Ejercicios propuestos

1

Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

 

1Dos caras

2Dos cruces

3Una cara y una cruz

 

Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

 

1Dos caras.

 

Diagrama de arbol con dos resultados por rama y sus probabilidades

 

Multiplicamos la probabilidad que tiene el suceso de que caiga una cara en una moneda (1/2), por la probabilidad del mismo suceso en la otra moneda (1/2), debido a que son sucesos independientes

 

probabilidad cara y cara

 

2Dos cruces.

 

El suceso de que caiga una cruz en una moneda y también cruz en la otra, son sucesos independientes y cada uno tiene una probabilidad de (1/2) como lo observamos en el esquema. Debido a esto, se multiplican ambas probabilidades

 

probabilidad cruz y cruz

 

3Una cara y una cruz.

 

La probabilidad de sacar una cara y una cruz, se refiere a las siguientes dos posibilidades:  cara y cruz, o cruz y cara. Significa que primero debemos sacar la probabilidad de cada opción (1/2)(1/2) y después sumarlas, para tener el resultado, observa:

 

Probabiidad cara y crux o cruz y cara

 

2

Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

 

Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

En el conjunto A ponemos a las fichas donde el total de puntos de cada una es mayor a nueve, y en el B a las fichas donde la cantidad de puntos de cada una es múltiplo de cuatro:

 

suma mayor a nueve

 

suma igual a multiplos de cuatro

 

en este caso observamos que la ficha (6,6) pertenece a ambos conjuntos, o en otras palabras interseccion vacia. Esto significa que ahora debemos emplear la fórmula probabilidad de la union para conocer la probabilidad deseada.

Ahora, tomando en cuenta que existen 28 fichas de dominó, los valores quedan de la siguiente forma:

 

calculo de la probabilidad de la union

 

3

Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:

 

1La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento

2La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento

 

Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:

 

1La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento

 

Ya que el dado está trucado, la probabilidad de cada cara es proporcional al número de la cara correspondiente.

Por ejemplo  P(x=6) es proporcional a 6, y podemos pensar que el factor de proporcionalidad es p, así que P(x=6)=6p   y así con las demás caras.

 

Si por otro lado sumamos las probabilidades de cada cara tenemos lo siguiente

 

probabilidad de todos los eventos es el total uno

 

y entonces

 

suma de las proporciones es uno

 

llevándonos a que p=\frac{1}{21}   por lo tanto:

 

probabilidad de que salga 6

 

2La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento

 

En este caso sólo es necesario sumar las probabilidades de que conseguir todos los impares posibles.

 

probabilidad de que sea impar

4

Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

 

1La probabilidad de que salga el 7

2La probabilidad de que el número obtenido sea par

3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres

 

Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

 

1La probabilidad de que salga el 7

 

Agrupamos a todas las posibilidades donde la suma sea siete

 

 

nos damos cuenta que son 6 formas posibles, y como hay 36 formas posibles distintas en las que pueden caer dos dados, entonces:

 

probabilidad de la suma igual a siete

 

2La probabilidad de que el número obtenido sea par

 

Las parejas para que el número obtenido sea par son

 

(1,1)

(1,3), (2,2),(3,1)

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)

(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)

(4,6),(5,5),(6,4)

(6,6)

 

que son 18, significa que la probabilidad de que el resultado obtenido sea par es

 

probabilidad de que a suma sea par

 

3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres

 

Nos damos cuenta que cada una de estas parejas suman a algún múltiplo de tres

 

 

y son 12 de ellas, entonces

 

probabilidad de que la suma sea multiplo de tres

 

aquí en representa a los múltiplos de 3.

5

Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:

 

1Salga 6 en todos

2Los puntos obtenidos sumen 7

 

Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:

 

1Salga 6 en todos

 

Solamente existe una forma de que salga seis en todos (6,6,6), y si consideramos que hay 6^{3}=216 formas distintas en que pueden caer tres dados, entonces

 

probabilidad de tener 6 en cada resultado

 

2Los puntos obtenidos sumen 7

 

Aquí se encuentran las formas en que pueden caer los dados, donde la suma de los puntos es siete:

 

triadas donde la suma es siete

 

y con esta lista, nos damos cuenta de que existen 15 distintas formas para que la suma sea 7, entonces la probabilidad buscada queda:

 

triadas donde la suma es siete probabilidad

6

Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

 

1Un número par

2Un múltiplo de tres

3Mayor que cuatro

 

Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

 

1Un número par

 

Para que sea par, se tienen las siguientes opciones: 2,4,6.

