que

 

1 Entran todos los elementos.

 

2 Sí importa el orden. No es lo mismo que gane el equipo de la izquierda a que gane el de la derecha.

 

3 Sí se repiten los elementos. Es claro que es posible que en dos juegos distintos los respectivos equipos empaten, o que ganen los de la derecha o izquierda.

 

Así, tenemos que las quinielas a rellenar son

 

    \begin{align*} VR_{3}^{15} &= 3^{15}\\&= 14348907\end{align*}

 

7 ¿De cuántos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos?

Notemos que se cumple lo siguiente

 

1 Entran todos los elementos.

 

2 Sí importa el orden. Ya que siempre el equipo de la izquierda se considera "local" y el de la derecha "visitante", esto hace que no sea lo mismo A vs B que B vs A ya que el equipo local y el visitante cambian.

 

3 No se repiten los elementos.No es posible un partido A vs A.

 

Así, notemos que tenemos variaciones en donde m = 4 y n = 2. Dicho esto, lo partidos que se pueden formar son

 

    \begin{align*} V_{4}^{2} &= \frac{4!}{(4 - 2)!}\\&= \frac{4!}{2!}\\&= 4 \cdot 3\\&= 12\end{align*}

 

8 ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

Notemos que se cumple lo siguiente

 

1 Entran todos los elementos.

 

2 Sí importa el orden. No es lo mismo que Juan sea presidente y Luis vicepresidente a que Luis sea presidente y Juan vicepresidente.

 

3 No se repiten los elementos. No es posible que una persona tenga dos puestos distintos.

 

Así, notemos que tenemos variaciones en donde m = 12 y n = 3. Dicho esto, las cantidad de formas distintas en las cuales se pueden cubrir los puestos está dada por

 

    \begin{align*} V_{12}^{3} &= \frac{12!}{(12 - 3)!}\\&= \frac{12!}{9!}\\&= 12 \cdot 11 \cdot 10\\&= 1320\end{align*}

 

Problemas de variaciones en temas diversos

 

9 A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?

Notemos que se cumple lo siguiente

 

1 Entran todos los elementos.

 

2 Sí importa el orden. No es lo mismo que María sea la ganadora y Teresa la finalista a que Teresa sea la ganadora y María la finalista.

 

3 No se repiten los elementos. No es posible que una persona tenga dos puestos distintos en el cuadro de honor.

 

Así, notemos que tenemos variaciones en donde m = 10 y n = 3. Dicho esto, las cantidad de distintos cuadros de honor a formar es

 

    \begin{align*} V_{10}^{3} &= \frac{10!}{(10 - 3)!}\\&= \frac{10!}{7!}\\&= 10 \cdot 9 \cdot 8\\&= 720\end{align*}

 

10 Con el (punto, raya) del sistema Morse, ¿cuántas señales distintas se pueden enviar, usando como máximo cuatro pulsaciones?

Primero, notemos que al decir que son cuatro pulsaciones como máximo nos dice que debemos considerar cuando solo es una pulsación, cuando son dos, cuando son tres y cuando son las cuatro, por lo tanto debemos considerar cada uno de estos casos y sumarlos todos.

 

Notemos que cuando es solo una pulsación tenemos solo dos posibles opciones, que sea punto o que sea raya.

 

Ahora, en general, para cualquier número de número de pulsaciones mayor a 1 se cumple lo siguiente

 

1 Entran todos los elementos.

 

2 Sí importa el orden.

 

3 Sí se repiten los elementos. Podemos tener dos puntos o dos rayas consecutivas

 

Así, para dos pulsaciones tenemos que la cantidad de señales distintas es

 

    \begin{align*} VR_{2}^{2} &= 2^2\\&= 4\end{align*}

 

Para tres pulsaciones tenemos que la cantidad de señales distintas es

 

    \begin{align*} VR_{2}^{3} &= 2^3\\&= 8\end{align*}

 

Para cuatro pulsaciones tenemos que la cantidad de señales distintas es

 

    \begin{align*} VR_{2}^{4} &= 2^4\\&= 16\end{align*}

 

Así, al final, tenemos que para máximo cuatro pulsaciones la cantidad de señales distintas es

 

\displaystyle 2 + VR_{2}^{2} + VR_{2}^{3} + VR_{2}^{4} = 2 + 4 + 8 + 16 = 30

 

11 Halla el número de capicúas de ocho cifras.

Una capicúa es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, por lo tanto, una capicúa tiene la siguiente forma

 

\displaystyle abcddcba, \qquad a \neq 0

 

en donde a, b, c y d son sus cifras. Notemos que en realidad es equivalente a encontrar los distintos números de 4 cifras que se pueden formar con los dígitos del 0 al 9 (diez dígitos). En donde a debe de ser estrictamente distinto de 0 y b, c y d pueden tomar cualquier valor, incluyendo el 0 y con repetición, eso es b puede ser igual a c.

