Name: Problemas de combinatoria
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Permutaciones

1 ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Sí entran todos los elementos. En la fila se está considerando que se sienten las 8 personas.

Sí importa el orden. Si los ordenas diferentes, eso contaría como otra forma.

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

Por las características, se trata de una permutación.

$P_8=8!=40320$

2 ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

Notemos que en la pregunta se mencionan 3 cifras diferentes.

m = 5 n = 3

No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes

Por las características, se trata de una variación

$\displaystyle V_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!}= \frac{5!}{2!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$

3 ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

En este caso nos interesa calcular de cuantas formas se pueden acomodar 8 personas en un arreglo circular, por lo que, debemos recurrir a las permutaciones circulares

$PC_8=P_{8-1}=P_7=7!=5040$

4 ¿Cuántas quinielas de futbol han de rellenarse para asegurarse el acierto de los 15 resultados?

En cada uno de los 15 partidos, se puede elegir apostar por que el equipo local gane, empate o pierda, por lo que

m = 3 n = 15 m < n

Sí entran todos los elementos. En este caso el número de orden es mayor que el número de elementos

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

Por las características, se trata de una variación

$V_3^{15}=3^{15}=14348907$

5 Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras pueden formarse? ¿Cuántos son pares?

1 Números de 5 cifras

Sí entran todos los elementos: 3 < 5

Sí importa el orden

Sí se repiten los elementos

Por las características, se trata de una variación con repetición

$VR_3^5=3^5=243$

2 Números de 5 cifras pares

Si el número es par tan sólo puede terminar en 2.

$\underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\, 2\, } \hspace{2cm} VR_3^4=3^4=81$

6 Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

Sí se repiten los elementos

Por las características, se trata de una permutación con repetición

$\displaystyle PR_9^{3,4,2}=\frac{9!}{3! \, 4! \, 2!}=1260$

7 Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de permutaciones

$\underline{\, i\, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, }$

$\underline{\, o\, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, }$

Para la primer letra hay $P_2$ maneras de hacerlo y para el resto hay $P_4$ , pues se trata de ordenar las letras l, b, r, y la que no usé al principio. Entonces las formas totales es igual a

$P_2 \cdot P_4 =2\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48$

8 ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

1 Números de cinco cifras distintas
La cifras impares: 1, 3, 5, 7, 9

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de una permutación

$\displaystyle P_5= 5! =120$

2 Mayores a 70,000

Si es impar sólo puede empezar por 7 u 8

$\underline{\, 7\, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, }$

$\underline{\, 9\, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, }$

$P_2 \cdot P_4 =2\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48$

9 En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden

Sí se repiten los elementos

Por las características, se trata de una permutación con repetición

$\displaystyle PR_9^{3,2,4}=\frac{9!}{3!\, 2!\, 4!}=1260$

10 Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

Primero tengo que considerar cuántas maneras hay de acomodar el espacio para el presidente y el secretario. Este espacio para dos personas puede ser a partir del primer lugar, del segundo, del tercero hasta el séptimo, en el cual el presidente y el secretario ocupan los últimos dos lugares. En total hay 7 formas de elegir este espacio.

Se forman dos grupos el primero de 2 personas (presidente y secretario) y el segundo de 6 personas, en los dos se cumple que:

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de permutaciones.

$\underline{\, \text{P} \, } \ \underline{\, \text{S} \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \hspace{2cm} 7\cdot P_2\cdot P_6=2\cdot 7!=10800$

11 Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

Sí se repiten los elementos

Por las características, se trata de una permitación con repetición.

