¿Qué estudia la combinatoria?

 

La combinatoria estudia los métodos para contar las distintas configuraciones de los elementos de un conjunto que cumplan ciertos criterios especificados.

En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir:

 

1 Población

Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto.

 

2 Muestra

Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra.

Los diferentes tipos de muestra vienen determinados por dos aspectos:

 

Orden

Es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no.

 

Repetición

La posibilidad de repetición o no de los elementos.

 

 

Ejemplo:

En una clase de danza hay 10 alumnos y se quiere formar un comité de 4 personas que organice las presentaciones ¿De cuántas maneras distintas es esto posible?

 

Población:  Los 10 alumnos

Muestra:  Un posible comité, por ejemplo: Ana, Rosa, Valeria y Carla.

 

¿Importa el orden en la muestra?

En este caso no, pues si ordenamos de diferente manera los elementos en nuestra muestra se obtiene el mismo comité.

Es decir, Ana, Rosa, Valeria y Carla forman el mismo comité que Carla, Rosa, Ana y Valeria.

 

¿Puede haber elementos repetidos en la muestra?

No, ya que se trata de personas, elementos que no se pueden repetir, y por ejemplo Ana, Ana, Rosa y Ana no se considera como un comité válido

Más adelante en el estudio de las técnicas de combinatoria podrás ver que la respuesta a esta pregunta es:

 

\displaystyle \frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=210

 

Superprof

Factorial de un número

 

Es el producto de los n factores consecutivos desde 1 hasta n. El factorial de un número natural se denota por n!.

 

n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2) \cdot (n-3)\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1

 

0!=1

 

Ejemplo:

 

Calcular el factorial de 5.

 

5!=5\cdot 4\cdot 3 \cdot 2\cdot 1= 120

 

Principio fundamental de conteo

 

Si cierta tarea puede realizarse de m maneras diferentes y, para cada una de esas formas, una segunda tarea puede realizarse de n maneras distintas, entonces las dos tareas puede realizarse de m\cdot n formas distintas.

 

Ejemplos:

    • Si tengo 5 playeras y 3 pantalones diferentes ¿De cuántas maneras diferentes me puedo vestir?
      \underset{\overline{playeras}}{5}\cdot \underset{\overline{pantalones}}{3} =15

 

  • ¿Cuántos números naturales de 3 o menos cifras hay?
  • La respuesta es sencilla: Hay 1000 números, pues son todos los números enteros del 0 al 999.
    Sin embargo podemos pensarlo de la siguientes manera:
    Números de a lo más una cifra hay 10:

    0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9.

    Para contar los de hasta dos cifras (0 al 99), no hace falta escribirlos todos, basta con observar que la primera cifra puede ser cualquiera de los 10 dígitos 0,1,2,...,9, y por cada uno de estos hay 10 terminaciones distintas; por ejemplo los números que comienzan con 4 son: 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48 y 49, diez en total.

    Así, la cantidad de enteros de a lo más dos cifras es:

    \underset{\overline{\text{1ra cifra}}}{10}\cdot \underset{\overline{\text{2da cifra}}}{10} =100

    Para contar los números de a lo más 3 cifras se hace de manera similar:

    \underset{\overline{\text{1ra cifra}}}{10}\cdot \underset{\overline{\text{2da cifra}}}{10} \cdot \underset{\overline{\text{3ra cifra}}}{10} =1000

 

Técnicas para contar arreglos

 

Además del principio básico de conteo, hay otras técnicas para contar arreglos.

Superprof tiene un artículo con el listado de las herramientas principales en combinatoria:

Cada una de las mencionadas cuenta con un artículo independiente en el que se detalla su uso:

Y otros temas relacionados:

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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