Significa que hay 3 formas de las 6 posibles, de esta manera la probabilidad queda

 

probabilidad del dado sea par

 

2Un múltiplo de tres

 

En esta caso los múltiplos de tres son: 3 y 6. Por lo tanto hay 2 formas para que sea múltiplo de 3, y 6 formas en que puede caer un dado

 

probabilidad del dado multiplo de tres

 

3Mayor que cuatro

 

En este caso los mayores que cuatro son 5 y 6, llevándonos a que la probabilidad es

 

probabilidad del dado mayor que cuatro

7

Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando:

 

1La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda

2La primera bola no se devuelve

 

Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando:

 

1La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda

 

La primer bola puede ser cualquiera de las cuatro B,R,V,N y al momento de registrar la que salió y regresarla a la urna, puede salir nuevamente cualquiera de las cuatro, significa que por ejemplo si al principio salió B, entonces con la segunda extracción se puede tener BB,BR,BV o BN, y así sucesivamente con las demás opciones, quedando nuestro espacio muestral como

 

E = {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN}

 

2La primera bola no se devuelve

 

Como la bola que se saca al principio no se devuelve, entonces en la segunda extracción debe salir alguna de las cuatro restantes, significa que ya no es posible que se repita la bola, quedando el espacio muestral como

 

E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV}

 

8

Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una al azar de que:

 

1Sea roja

2Sea verde

3Sea amarilla

4No sea roja

5No sea amarilla

 

Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una al azar de que:

 

1Sea roja

 

De 20 bolas en total, hay 8 rojas. Entonces la probabilidad queda

 

probabilidad de bola roja

 

2Sea verde

 

Como hay 7 bolas verdes la probabilidad queda

 

probabilidad de bola verde

 

3Sea amarilla

 

De las 20 bolas, hay 5 amarillas, entonces

 

probabilidad de bola amarilla

 

4No sea roja

 

Ya que debemos calcular la probabilidad de que NO sea roja, entonces podemos restarle al total (1), la probabilidad de que SI sea roja, quedando la probabilidad buscada asi

 

probabilidad de que no sea roja

 

5No sea amarilla

 

Aquí ocupamos el mismo razonamiento que en el inciso anterior

 

probabilidad de que no sea amarilla

9

Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de:

 

1Extraer las dos bolas con reemplazamiento

2Sin reemplazamiento

 

Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de:

 

1Extraer las dos bolas con reemplazamiento

 

Primero describamos al espacio muestra. Al haber dos tipos de bolas, rojas (R) o blancas (B), en nuestra primera extracción podemos tener a cualquiera de las dos bolas, y como la cantidad de cada una de ellas es mayor que uno, entonces (con reemplazo o sin reemplazo), en la segunda extracción también se puede obtener cualquiera de las dos, quedando el espacio muestra de la siguiente forma

 

espacio muestra rb

 

Ahora, al extraer una bola y posteriormente regresarla a la urna (reemplazarla), las condiciones de la primera y la segunda extracción son exactamente iguales, significa que son sucesos independientes, aquí podemos aplicar la siguiente fórmula que funciona para sucesos independientes

 

probabilidad de eventos independientes

 

Primer extracción R, segunda R

 

probabilidad de eventos independientes para R y R

 

Primer extracción R, segunda B

 

probabilidad de eventos independientes para R y B

 

Primer extracción B, segunda R

 

probabilidad de eventos independientes para B y R

 

Primer extracción B, segunda B

 

probabilidad de eventos independientes para B y B

 

2Sin reemplazamiento

 

En este caso como no hay reemplazo, la extracción de la primer bola modifica las condiciones de la segunda extracción, por ejemplo si en la primer extracción se obtuvo bola Roja, significa que en la segunda extracción hay una bola Roja menos en la urna, es decir 2 Rojas, y además una bola menos en total, es decir 9, esto significa que son sucesos dependientes.

