Se llama variaciones ordinarias de \displaystyle m elementos tomados de \displaystyle n en \displaystyle n \; (m \ge  n)  a los distintos grupos formados por \displaystyle n elementos en donde:

 

  • Importa el orden.
  • No se repiten los elementos.

 

Las variaciones se denotan por

 

V_{m}^{n} \quad \text{o} \quad V_{m, n}

 

y la fórmula para calcularlas está dada por

 

\displaystyle V_{m}^{n} = m (m - 1)(m - 2) \cdots (m-n+1) = \frac{m!}{(m-n)!}.

 

Podemos pensar las variaciones ordinarias como tener un conjunto con \displaystyle m objetos, tomar de este todos los subconjuntos de \displaystyle n objetos y después ordenarlos de todas las maneras posibles cada subconjunto.

 

Ejemplos:

 

    • Calcular las variaciones ordinarias dadas por \displaystyle V_{5}^{2}.

      Tenemos que para este caso m = 5, n = 2 \; y, por lo tanto, m - n + 1 = 5 - 2 + 1 = 4.
      Así

       

      \displaystyle V_{5}^{2} = 5 \cdot 4 = 20.

 

  • Calcular las variaciones ordinarias dadas por \displaystyle V_{10}^{6}.

    Tenemos que para este caso m = 10, n = 6 \; y, por lo tanto, m - n + 1 = 10 - 6 + 1 = 5.
    Así

     

    \displaystyle V_{10}^{6} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 151200.

     

También podemos calcular las variaciones por medio de factoriales:

 

\displaystyle V_{m}^{n} = \frac{m!}{(m - n)!}.

 

Resolviendos los ejemplos anteriores con factoriales tenemos para el primer caso

 

     \begin{align*} V_{5}^{2} &= \frac{5!}{(5 - 2)!} \\ &= \frac{5!}{3!}\\ &= \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\ &= 5 \cdot 4 \\ &= 20, \end{align*}

 

y para el segundo caso

 

     \begin{align*} V_{10}^{6} &= \frac{10!}{(10 - 6)!} \\ &= \frac{10!}{4!}\\ &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\\ &= 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5\\ &= 151200. \end{align*}

 

Observación: si m = n, entonces estamos tratando con permutaciones (ordenamientos).

 

Ejemplos de cálculo de variaciones

 

1. Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres.

 

Tenemos que en este caso m = 6, n = 3 y m - n + 1 = 6 - 3 + 1 = 4, por lo tanto

 

\displaystyle V_{6}^{3} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120.

 

Ahora hagamos el cálculo por medio de factoriales

 

     \begin{align*} V_{6}^{3} &= \frac{6!}{(6 - 3)!} \\ &= \frac{6!}{3!}\\ &= \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\ &= 6 \cdot 5 \cdot 4 \\ &= 120. \end{align*}

 

2.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?

 

Notemos que, por la descripción del ejemplo, se cumplen las características de variaciones ordinarias:

 

    • Sí importa el orden. Son números distintos  123, 231, 321.

 

    • No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes

 

Además, para este ejemplo, tenemos que m = 5, n = 3 y m - n + 1 = 5 - 3 + 1 = 3, por lo tanto

 

\displaystyle V_{5}^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60.

 

Ahora, si hacemos el cálculo por medio de factoriales

 

     \begin{align*} V_{5}^{3} &= \frac{5!}{(5 - 3)!} \\ &= \frac{5!}{2!}\\ &= \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1}\\ &=5 \cdot 4 \cdot 3 \\ &= 60. \end{align*}

 

3.¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5?

 

Tenemos que separar el número en dos bloques:

 

El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos (1, 2, 3, 4, 5) porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares, los cuales no consideramos), por lo tanto, en este bloque tenemos m = 5 y n = 1. Así, calculamos

\displaystyle V_{5}^{1} = 5 .

 

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito del 0 al 6 menos el inicial(el que hayamos ocupado el primer bloque), así, para este bloque, m = 5 y n = 2. Por lo tanto, calculamos

 

\displaystyle V_{5}^{2} = 5 \cdot 4 = 20 .

 

Así, nuestro resultado final sería la multiplicación de nuestros bloques:

 

\displaystyle V_{5}^{1} \cdot V_{5}^{2} = 5 \cdot 20 = 100.

 

4. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?

 

Notemos que, por la descripción del ejemplo, se cumplen las características de variaciones ordinarias. Además, para este ejemplo, tenemos que m = 10, n = 3 y m - n + 1 = 10 - 3 + 1 = 8, por lo tanto

 

\displaystyle V_{10}^{3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720.

 

Ahora, si hacemos el cálculo por medio de factoriales

 

     \begin{align*} V_{10}^{3} &= \frac{10!}{(10 - 3)!} \\ &= \frac{10!}{7!}\\ &=10 \cdot 9 \cdot 8 \\ &= 720. \end{align*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