1{V_{10}^{3}=}

Primero, recordemos que las variaciones de m elementos tomados de n en n están dadas por la fórmula

     \[ V_{m}^{n} = \frac{m!}{(m - n)!} = m(m-1)(m-2)(m-3)\dots(m-n+1) \]

entonces

    \[V_{10}^{3}=(10)(10-1)(10-3+1)=(10)(9)(8)=720\]

2{V_{15}^{4}=}

De igual manera que el ejercicio anterior, tenemos

    \[V_{15}^{4}=(15)(15-1)(15-2)(15-4+1)=(15)(14)(13)(12)=32 760 \]

 

3{VR_{12}^{4}=}

Recordemos que las variaciones con repetición de m elementos tomando n están dadas por

    \[ VR_{m}^{n} = m^n \]

en donde m, n \geq 0 . Entonces

    \[ VR_{12}^{4}=(12)^{4}=20 736 \]

4{VR_{9}^{3}=}

Similar al ejercicio anterior, utilizando la fórmula para las variaciones con repetición obtenemos que

    \[ VR_{9}^{3}=(9)^{3}=729\]

 

5{P_{6}=}

Recordemos que la fórmula de las permutaciones es

     \[ \textup{P}_{n}=n! \]

entonces

    \[ P_{6}=6!= 720\]

 

6{PC_{11}=}

En este caso tenemos una permutación circular, recordemos que su fórmula es

     \[ \textup{PC}_{n}=\textup{P}_{n-1}=(n-1)! \]

entonces

    \[ PC_{11}=P_{10}= 10!=3628800\]

 

7{PR_{5}^{3,2}=}

En este caso tenemos permutación con repetición, en las permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces,... la fórmula viene dada de la siguiente manera

     \[\textup{PR}_{n}^{a,b,c,\dots}=\cfrac{\textup{P}_{n}}{a!\cdot b!\cdot c!\cdot \dots}\]

entonces

    \[PR_{5}^{3,2}=\displaystyle\frac{5!}{3! \cdot 2!}=10\]

8{PR_{7}^{4,3}=}

De nuevo tenemos permutación con repetición, entonces

    \[ PR_{7}^{4,3}=\displaystyle\frac{7!}{4! \cdot 3!}=35\]

 

9{C_{8}^{2}=}

Nuevamente recordemos que la fórmula para las combinaciones viene dada de la siguiente manera

     \[ \textup{C}_{m}^{n}=\cfrac{\textup{V}^{n}_{m}}{P_{n}} \]

o tambien podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

     \[ \textup{C}_{m}^{n}=\cfrac{m!}{n!(m-n)!}\]

entonces

    \[ C_{8}^{2}=\left(\begin{array}{c} 8 \\ 2 \end{array} \right)=\displaystyle\frac{8!}{2! \cdot (8-2)!}=28\]

 

10{C_{24}^{19}=}

Utilizando la fórmula de combinaciones

    \[ C_{24}^{19}=\left(\begin{array}{c} 24 \\ 19 \end{array} \right)=\displaystyle\frac{24!}{19! \cdot (24-19)!}=42504\]

 

11{CR_{16}^{5}=}

Para las combinaciones con repetición de m elementos se tiene

    \[ \textup{CR}=\begin{pmatrix} m+n-1\\ n \end{pmatrix} =\cfrac{(m+n-1)!}{n!(m-1)!} \]

por tanto

    \[ CR_{16}^{5}=\left(\begin{array}{c} 20 \\ 5 \end{array} \right)=\displaystyle\frac{20!}{5! \cdot (20-5)!}=15504\]

 

12{CR_{11}^{7}=}

Nuevamente utilizamos la fórmula de combinación con repetición, entonces

    \[ CR_{11}^{7}=\left(\begin{array}{c} 17 \\ 7 \end{array} \right)=\displaystyle\frac{17!}{7! \cdot (17-7)!}=19448\]

 

13{V_{9}^{5} \cdot PC_{8}=}

En este caso tenemos la multiplicación entre una variación ordinaria y una permutación circular, utilizamos las correspondientes formulas y multiplicamos, obteniendo

    \[ V_{9}^{5} \cdot PC_{8}=(9)(8)(7)(6)(5)\cdot 7!=76204800\]

 

14{C_{9}^{2} \cdot CR_{5}^{3}=}

Tenemos la multiplicación de una combinación y una combinación con repetición, utilizamos la correspondiente fórmula en cada caso y multiplicamos

    \[C_{9}^{2} \cdot CR_{5}^{3}=\left(\begin{array}{c} 9 \\ 2 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c} 7 \\ 3 \end{array} \right)=\displaystyle\frac{9!}{2! \cdot (9-2)!}\cdot \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!}=1260\]

 

15{VR_{6}^{3} \cdot PR_{8}^{4,2,2}=}

Multiplicación entre variación con repetición y permutación con repetición

    \[VR_{6}^{3} \cdot PR_{8}^{4,2,2}=(6)^{3} \cdot \displaystyle\frac{8!}{4! \cdot 2! \cdot 2!}=90720\]

 

16{P_{5} \cdot V_{7}^{2}=}

Finalmente nos encontramos con la multiplicación entre una permutación y una variación, utilizamos la correspondiente fórmula y multiplicamos

    \[P_{5} \cdot V_{7}^{2}=5! \cdot (7)(6)=5040\]

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