 

Veamos todas las opciones

 

Primer extracción R, segunda R

 

probabilidad de eventos dependientes para R yR

 

Primer extracción R, segunda B

 

probabilidad de eventos dependientes para R y B

 

Primer extracción B, segunda R

 

probabilidad de eventos dependientes para B y R

 

Primer extracción B, segunda B

 

probabilidad de eventos dependientes para B yB

10

Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras

 

1¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca?

2¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

 

Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras

 

1¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca?

2¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

 

Aquí se trata de sucesos donde no hay elementos en común, así que de la fórmula

 

Probabilidad de la suma de dos eventos

 

solamente nos quedamos con

 

probabilidad de la suma de dos eventos independientes

 

de esta manera, la probabilidad de que la bola sea roja o blanca es

 

probabilidad de la suma R o B

 

y la probabilidad de que la bola NO sea blanca es

 

probabilidad de no B

11

En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno que falta:

 

1Sea hombre

2Sea mujer morena

3Sea hombre o mujer

 

En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno que falta:

 

1Sea hombre

 

En la siguiente tabla tenemos la información del problema

 

tabla de distribucion de informacion

 

y de aquí podemos ver que hay 15 hombres y 45 alumnos, entonces la probabilidad de que sea hombre es

 

probabiliad de hombre

 

2Sea mujer morena

 

Hay 20 mujeres morenas, entonces

 

probabilidad de mujer y morena

 

3Sea hombre o mujer

 

Aquí la probabilidad es la total

 

probabilidad de hombre o mujer

12

En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche:

 

1Si se saca una papeleta

2Si se extraen dos papeletas

3Si se extraen tres papeletas

 

En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche:

 

1Si se saca una papeleta

 

Como hay 8 papeletas con coche y 20 papeletas en total, la probabilidad de extraer una papeleta con coche es

 

probabilidad de un coche

 

2Si se extraen dos papeletas

 

Al extraer dos papeletas, puede salir BB, CB, BC o CC. Podríamos sacar la probabilidad de CB, BC, CC y después sumarlas, sin embargo es más práctico calcular la probabilidad de BB y el valor obtenido restarlo al 1

 

probabilidad de dos coches

 

3Si se extraen tres papeletas

 

Aquí podemos basarnos en la misma deducción del inciso anterior

 

probabilidad de al menos un coche en tres papeletas

 

entonces

 

probabilidad de al menos un coche en tres papeletas

 

13

Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

 

Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

Son sucesos compatibles, es decir que la probabilidad de eventos simultáneos es distinta de cero. Calculamos entonces la probabilidad de la siguiente manera

 

probabilidad de al menos un coche

14

Dos hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

 

Dos hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

 

La probabilidad de que el primer hermano mate a una pieza es

 

probabilidad de un hermano

 

la probabilidad de que mate el segundo hermano a una pieza es

 

probabilidad de un hermano

 

por otro lado, la probabilidad de que ambos maten al mismo tiempo cada uno a una pieza es

 

probabilidad de dos hermanos

 

y entonces, si al mismo tiempo disparan a la misma pieza y el hermano A o el hermano B la maten, es

 

probabilidad de la union

15

Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

 

Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

 

tabla de hombre mujer y color de ojos

 

Aquí debemos observar que hay tanto hombres 10 como de ojos castaños 15, además de hombres con ojos castaños 5, así que la probabilidad de que sea hombre o tenga ojos castaños se calcula con la fórmula

 

probabilidad de la union de dos eventos

 

hagamos el cálculo

 

probabilidad de la union aplicada

16

La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:

 

1De que ambos vivan 20 años.

2De que el hombre viva 20 años y su mujer no.

3De que ambos mueran antes de los 20 años.

 

La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:

 

1De que ambos vivan 20 años

 

Lo que ocurra con uno, no afecta lo que ocurra con el otro, debido a eso son suceso independientes, así que podemos calcular la probabilidad de la siguiente manera

 

probabilidad de la interseccion aplicada

 

2De que el hombre viva 20 años y su mujer no

 

Aquí también son sucesos independientes entonces los podemos trabajar como tal, solamente agregamos la fórmula que calcula la probabilidad de que NO ocurra algo

 

probabilidad del complemento de un conjunto

 

entonces queda

 

probabilidad de la interseccion

 

3De que ambos mueran antes de los 20 años

 

rpobabilidad de la interseccion de complementos

.