 

Pero, ¿cómo lo resolvemos? No es complicado, es igual al ejercicio 4. Primero consideremos el caso de a, notemos que para a hay 9 opciones distintas ya que no contamos al 0.

 

Ahora, para b, c y d tenemos 10 posibilidades para cada uno, entonces, notemos que son variaciones con repetición en donde m = 10 y n = 3, donde se cumple que

 

1 Entran todos los elementos.

 

2 Sí importa el orden.

 

3 Sí se repiten los elementos.

 

Así, las cantidad de formas distintas en las que podemos tomar a b, c y d está dada por

 

    \begin{align*} VR_{10}^{3} &= 10^3\\&= 1000\end{align*}

 

Para obtener el número de capicúas de 8 cifras símplemente multipliquemos la cantidad de casos para la primer cifra por la cantidad de casos de la segunda, tercer y cuarta cifra, esto es

 

\displaystyle 9 \cdot VR_{10}^{3} = 9 \cdot 1000 = 9000

 

Ecuaciones de combinatoria

 

12 Resuelve

 

\displaystyle 6 V_{x}^{3} = V_{x}^{5}

Para resolver simplemente aplicaremos la fórmula de variaciones

 

    \begin{align*} 6 V_{x}^{3} &= V_{x}^{5}\\6 \frac{x!}{(x - 3)!} &= \frac{x!}{(x - 5)!}\\6 x(x - 1)(x - 2) &= x(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)\\6 &= (x - 3)(x - 4)\\6 &= x^2 - 7x + 12\\0 &= x^2 - 7x + 6\\0 &= (x - 1)(x - 6)\end{align*}

 

De donde se sigue que las soluciones son x = 1 y x = 6, sin embargo, recordemos que m > n, entonces x debe de ser mayor a 3 y a 5, así, la única solución posible es x = 6.

 

13 Resuelve

 

\displaystyle V_{x}^{4} = 20V_{x}^{2}

Para resolver simplemente aplicaremos la fórmula de variaciones

 

    \begin{align*} V_{x}^{4} &= 20V_{x}^{2}\\\frac{x!}{(x - 4)!} &= 20\frac{x!}{(x - 2)!}\\x(x - 1)(x - 2)(x - 3) &= 20 x(x - 1)\\(x - 2)(x - 3) &= 20\\x^2 - 5x + 6 &= 20\\x^2 - 5x - 14 &= 0\\(x + 2)(x - 7)&= 0\\\end{align*}

 

De donde se sigue que las soluciones son x = -2 y x = 7, sin embargo, recordemos que m > n, entonces x debe de ser mayor a 2 y a 4, así, la única solución posible es x = 7 (además m no puede ser negativo).

 

14 Resuelve

 

\displaystyle 2V_{x-1}^{2} - 4= V_{x + 1}^{2}

Para resolver simplemente aplicaremos la fórmula de variaciones

 

    \begin{align*} 2V_{x-1}^{2} - 4 &= V_{x + 1}^{2}\\2\frac{(x - 1)!}{((x - 1) - 2)!} - 4 &= \frac{(x + 1)!}{((x + 1) - 2)!}\\2\frac{(x - 1)!}{(x - 3)!} - 4 &= \frac{(x + 1)!}{(x - 1)!}\\2(x - 1)(x - 2) - 4&= (x + 1)x\\2(x^2 - 3x + 2) - 4&= x^2 + x\\2x^2 - 6x + 4 - 4&= x^2 + x\\2x^2 - 6x &= x^2 + x\\x^2 - 7x &= 0\\x(x - 7) &= 0\end{align*}

 

De donde se sigue que las soluciones son x = 0 y x = 7, sin embargo, recordemos que m > n, entonces x debe de ser mayor a 2, así, la única solución posible es x = 7 (además m no puede ser 0).

 

15 Resuelve

 

\displaystyle VR_{x}^{2} - V_{x}^{2} = 17

Para resolver simplemente aplicaremos la fórmula de variaciones y variaciones con repetición

 

    \begin{align*} VR_{x}^{2} - V_{x}^{2} &= 17\\x^2 - \frac{x!}{(x- 2)!} &= 17\\x^2 - x(x-1) &= 17\\x^2 - (x^2 - x)&= 17\\x^2 - x^2 + x &= 17\\x &= 7\end{align*}

 

En este caso la solución es única y es x = 17.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