$\displaystyle P_{10}^{5,2,3}=\frac{10!}{5!\cdot 2! \cdot 3!}=2520$

12 Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:

1Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

2Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

1 Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

Orden de las materias

$\underline{\, M \,} \ \underline{\, M \,} \ \underline{\, M \,} \ \underline{\, M \,} \ \ \ \ \ \underline{\, F \,} \ \underline{\, F \,} \ \underline{\, F \,} \ \underline{\, F \,} \ \underline{\, F \,} \ \underline{\, F \,} \ \ \ \ \ \underline{\, Q \,} \ \underline{\, Q \,}$

Primero se tiene que elegir el orden que llevarán las materias. Por ejemplo: primero los libros de matemáticas, luego los de química, y finalmente los de física. Son 3 materias, donde

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de una permutación.

Hay $P_3$ de elegir el acomodo de las materias.

Orden de los libros por sección

Ya que se eligió ese acomo, calculamos las maneras de acomodar los libros de cada materia en el espacio que le correspondería.

De nuevo

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de permutaciones.

Hay $P_4$ formas de acomodar los libros de matemáticas en el espacio que le corresponde, $P_6$ de acomodar los libros de física y $P_2$ de acomodar los libros de química.

Finalmente, las formas totales de acomodo son:

$P_3 \cdot P_4\cdot P_6 \cdot P_2 =4! \, 6! \, 2!\, 3!=207360$

2 Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

Orden de la sección de matemáticas

$\underline{\, M \,} \ \underline{\, M \,} \ \underline{\, M \,} \ \underline{\, M \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,}$

Primero tengo que considerar cuántas maneras hay de acomodar el espacio para los 4 libros de matemáticas en el estante.

El espacio para los libros de matemáticas puede comenzar desde el primer espacio, desde el segundo, tercero, ... hasta el noveno, pues de este modo los 4 libros de matemáticas quedarían al final, como se muestra a continuación

$\underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, M \,} \ \underline{\, M \,} \ \underline{\, M \,} \ \underline{\, M \,}$

Entonces en total hay 9 formas para elegir la posición en la que irá el apartado de libros de matemáticas.

Orden de los libros del espacio asignado

Ya teniendo el apartado elegido, hay $P_4$ maneras de acomodar los libros de matemáticas en ese espacio.

Quedan 8 lugares vacíos, para acomodar el resto de libros, sin ninguna restricción, donde

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de una permutación. Hay $P_8$ maneras de ordenar el resto de libros.

En total, las maneras de ordenar los libros en el estante donde los libros de matemáticas estén juntos son:

$9 \cdot 4 \cdot P_8 =9 \cdot 4! \cdot 8!= 4!\cdot 9!=8709120$

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Variaciones

13 ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?

1 Primer dígito

m = 6 n = 3

Tenemos que separar el número en dos bloques:

permutación

El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares),

m = 5 n = 1

2 Segundo y tercer dígito

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito.

m = 6 n = 2

En ambos casos

No entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

Por las características, se tratan de variaciones

Las maneras de llenar el primer bloque multiplicado por las maneras de elegir el segundo nos da el total de números de 3 dígitos

$V_5^1\cdot VR_6^2=5\cdot 6^2=180$

14 Con el (punto, raya) del sistema Morse, ¿cuántas señales distintas se pueden enviar, usando como máximo cuatro pulsaciones?

Con máximo 4 pulsaciones, hay 4 caso a considerar: señales con 1, con 2, con 3 o con 4 pulsaciones.

No entran todos los elementos en el caso de señales con 1 pulsación y sí entran en lo otros

Sí importa el orden

Sí se repiten los elementos

Por las características, se trata de una variación con repetición

$VR_2^1+VR_2^2+VR_2^3+VR_2^3+VR_2^4=2^1+2^2+2^3+2^4=30$

15 ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

No entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de una variación.

$V_{12}^3=12\cdot 11\cdot 10=1320$

16 Halla el número de capicúas de ocho cifras. ¿Cuántos capicúas hay de nueve cifras?

Números capicúas son números con la propiedad de que se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

1 Capicúas de 8 dígitos

$\underline{\, a \,} \ \underline{\, b \,} \ \underline{\, c \,} \ \underline{\, d \,} \ \underline{\, d \,} \ \underline{\, c \,} \ \underline{\, b \,} \ \underline{\, a \,}$

Como las cifras a partir de la quinta vienen en función de la 4 primeras, el número de capicúas de ocho cifras coincide con el de números de 4 cifras. Entonces tengo que ver de cuántas maneras puedo elegir valores para a, b, c y d, con $a\not = 0$ .

