Temas

 

Permutaciones

 

1 ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

 

Sí entran todos los elementos. En la fila se está considerando que se sienten las 8 personas.

Sí importa el orden. Si los ordenas diferentes, eso contaría como otra forma.

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

Por las características, se trata de una permutación.

P_8=8!=40320

 

2 ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

 

Notemos que en la pregunta se mencionan 3 cifras diferentes.

m = 5     n = 3

No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes

Por las características, se trata de una variación

\displaystyle V_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!}= \frac{5!}{2!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60

 

3 ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

 

En este caso nos interesa calcular de cuantas formas se pueden acomodar 8 personas en un arreglo circular, por lo que, debemos recurrir a las permutaciones circulares

PC_8=P_{8-1}=P_7=7!=5040

 

4 ¿Cuántas quinielas de futbol han de rellenarse para asegurarse el acierto de los 15 resultados?

 

En cada uno de los 15 partidos, se puede elegir apostar por que el equipo local gane, empate o pierda, por lo que

m = 3     n = 15     m < n

Sí entran todos los elementos. En este caso el número de orden es mayor que el número de elementos

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

Por las características, se trata de una variación

V_3^{15}=3^{15}=14348907

 

5 Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras pueden formarse? ¿Cuántos son pares?

 

1 Números de 5 cifras

Sí entran todos los elementos: 3 < 5

Sí importa el orden

Sí se repiten los elementos

Por las características, se trata de una variación con repetición

VR_3^5=3^5=243

2 Números de 5 cifras pares

Si el número es par tan sólo puede terminar en 2.

\underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\, 2\, } \hspace{2cm} VR_3^4=3^4=81

 

6 Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

 

m = 9     a = 3     b = 4     c = 2     a + b + c = 9

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

Sí se repiten los elementos

Por las características, se trata de una permutación con repetición

\displaystyle PR_9^{3,4,2}=\frac{9!}{3! \, 4! \, 2!}=1260

 

7 Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

 

La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de permutaciones

\underline{\, i\, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, }

\underline{\, o\, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, }

Para la primer letra hay P_2 maneras de hacerlo y para el resto hay P_4, pues se trata de ordenar las letras l, b, r, y la que no usé al principio. Entonces las formas totales es igual a

P_2 \cdot P_4 =2\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48

 

8 ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

 

1 Números de cinco cifras distintas
La cifras impares: 1, 3, 5, 7, 9

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de una permutación

\displaystyle P_5= 5! =120

2 Mayores a 70,000

Si es impar sólo puede empezar por 7 u 8

\underline{\, 7\, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, }

\underline{\, 9\, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, }

P_2 \cdot P_4 =2\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48

 

9 En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

 

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden

Sí se repiten los elementos

Por las características, se trata de una permutación con repetición

\displaystyle PR_9^{3,2,4}=\frac{9!}{3!\, 2!\, 4!}=1260

 

10 Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

 

Primero tengo que considerar cuántas maneras hay de acomodar el espacio para el presidente y el secretario. Este espacio para dos personas puede ser a partir del primer lugar, del segundo, del tercero hasta el séptimo, en el cual el presidente y el secretario ocupan los últimos dos lugares. En total hay 7 formas de elegir este espacio.

Se forman dos grupos el primero de 2 personas (presidente y secretario) y el segundo de 6 personas, en los dos se cumple que:

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de permutaciones.

\underline{\, \text{P} \, } \ \underline{\, \text{S} \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \ \underline{\ \ \, } \hspace{2cm} 7\cdot P_2\cdot P_6=2\cdot 7!=10800

 

11 Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?

 

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

Sí se repiten los elementos

Por las características, se trata de una permitación con repetición.

\displaystyle P_{10}^{5,2,3}=\frac{10!}{5!\cdot 2! \cdot 3!}=2520

 

12 Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:

1Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

2Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

 

1 Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
 

Orden de las materias

\underline{\, M \,} \ \underline{\, M \,} \ \underline{\, M \,} \ \underline{\, M \,} \ \ \ \ \ \underline{\, F \,} \ \underline{\, F \,} \ \underline{\, F \,} \ \underline{\, F \,} \ \underline{\, F \,} \ \underline{\, F \,} \ \ \ \ \ \underline{\, Q \,} \ \underline{\, Q \,}

Primero se tiene que elegir el orden que llevarán las materias. Por ejemplo: primero los libros de matemáticas, luego los de química, y finalmente los de física. Son 3 materias, donde

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de una permutación.