17

Calcular la probabilidad de sacar exactamente dos cruces al tirar una moneda cuatro veces.

 

Calcular la probabilidad de sacar exactamente dos cruces al tirar una moneda cuatro veces

 

Los resultados posibles por lanzamiento son cara (C) o cruz (X).

 

Primero podemos sacar las formas en que pueden salir dos cruces (X) en cuatro lanzamientos.

De cuatro resultados posibles n=4, veamos de cuántas formas r=2 de ellos son iguales, es decir calculemos el total de grupos de dos elementos (resultados iguales) que se pueden extraer de un total de cuatro elementos (resultados posibles).

 

combinacion 4 en 2

 

como vemos son 6. Con la finalidad de ser más claros aquí mostramos las 6 formas

 

XXCC, XCXC, XCCX, CXXC, CXCX, CCXX

 

ahora bien, el total de formas que pueden salir las monedas al lanzarlas cuatro veces, pensando en que son dos opciones por cada una es dos a la cuatro.

 

Por lo tanto, la probabilidad de sacar dos cruces exactamente al lanzar una moneda cuatro veces es

 

probabilidad de dos cruces

18

Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas fijadas de antemano se sienten juntas.

 

Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas fijadas de antemano se sienten juntas

 

Para conocer todas las formas que se tienen de colocar a 10 personas en 10 lugares, usamos la permutación

 

permutacion de 10 en 10

 

y ahora, para saber el total de formas donde 2 seleccionadas previamente se sienten juntas, podemos pensar en que al sentarse juntas ocupan un lugar de nueve posibles, de esta manera, las formas en que nueve personas se pueden sentar ocupando 9 lugares es

 

  permutacion de 9 en 9

 

y como cuando se sientan juntas puede ser de dos maneras posibles: ab ó ba, entonces el total de formas en que dos personas seleccionadas previamente se pueden sentar juntas en 10 lugares posibles es 2\cdot 9!, llevándonos a que la probabilidad de que esto ocurra es

 

probabilidad de sentarse juntos

19

Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer:

 

14 ases

24 ases y un rey

33 cincos y 2 sotas

4Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden

53 de un palo cualquiera y 2 de otro

6Al menos un as

 

Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer:

 

14 ases

 

Primero, el total de formas distintas que se pueden generar de 52 cartas, al agruparlas de 5 en 5 son

 

combinacion de 52 en 5

 

Ahora, de 4 ases formamos a un grupo (sin importar el orden) de 4, quedando una forma  combinacion de 4 en 4 , ocupando así 4 de las 5 posiciones. Y en la quinta posición podemos colocar a cualquiera de las 48 cartas restantes  combinacion de 48 en 1. Significa que la cantidad de formas de extraer a 5 cartas donde 4 de ellas son ases, es  combinacion 4 ases, por lo tanto la probabilidad queda

 

probabilidad de 4 ases

 

24 ases y un rey

 

Para 4 ases solamente hay una posiblidad y para que se tenga rey hay cuatro posibilidades. En otras palabras, multiplicamos las posibilidades de 4 ases por las del rey  C_4^4\cdot C_4^1=1\cdot 4=4

 

probabilidad 4 ases y un rey

 

33 cincos y 2 sotas

 

Hay 4 cincos y de ahí queremos a 3 de ellos, por otro lado hay 4 sotas y de ahí queremos a 2, entonces

 

probabilidad 3 cincos y dos sotas

 

 

4Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden

 

Por cada carta hay 4 posibilidades y como son 5 cartas tenemos 4^{5} formas de generar escalera, entonces la probabilidad queda

 

probabilidad escalera

 

53 de un palo cualquiera y 2 de otro

 

Para que tengamos 3 de un palo (13 cartas) entonces se calcula C_{13}^3 y como son 4 palos entonces 4\cdot C_{13}^3 representa a el total de formas en que se pueden tener 3 cartas de un palo. El mismo razonamiento para las otras dos cartas, solamente consideremos que ahora sólo contamos con 3 palos, entonces

 

probabilidad 3 de un palo y 2 de otro

 

6Al menos un as

 

Primero calculemos la probabilidad de que NO salga as, significa que quitaremos a todos los ases

 

probabilidad de ningun as

 

Y entonces la probabilidad de que salga al menos un as, es el resto

 

probabilidad de al menos un as

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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