Teorema de la probabilidad total

Supóngase que los sucesos A_1, A_2, ..., A_n forman una partición sobre el espacio muestral E, es decir, los sucesos A_j son incompatibles dos a dos y su unión forman al espacio muestral E, pues A_1∪A_2∪...∪A_n=E.  Además,  P(A_j)>0 para j=1,...,n. Entonces, para cualquier suceso B de S:

 

{P(B)=P(A_1)\cdot P(B|A_1) + P(A_2)\cdot P(B|A_2)+ \cdot \cdot \cdot + P(A_n)\cdot P(B|A_n)}

 

Ejemplo del teorema de la probabilidad total

 

1Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

Solución:

Aplicación del teorema de probabilidad total

 

Denotemos los siguientes eventos:

 A_1:Sacar bombilla de caja 1.

A_2:Sacar bombilla de caja 2.

A_3:Sacar bombilla de caja 3.

B: Bombilla defectuosa.

 

Considerando el teorema de probabilidad total, tenemos que:

 

{P(B)=P(A_1)\cdot P(B|A_1) + P(A_2)\cdot P(B|A_2)+ P(A_3)\cdot P(B|A_3)}

 

Así,

 

\displaystyle {P(\mbox{Bombilla defectuosa})=\frac{1}{3}\cdot \frac{4}{10} + \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{8} = \frac{113}{360}}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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