Hay P_3 de elegir el acomodo de las materias.
 

Orden de los libros por sección

Ya que se eligió ese acomo, calculamos las maneras de acomodar los libros de cada materia en el espacio que le correspondería.

De nuevo

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de permutaciones.

Hay P_4 formas de acomodar los libros de matemáticas en el espacio que le corresponde, P_6 de acomodar los libros de física y P_2 de acomodar los libros de química.

Finalmente, las formas totales de acomodo son:

P_3 \cdot P_4\cdot P_6 \cdot P_2 =4! \, 6! \, 2!\, 3!=207360

2 Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.
 

Orden de la sección de matemáticas

\underline{\, M \,} \ \underline{\, M \,} \ \underline{\, M \,} \ \underline{\, M \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,}

Primero tengo que considerar cuántas maneras hay de acomodar el espacio para los 4 libros de matemáticas en el estante.

El espacio para los libros de matemáticas puede comenzar desde el primer espacio, desde el segundo, tercero, ... hasta el noveno, pues de este modo los 4 libros de matemáticas quedarían al final, como se muestra a continuación

\underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \underline{\, \ \,} \ \underline{\, \ \,} \ \underline{\, M \,} \ \underline{\, M \,} \ \underline{\, M \,} \ \underline{\, M \,}

Entonces en total hay 9 formas para elegir la posición en la que irá el apartado de libros de matemáticas.
 

Orden de los libros del espacio asignado

Ya teniendo el apartado elegido, hay P_4 maneras de acomodar los libros de matemáticas en ese espacio.

Quedan 8 lugares vacíos, para acomodar el resto de libros, sin ninguna restricción, donde

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de una permutación. Hay P_8 maneras de ordenar el resto de libros.

En total, las maneras de ordenar los libros en el estante donde los libros de matemáticas estén juntos son:

9 \cdot 4 \cdot P_8 =9 \cdot 4! \cdot 8!= 4!\cdot 9!=8709120

 

Variaciones

 

13 ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?

 

1 Primer dígito

m = 6     n = 3

Tenemos que separar el número en dos bloques:

permutación

El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares),

m = 5     n = 1

2 Segundo y tercer dígito

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito.

m = 6     n = 2

En ambos casos

No entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

Por las características, se tratan de variaciones

Las maneras de llenar el primer bloque multiplicado por las maneras de elegir el segundo nos da el total de números de 3 dígitos

V_5^1\cdot VR_6^2=5\cdot 6^2=180

 

14 Con el (punto, raya) del sistema Morse, ¿cuántas señales distintas se pueden enviar, usando como máximo cuatro pulsaciones?

 

Con máximo 4 pulsaciones, hay 4 caso a considerar: señales con 1, con 2, con 3 o con 4 pulsaciones.

No entran todos los elementos en el caso de señales con 1 pulsación y sí entran en lo otros

Sí importa el orden

Sí se repiten los elementos

Por las características, se trata de una variación con repetición

VR_2^1+VR_2^2+VR_2^3+VR_2^3+VR_2^4=2^1+2^2+2^3+2^4=30

 

15 ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

 

No entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de una variación.

V_{12}^3=12\cdot 11\cdot 10=1320

 

16 Halla el número de capicúas de ocho cifras. ¿Cuántos capicúas hay de nueve cifras?

 

Números capicúas son números con la propiedad de que se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.
 
1 Capicúas de 8 dígitos

\underline{\, a \,} \ \underline{\, b \,} \ \underline{\, c \,} \ \underline{\, d \,} \ \underline{\, d \,} \ \underline{\, c \,} \ \underline{\, b \,} \ \underline{\, a \,}

Como las cifras a partir de la quinta vienen en función de la 4 primeras, el número de capicúas de ocho cifras coincide con el de números de 4 cifras. Entonces tengo que ver de cuántas maneras puedo elegir valores para a, b, c y d, con a\not = 0.

Para ello puedo obtener los números de 4 cifras y restar las que comiencen con 0.

\underline{\, a \,} \ \underline{\, b \,} \ \underline{\, c \,} \ \underline{\, d \,}

No entran todos los elementos. Tengo de elementos a las 10 cifras y me interesa asignar valores a 4 letras\espacios.