Para ello puedo obtener los números de 4 cifras y restar las que comiencen con 0.

$\underline{\, a \,} \ \underline{\, b \,} \ \underline{\, c \,} \ \underline{\, d \,}$

No entran todos los elementos. Tengo de elementos a las 10 cifras y me interesa asignar valores a 4 letras\espacios.

Sí importa el orden

Sí se repiten los elementos

Por las características, se trata de una variación con repetición.

$VR_{10}^4-VR_{10}^3=10^4-10^3=10000-1000=9000$

2 Capicúas de 9 dígitos
Análogamente al caso anterior,

$\underline{\, a \,} \ \underline{\, b \,} \ \underline{\, c \,} \ \underline{\, d \,} \ \underline{\, e \,} \ \underline{\, d \,} \ \underline{\, c \,} \ \underline{\, b \,} \ \underline{\, a \,} \hspace{2cm} \underline{\, a \,}\not = 0$

Considero lo números de 4 cifras.

$\underline{\, a \,} \ \underline{\, b \,} \ \underline{\, c \,} \ \underline{\, d \,} \ \underline{\, e \,}$

Al total le resto los números que inician con 0.

$VR_{10}^5-VR_{10}^4=10^5-10^4=100000-10000=90000$

Combinaciones

17 ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

No entran todos los elementos. Pues de los 7 se considerarán grupos de 3.

No importa el orden. Es una mezcla, así que rojo, azul y amarillo dan el mismo color que amarillo, azul y rojo.

No se repiten los elementos. Como se toman 3 colores del arcoíris se entiende que tienen que ser diferentes.

Por las características, se trata de una combinación

$\displaystyle C_7^3=\frac{7\cdot \cancel{6} \cdot 5}{\cancel{3\cdot 2}}=35$

18 En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

No entran todos los elementos. El comité es de 3 personas únicamente.

No importa el orden: Juan, Ana y Betti, forman el mismo comité que Betti, Juan y Ana.

No se repiten los elementos. El comité no puede estar formado por Betti, Betti y Betti. Una persona no se puede repetir.

Por las características, se trata de una combinación

$\displaystyle C_{35}^3=\frac{35\cdot 34 \cdot 33}{3\cdot 2\cdot 1}=6545$

19 ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

Esta loteria consiste en elegir 6 números de 49. Al llevar a cabo la lotería, se obtienen aleatoriamente 6 números. Si esos números fueron elegidos por alguien que apostó, se convierte en ganador.

No entran todos los elementos. Se toma en cuenta 6 elementos de los 49.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

Por las características, se trata de una combinación

$\displaystyle C_{49}^6=\frac{49!}{(49-6)! 6!}=13983816$

20 En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

No entran todos los elementos. Sólo elije 4

No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís

Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo

Por las características, se trata de una combinación con repetición

$\displaystyle CR_{5}^4=\frac{(5+4-1)!}{4!(5-1)! }=\frac{8!}{4!4! }=70$

21 ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?

Determinaremos las rectas que se pueden trazar con 2 vértices de los 5 disponibles (y triángulos con 3 vértices).

No entran todos los elementos

No importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de combinaciones

Son $C_5^2$ , a las que tenemos que restar los lados que forman 5 rectas que no son diagonales.

