Teoría de probabilidades

 

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.

 

Suceso

 

Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

 

Ejemplo:
  • Al tirar un dado, obtener 5 como puntuación es un suceso
  • Al lanzar 10 monedas, que 7 de ellas den cara es un suceso

 

Espacio muestral

 

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega \Omega).

 

Ejemplos:
  • Si el resultado de un experimento consiste en determinar el sexo de un recién nacido, el espacio muestral está dado por

E=\{\text{ni\~{n}a}, \text{ni\~{n}o}\}

  • Si el experimento se trata del lanzamiento de 2 monedas, una después de la otra, entonces

E=\{(\text{cara}, \text{cara}), (\text{cara}, \text{cruz}), (\text{cruz}, \text{cara}), (\text{cruz}, \text{cruz})\}

 

Suceso elemental

 

Un suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

 

Ejemplo:
  • En el lanzamiento de 3 monedas, una después de la otra, un suceso elemental es

 (\text{cruz},\text{cara},\text{cara})
 

Suceso compuesto

 

Un suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.

 

Ejemplo:
  • En el lanzamiento de 3 monedas, que en la primer moneda salga cara es un suceso compuesto.

 \{(\text{cara},\text{cara},\text{cara}), (\text{cara},\text{cara},\text{cruz}), (\text{cara},\text{cruz},\text{cara}), (\text{cara},\text{cruz},\text{cruz})\}
 

Suceso seguro

 

Un suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

 

Ejemplo:
  • Que un recién nacido sea niño o niña es un suceso seguro.

 

Suceso imposible

 

Un suceso imposible, \varnothing, es el que no tiene ningún elemento.

 

Ejemplo:
  • Al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

 

Sucesos compatibles

 

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

 

Ejemplo:
  • Del experimento de lanzar 2 monedas el suceso en el que la primer moneda cae cara y el suceso en el que la segunda moneda sea cara son compatibles, pues \{(\text{cara},\text{cara})\}  es un suceso elemental en común

 

Sucesos incompatibles

 

Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

 

Ejemplo:
  • En el lanzamiento de un dado, el suceso en el que cae 5 y el suceso en el que cae 3 son sucesos incompatibles.

 

Sucesos independientes

 

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

 

Ejemplo:
  • En el lanzamiento de 2 monedas, lo que salga en la segunda moneda, no se ve afectado por lo que haya salido en la primera.

 

Sucesos dependientes

 

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.}

 

Ejemplo:
  • En el experimento de lanzar 2 monedas, un suceso A puede ser que la suma sea igual a 6 y un suceso B que el primer dado haya sido un número menor o igual que 5. Si B no sucede, es decir, si el dado cayó 6, A es menos probable que ocurra, de hecho la probabilidad de que la suma sea 6 es nula. En cambió si B sí sucede, hay chances de sumar 6.

 

Suceso contrario

 

El suceso contrario a A es un suceso que sucede cuando no se realiza A. Se denota por \overline{A}.

 

Ejemplo:
  • Si A consiste en el suceso que en el lanzamiento de un dado obtengas 2 o 3, \overline{A} es el suceso donde obtienes cualquier número que no sean estos , \overline{A}=\{1,4,5,6\}

 

Operaciones de sucesos

 

Unión de sucesos

 

La unión de sucesos, A\cup B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.

 

Intersección de sucesos

 

La intersección de sucesos, A\cap B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.

 

Diferencia de sucesos

 

La diferencia de sucesos, A-B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.

A-B=A\cap \overline{B}

 

Sucesos contrarios

 

El suceso \overline{A}=E-A se llama suceso contrario o complementario de A.

 

Axiomas de la probabilidad

 

1 0\leq p(A) \leq 1 para cualquier suceso A

2 p(E)=1 donde E denota el espacio muestral

3 Si A y B son incompatibles, entonces p(A\cup B)=p(A)+p(B)

 

Propiedades de la probabilidad

 

1 p(\overline{A})=1-p(A)

2 p(\varnothing)=0

3 p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)

4 Si A\subset B, entonces p(A)\leq p(B)

5 Si A_1, A_2, ..., A_k son incompatibles dos a dos entonces:

  p(A_1\cup A_2 \cup ...\cup A_k)=p(A_1)+p(A_2)+...+p(A_k)

6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = \{x_1, x_2, ..., x_n\} entonces:

 p(S)=p(x_1)+p(x_2)+...+p(x_n)

 

Ley de Laplace

 

  \displaystyle p(A)=\frac{\text{\# de casos favorables a A}}{\text{\# de casos posibles}}

 

Cálculo de probabilidades

 

Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles

 

A\cap B=\varnothing

 

p(A\cup B)= p(A) +p(B)

 

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles

 

A\cap B \not = \varnothing

 

p(A\cup B) =p(A)+p(B)-p(A\cap B)

 

Probabilidad condicionada

 

 \displaystyle p(B-A)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}

 

Probabilidad de la intersección de sucesos independientes

 

p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)

 

Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes

 

p(A\cap  B) = p(A) \cdot p(B-A)

 

Teorema de la probabilidad total

 

Si A_1, A_2,..., A_n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral (A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n= E) y B es otro suceso, resulta que:

 

p(B)=p(A_1)\cdot p(B-A_1)+p(A_2)\cdot p(B-A_2)+...+p(A_n)\cdot p(B-A_n)

 

Teorema de Bayes

 

Si A_1, A_2,..., A_n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral (A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n= E) y B es otro suceso, resulta que:

 

 \displaystyle p(A_i -B)=\frac{p(A_i)\cdot p(B-A_i)}{p(A_1)\cdot p(B-A_1)+p(A_2)\cdot p(B-A_2)+...+p(A_n)\cdot p(B-A_n)}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