Sí importa el orden

Sí se repiten los elementos

Por las características, se trata de una variación con repetición.

VR_{10}^4-VR_{10}^3=10^4-10^3=10000-1000=9000

 
2 Capicúas de 9 dígitos
Análogamente al caso anterior,

\underline{\, a \,} \ \underline{\, b \,} \ \underline{\, c \,} \ \underline{\, d \,} \ \underline{\, e \,} \ \underline{\, d \,} \ \underline{\, c \,} \ \underline{\, b \,} \ \underline{\, a \,} \hspace{2cm} \underline{\, a \,}\not = 0

Considero lo números de 4 cifras.

\underline{\, a \,} \ \underline{\, b \,} \ \underline{\, c \,} \ \underline{\, d \,} \ \underline{\, e \,}

Al total le resto los números que inician con 0.

VR_{10}^5-VR_{10}^4=10^5-10^4=100000-10000=90000

 

Combinaciones

 

17 ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

 

No entran todos los elementos. Pues de los 7 se considerarán grupos de 3.

No importa el orden. Es una mezcla, así que rojo, azul y amarillo dan el mismo color que amarillo, azul y rojo.

No se repiten los elementos. Como se toman 3 colores del arcoíris se entiende que tienen que ser diferentes.

Por las características, se trata de una combinación

\displaystyle C_7^3=\frac{7\cdot \cancel{6} \cdot 5}{\cancel{3\cdot 2}}=35

 

18 En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

 

No entran todos los elementos. El comité es de 3 personas únicamente.

No importa el orden: Juan, Ana y Betti, forman el mismo comité que Betti, Juan y Ana.

No se repiten los elementos. El comité no puede estar formado por Betti, Betti y Betti. Una persona no se puede repetir.

Por las características, se trata de una combinación

\displaystyle C_{35}^3=\frac{35\cdot 34 \cdot 33}{3\cdot 2\cdot 1}=6545

 

19 ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

 

Esta loteria consiste en elegir 6 números de 49. Al llevar a cabo la lotería, se obtienen aleatoriamente 6 números. Si esos números fueron elegidos por alguien que apostó, se convierte en ganador.

No entran todos los elementos. Se toma en cuenta 6 elementos de los 49.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

Por las características, se trata de una combinación

\displaystyle C_{49}^6=\frac{49!}{(49-6)! 6!}=13983816

 

20 En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

 

No entran todos los elementos. Sólo elije 4

No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís

Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo

Por las características, se trata de una combinación con repetición

\displaystyle CR_{5}^4=\frac{(5+4-1)!}{4!(5-1)! }=\frac{8!}{4!4! }=70

 

21 ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?

 

Determinaremos las rectas que se pueden trazar con 2 vértices de los 5 disponibles (y triángulos con 3 vértices).

No entran todos los elementos

No importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de combinaciones

Son C_5^2, a las que tenemos que restar los lados que forman 5 rectas que no son diagonales.

\displaystyle C_5^2-5=\frac{5\cdot 4}{2}-5=5 diagonales

\displaystyle C_5^3=\frac{5\cdot 4 \cdot 3}{3\cdot 2}=10 triángulos

 

22 Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

1Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

2Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

3Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

 

No entran todos los elementos

No importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, trabajaremos con combinaciones

1 Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

C_5^2\cdot C_7^3=10\cdot 35=350

2 Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

C_5^2\cdot C_6^2=10\cdot 15=150

3 Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

C_3^2\cdot C_7^3=3\cdot 35=105

 

23 Con nueve alumnos de una clase se desea formar tres equipos de tres alumnos cada uno. ¿De cuántas maneras puede hacerse?

 

Para este problema veremos de cuántas maneras podemos armar al primer equipo y luego lo multiplicaremos por las maneras de formar al segundo por las maneras de formar al tercero.

No entran todos los elementos. Pues se eligen a 3 personas de las que quedan disponibles.

No importa el orden.

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de una combinación.

C_9^3\cdot C_6^3 \cdot C_3^3=1680

 

24 Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

 

Consideramos las sumas formadas por 1 moneda, 2 monedas, 3 monedas, 4 monedas o 5 monedas

No entran todos los elementos (Sí, en el caso de que se usen las 5 monedas)

No importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de combinaciones.

C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5=5+10+10+5+1=31

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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