$\displaystyle C_5^2-5=\frac{5\cdot 4}{2}-5=5$ diagonales

$\displaystyle C_5^3=\frac{5\cdot 4 \cdot 3}{3\cdot 2}=10$ triángulos

22 Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

1Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

2Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

3Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

No entran todos los elementos

No importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, trabajaremos con combinaciones

1 Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

$C_5^2\cdot C_7^3=10\cdot 35=350$

2 Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

$C_5^2\cdot C_6^2=10\cdot 15=150$

3 Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

$C_3^2\cdot C_7^3=3\cdot 35=105$

23 Con nueve alumnos de una clase se desea formar tres equipos de tres alumnos cada uno. ¿De cuántas maneras puede hacerse?

Para este problema veremos de cuántas maneras podemos armar al primer equipo y luego lo multiplicaremos por las maneras de formar al segundo por las maneras de formar al tercero.

No entran todos los elementos. Pues se eligen a 3 personas de las que quedan disponibles.

No importa el orden.

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de una combinación.

$C_9^3\cdot C_6^3 \cdot C_3^3=1680$

24 Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

Consideramos las sumas formadas por 1 moneda, 2 monedas, 3 monedas, 4 monedas o 5 monedas

No entran todos los elementos (Sí, en el caso de que se usen las 5 monedas)

No importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de combinaciones.

$C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5=5+10+10+5+1=31$

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Marta

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Aparicio
Invité

18 Oct.

felicidades excelentes soluciones

Superprof
Administrateur

21 Oct.

¡Gracias!

ramirez
Invité

24 Abr.

El gerente de una compañía, desea ocupar tres vacantes en diferentes cargos, a los cuales se presentan hombres y mujeres, elabore el diagrama de árbol, teniendo en cuenta que hombres y mujeres tienen la misma probabilidad de ser elegidos, construya el espacio muestral y determine:
a. La probabilidad de que se contraten 2 mujeres.
b. La probabilidad de que se contraten 3 hombres.

Karla Paulette Flores Silva
Editor

15 Jun.

Hola,

El diagrama quedaría así:

Nos es difícil unirlos con líneas pero espero quede claro.

Con el diagrama notamos que el espacio muestral es de 8 elementos.

También observamos que los casos en el que se contratan a dos mujeres son 3

Por lo que la probabilidad de que esto ocurra es: 3/8

Los casos en el que se contratan a tres hombres es 1

Por lo que la probabilidad de que esto ocurra es: 1/8

Espero la explicación te sea útil,
¡saludos!

herrera
Invité

29 Abr.

¿que una persona quede en la primera silla,tiene la posibilidad de 8 formas difernetes de acomodación de las otras.?

Luis Ernesto Sanchez Perez
Editor

28 Jun.

Buen día

No entiendo muy bien a qué te refieres, ¿podrías escribir con poca más claridad tu pregunta? Por favor.

Si te refieres a la pregunta 3 de por qué $P_7$ y no $P_8$ , tiene que ver en que en las mesas redondas no existe «primer» silla, en este lugar, el primer lugar se considera el lugar que fue tomado primero, por lo tanto, no importa la posición al rededor de la mesa redonda. Así, como existen 8 sillas al rededor de la mesa, dividimos $P_8 = 8!$ entre 8, lo cual nos da $7! = P_7$ .

Saludos.

Mendez
Invité

15 May.

a) Se quieren formar arreglos de cuatro cifras con los números 0 a 8. ¿cuántos números diferentes de cuatro cifras se pueden formar con los números 0 a 8 (si no se permite la repetición) el cero no puede ir al principio y los números formados deben ser impares.
¿Podrías solucionar?

