Name: Resumen de probabilidad
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Teoría de probabilidades
Tipos de sucesos
Operaciones de sucesos
Axiomas de la probabilidad
Propiedades de la probabilidad
Ley de Laplace
Cálculo de probabilidades
Teorema de la probabilidad total
Teorema de Bayes

Teoría de probabilidades

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.

Suceso

Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Ejemplo:

Al tirar un dado, obtener 5 como puntuación es un suceso
Al lanzar 10 monedas, que 7 de ellas den cara es un suceso

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por $E$ (o bien por la letra griega $\Omega$ ).

Ejemplos:

Si el resultado de un experimento consiste en determinar el sexo de un recién nacido, el espacio muestral está dado por

$E=\{\text{ni\~{n}a}, \text{ni\~{n}o}\}$

Si el experimento se trata del lanzamiento de 2 monedas, una después de la otra, entonces

$E=\{(\text{cara}, \text{cara}), (\text{cara}, \text{cruz}), (\text{cruz}, \text{cara}), (\text{cruz}, \text{cruz})\}$

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Tipos de sucesos

Suceso elemental

Un suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Ejemplo:

En el lanzamiento de 3 monedas, una después de la otra, un suceso elemental es

$(\text{cruz},\text{cara},\text{cara})$

Suceso compuesto

Un suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo:

En el lanzamiento de 3 monedas, que en la primer moneda salga cara es un suceso compuesto.

$\{(\text{cara},\text{cara},\text{cara}), (\text{cara},\text{cara},\text{cruz}), (\text{cara},\text{cruz},\text{cara}), (\text{cara},\text{cruz},\text{cruz})\}$

Suceso seguro

Un suceso seguro, $E$ , está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

Ejemplo:

Que un recién nacido sea niño o niña es un suceso seguro.

Suceso imposible

Un suceso imposible, $\varnothing$ , es el que no tiene ningún elemento.

Ejemplo:

Al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

Sucesos compatibles

Dos sucesos, $A$ y $B$ , son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Ejemplo:

Del experimento de lanzar 2 monedas el suceso en el que la primer moneda cae cara y el suceso en el que la segunda moneda sea cara son compatibles, pues $\{(\text{cara},\text{cara})\}$ es un suceso elemental en común

Sucesos incompatibles

Dos sucesos, $A$ y $B$ , son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Ejemplo:

En el lanzamiento de un dado, el suceso en el que cae 5 y el suceso en el que cae 3 son sucesos incompatibles.

Sucesos independientes

Dos sucesos, $A$ y $B$ , son independientes cuando la probabilidad de que suceda $A$ no se ve afectada porque haya sucedido o no $B$ .

Ejemplo:

En el lanzamiento de 2 monedas, lo que salga en la segunda moneda, no se ve afectado por lo que haya salido en la primera.

Sucesos dependientes

Dos sucesos, $A$ y $B$ , son dependientes cuando la probabilidad de que suceda $A$ se ve afectada porque haya sucedido o no $B$ .}

Ejemplo:

En el experimento de lanzar 2 monedas, un suceso A puede ser que la suma sea igual a 6 y un suceso B que el primer dado haya sido un número menor o igual que 5. Si B no sucede, es decir, si el dado cayó 6, A es menos probable que ocurra, de hecho la probabilidad de que la suma sea 6 es nula. En cambió si B sí sucede, hay chances de sumar 6.

Suceso contrario

El suceso contrario a $A$ es un suceso que sucede cuando no se realiza $A$ . Se denota por $\overline{A}$ .

Ejemplo:

Si $A$ consiste en el suceso que en el lanzamiento de un dado obtengas 2 o 3, $\overline{A}$ es el suceso donde obtienes cualquier número que no sean estos , $\overline{A}=\{1,4,5,6\}$

Operaciones de sucesos

Unión de sucesos

La unión de sucesos, $A\cup B$ , es el suceso formado por todos los elementos de $A$ y de $B$ .

Intersección de sucesos

La intersección de sucesos, $A\cap B$ , es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de $A$ y $B$ .

Diferencia de sucesos

La diferencia de sucesos, $A-B$ , es el suceso formado por todos los elementos de $A$ que no son de $B$ .

$A-B=A\cap \overline{B}$

Sucesos contrarios

El suceso $\overline{A}=E-A$ se llama suceso contrario o complementario de $A$ .

Axiomas de la probabilidad

1 $0\leq p(A) \leq 1$ para cualquier suceso $A$

2 $p(E)=1$ donde $E$ denota el espacio muestral

3 Si $A$ y $B$ son incompatibles, entonces $p(A\cup B)=p(A)+p(B)$

Propiedades de la probabilidad

1 $p(\overline{A})=1-p(A)$

2 $p(\varnothing)=0$

3 $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

4 Si $A\subset B$ , entonces $p(A)\leq p(B)$

5 Si $A_1, A_2, ..., A_k$ son incompatibles dos a dos entonces:

$p(A_1\cup A_2 \cup ...\cup A_k)=p(A_1)+p(A_2)+...+p(A_k)$

6 Si el espacio muestral $E$ es finito y un suceso es $S = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$ entonces:

$p(S)=p(x_1)+p(x_2)+...+p(x_n)$

Ley de Laplace

$\displaystyle p(A)=\frac{\text{\# de casos favorables a A}}{\text{\# de casos posibles}}$

Cálculo de probabilidades

Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles

$A\cap B=\varnothing$

$p(A\cup B)= p(A) +p(B)$

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles

$A\cap B \not = \varnothing$

$p(A\cup B) =p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

Probabilidad condicionada

$\displaystyle p(B-A)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}$

Probabilidad de la intersección de sucesos independientes

$p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)$

Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes

$p(A\cap B) = p(A) \cdot p(B-A)$

Teorema de la probabilidad total

Si $A_1, A_2,..., A_n$ son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral $(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n= E)$ y $B$ es otro suceso, resulta que:

$p(B)=p(A_1)\cdot p(B-A_1)+p(A_2)\cdot p(B-A_2)+...+p(A_n)\cdot p(B-A_n)$

Teorema de Bayes

Si $A_1, A_2,..., A_n$ son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral $(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n= E)$ y $B$ es otro suceso, resulta que:

$\displaystyle p(A_i -B)=\frac{p(A_i)\cdot p(B-A_i)}{p(A_1)\cdot p(B-A_1)+p(A_2)\cdot p(B-A_2)+...+p(A_n)\cdot p(B-A_n)}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Alejandro Ferro
Invité

31 May.

Muy buen artículo, didáctico, conciso, muy claro.

Superprof
Administrateur

8 Jun.

¡Gracias Alejandro!

Probabilidad - Axiomas, propiedades y teoremas

Teoría de probabilidades

Suceso

Espacio muestral

Tipos de sucesos

Suceso elemental

Suceso compuesto

Suceso seguro

Suceso imposible

Sucesos compatibles

Sucesos incompatibles

Sucesos independientes

Sucesos dependientes

Suceso contrario

Operaciones de sucesos

Unión de sucesos