Luis Maciel Baron
Editor

28 Jun.

¿Qué tal? En este tipo de ejercicios debemos de considerar algunos casos y aplicamos el principio aditivo para cada uno: Caso 1: El número es impar, pero sólo contiene una cifra impar (La última, es decir PPPI) El primer dígito puede ser cualquier cifra par, excepto 0 (4 números a elegir) El segundo dígito puede ser 0 o alguna de las cifras pares que quedan (4 números a elegir) El tercer dígito puede ser alguno de los números que no se eligió en los anteriores (3 números a elegir) El cuarto dígito es uno de los números impares (4 números… Lire la suite »

Mendez
Invité

2 Jun.

De cuántas formas diferentes se pueden ordenar 25 refrescos de los cuales 10 son Coca Cola, 10 Lift y 5 Sprite

Gaspar Leon
Editor

29 Jun.

Hola,

como nos interesa el orden y los elementos se repiten, entonces se trata de una permutación con repetición
PR₂₅^10,10,5=25!/(10!*10!*5!)=9,816,086,280
formas diferentes de ordenar

Un saludo

caballero
Invité

4 Jun.

Setiene un asta banderas de diez posiciones y diez banderas de las cuales cinco son rojas, tres azules y dos blancas. ¿Cualcular el nuemro de señales diferentes que pueden formarse al colocar todas las banderas simultaneamnete sobre le hasta?
¿De cuntas maneras se puede colocar diez libros en un estante, si cuatro de estos simpre deben estar juntos?
Si un examen consiste en 12 preguntas de falso verdadero ¿Cuántas formas diferentes un estudiante puede contestar el examen con una respuesta de cada pregunta?

Gaspar Leon
Editor

23 Jun.

Hola el primero se resuelve aplicando permutaciones con repetición ya que importa el orden PR105,3,2=10!/[5!3!2!]= 2,520 Para el segundo se tienen 10 lugares, pero 4 siempre deben de ir juntos, así que los agrupamos como si se tratara de un solo elemento e interiormente se pueden se pueden acomodar de 4! Maneras posibles. Ahora hay que acomodar los 6 libros restantes más el grupo de cuatro libros que consideramos como un solo elemento, es decir, siete elementos lo cual se logra de 7! Maneras posibles. Así el resultado buscado es (7!)(4!)=120,960 formas posibles Para el tercero basta… Lire la suite »

Valentina
Invité

18 Jun.

¿Cuantos triángulos pueden formarse con ocho puntos sabiendo que al considerar CUALQUEIR subconjunto de tres de ellos, nunca están alineados? Cual sería la respuesta de este problema?

Karla Paulette Flores Silva
Editor

8 Jul.

Hola, sabes que al escoger 3 puntos de los 8 disponibles formarás un triángulo. De los tres que tomas, no importa el orden en que los eliges pues formarán el mismo triángulo, tampoco hay repeticiones, y no entran todos los elementos, pues solo eliges 3 de los 8. Entonces se trata de una combinación.

C₈³ = 8!/[(8-3)!3!] = 8!/(5!3!) = 8*7*6/(3*2) = 8*7 = 56

Se pueden formar 56 triángulos distintos

Espero la solución te sea útil,
¡saludos!

Castillo
Invité

22 Jun.

En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

Solución

No entran todos los elementos. El comité es de 3 personas únicamente.

No importa el orden: Juan, Ana y Betti, forman el mismo comité que Betti, Juan y Ana.

No se repiten los elementos. El comité no puede estar formado por Betti, Betti y Betti. Una persona no se puede repetir.

Por las características, se trata de una combinación

\displaystyle C_{35}^3=\frac{35\cdot 34 \cdot 33}{3\cdot 2\cdot 1}=6545

Como seria el diagrama de arbol

Luis Maciel Baron
Editor

25 Jul.

¡Hola! Con gusto te apoyo con tu duda. En este tipo de problemas no podemos representar la totalidad de casos en un único diagrama de árbol. Pongamos el ejemplo de que hubiesen 5 alumnos y debemos elegir un comité de 3. Los alumnos los representaré con las letras A, B, C, D y E Este diagrama nos representaría los comités posibles en los que está el alumno A, nota que en árbol algunas ramas no se ramifican más evitando las repeticiones (Tipo ABC y ACB, etc) Hacemos algo similar, para los comités que contengan a B, pero cuidando que no… Lire la suite »

Ruiz
Invité

27 Jun.

Con las vocales cuantos arreglos se pueden hacer en grupos de 3?

Karla Paulette Flores Silva
Editor

15 Jul.

Hola, como son arreglos de 3, sí importa el orden, no entran todos los elementos y no hay repeticiones por lo que esto se calcula como una variación:

V₅³ = 5!/(5-3)! = 5!/2! = 5·4·3 = 60

Hay 60 arreglos de las vocales en grupos de 3.

Espero la solución te sea útil,
¡saludos!

Rios
Invité

29 Jun.

1. Halle le número de enteros diferentes de tres cifras que pueden formarse con los dígitos 2, 3, 5 y 7, en los casos siguientes:
a) no se permite la repetición
b) se permite la repetición
c) cuántos enteros son pares?

Karla Paulette Flores Silva
Editor

19 Jul.

Hola, para el inciso a) NO hay repeticiones de los dígitos SÍ importa el orden de los dígitos Se trata una variación ordinaria, en este caso de 4 elementos (2, 3, 5 y 7) en grupos de 3. Así que hay: V43 = 4!/1! = 24 números Para el inciso b) SÍ hay repeticiones de los dígitos SÍ importa el orden de los dígitos Se trata una variación con repetición, en este caso de 4 elementos (2, 3, 5 y 7) en grupos de 3. Así que hay: VR43 = 43 = 64 números Y en el inciso c) se… Lire la suite »

Santeras
Invité

3 Jul.

De cuántas maneras se puede disponer 10 caballos de un rebaño de 12?

Karla Paulette Flores Silva
Editor

27 Jul.

Hola, si no importa el orden, se calcularía como una combinación, ya que no entran todos los elementos, ni habría repeticiones

C₁₂¹⁰ = 12!/(10!2!) = 12×11/2 = 66

Hay 66 manera distintas de disponer 10 caballos de un rebaño con 12.

Espero la solución te sea útil,
¡saludos!

Godoy
Invité

4 Jul.

De cuántas formas se eligen 5 idiomas de 8?

Gaspar Leon
Editor

17 Jul.

Hola,

como no importa el orden de elección vamos a emplear combinaciones. Calculamos las combinaciones de 8 elementos en grupos de tamaño 5

$C_8^5=\frac{8!}{5!(8-5)!}=56$

Así, se pueden elegir de 56 maneras distintas, 5 idiomas de un total de 8

Un saludo

Elizalde
Invité

7 Jul.

En un centro escolar hay 40 en 1º de ESO, 35 en 2º, 32 en 3º y 28 en 4º. Para hablar con la dirección se quiere formar una comisión que esté integrada por un alumno de cada curso. ¿Cuántas comisiones se pueden formar?

Gaspar Leon
Editor

21 Jul.

Hola,

en la comisión no importa el orden por lo que empleamos combinaciones. Así, se pueden formar

$C_{40}^1 \cdot C_{35}^1 \cdot C_{32}^1 \cdot C_{28}^1=(40)(35)(32)(28)=1,254,400$

comisiones.

Espero te sea de utilidad.
Un saludo

josefa herrera
Invité

7 Jul.

los 30 niños de tu escuela quieren formar equipos de deporte con el mismo número de niños en cada equipo¿de cuántas formas diferentes se pueden agrupar los niños?¿cuantos niños habría por equipo en cada caso?

Gaspar Leon
Editor

23 Jul.

Hola, considera los divisores de 30, los cuales son: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 y que representan el número de equipos. Como no interesa el orden dentro de cada equipo, empleamos combinaciones. Para 1 equipo este debe contener 30 elementos por lo que hay manera de agrupar los niños. Para 2 equipos estos deben contener 15 elementos cada uno, pero no importa si queda en el primer o segundo equipo, por lo que hay maneras de agrupar los niños. En caso de importar en que equipo quedan los niños, no dividimos entre… Lire la suite »

Permutaciones, variaciones y combinaciones - Ejercicios

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