Marta

24 febrero 2020

Temas

Puestos en club de fútbol

 

¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

 

 

¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

 

No entran todos los elementos

 

Sí importa el orden

 

No se repiten los elementos

 

\displaystyle V_{12}^{3} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320

 

Combinatoria de 5 letras

 

Con las letras de la palabra libro.

 

¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

 

 

Con las letras de la palabra libro.

 

¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

 

La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.

 

Sí entran todos los elementos

 

Sí importa el orden

 

No se repiten los elementos

 

\displaystyle 2 \cdot P_4 = 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 48

 

Combinatorias con los colores del arco iris

 

¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

 

 

¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

 

No entran todos los elementos

 

No importa el orden. Consideraremos mezclas iguales aquellas que contengan los mismos colores pero distinto orden.

 

No se repiten los elementos

 

    \begin{align*} C_{7}^{3} &= \frac{7!}{3!(7-3)!}\\ &\\ &= \frac{7!}{3! \cdot 4!}\\ &\\ &= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\ &\\ &= 35 \end{align*}

 

 

Combinatoria: 5 cifras con restricción

 

¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares \qquad \{ 1, 3, 5, 7, 9 \} \qquad?

 

¿Cuántos de ellos son mayores de \qquad 70000 \qquad?

 

 

¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares \qquad \{1, 3, 5, 7, 9\} \qquad?

 

¿Cuántos de ellos son mayores de \qquad 70000\qquad?

 

Sí entran todos los elementos \qquad \{1, 3, 5, 7, 9\} \qquad

 

Sí importa el orden

 

No se repiten los elementos, ya que especificamos que las cifras deben de ser distintas.

 

\displaystyle P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

 

Si es impar, sólo puede empezar por \qquad 7 \qquad o \qquad 9 \qquad. Entonces, si restringimos la primer cifra a estas dos posibilidades únicamente, tenemos

 

\displaystyle 2 \cdot P_4! = 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 48

 

 

Liguilla de 4 equipos

 

¿Cuántos partidos distintos se pueden realizar dados cuatro equipos de futbol?

 

 

¿Cuántos partidos distintos se pueden realizar dados cuatro equipos de futbol?

 

No entran todos los elementos (sólo se toman dos equipos)

 

No importa el orden (Es lo mismo A vs B que B vs A).

 

No se repiten los elementos

 

    \begin{align*} C_{4}^{2} &= \frac{4!}{2!(4-2)!}\\ &\\ &= \frac{4!}{2! \cdot 2!}\\ &\\ &= \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1}\\ &\\ &= 6 \end{align*}

 

 

Número de saludos en una reunión

 

A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos.

 

¿Cuántos saludos se han intercambiado?

 

 

A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos.

 

¿Cuántos saludos se han intercambiado?

 

No entran todos los elementos

 

No importa el orden

 

No se repiten los elementos

 

    \begin{align*} C_{10}^{2} &= \frac{10!}{2!(10-2)!}\\ &\\ &= \frac{10!}{2! \cdot 8!}\\ &\\ &= \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1}\\ &\\ &= 45 \end{align*}

 

 

Elementos de cinco cifras usando solo tres números.

 

Con las cifras 1, 2 y 3.

 

¿Cuántos números de cinco cifras pueden formarse?

 

¿Cuántos son pares?

 

 

Con las cifras 1, 2 y 3.

 

¿Cuántos números de cinco cifras pueden formarse?

 

¿Cuántos son pares?

 

Sí entran todos los elementos: 3 < 5.

 

Sí importa el orden

 

Sí se repiten los elementos

 

\displaystyle VR_{3}^{5} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5 = 243.

 

Dados los dígitos 1, 2 y 3, un número solamente puede ser par si terminar con 2. Así, la cantidad de números pares está dada por

 

\displaystyle 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 1 = 3^4 = 81

 

 

Como ganar la lotería

 

¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

 

 

¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

 

No entran todos los elementos

 

No importa el orden

 

No se repiten los elementos

 

    \begin{align*} C_{49}^{6} &= \frac{49!}{6!(49-6)!}\\ &\\ &= \frac{49!}{6! \cdot 43!}\\ &\\ &= 13983816 \end{align*}

 

 

Fútbol: Cuadro deportivo

 

¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta de la portería mientras que los otros 10 pueden jugar en cualquier otra posición que no sea portero?

 

 

¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta de la portería mientras que los otros 10 pueden jugar en cualquier otra posición que no sea portero?

 

Notemos que disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.

 

Sí entran todos los elementos.

 

Sí importa el orden

 

No se repiten los elementos.

 

\displaystyle P_10 = 10! = 3628800

 

 

Combinatoria de pulsaciones en código Morse

 

Con el punto y raya del sistema Morse,

 

¿Cuántas señales distintas se pueden enviar, usando como máximo cuatro pulsaciones?

 

 

Con el punto y raya del sistema Morse,

 

¿Cuántas señales distintas se pueden enviar, usando como máximo cuatro pulsaciones?

 

Dado que tomamos como máximo cuatro pulsaciones, debemos considerar y sumar una, dos, tres y cuatro pulsaciones. Entonces:

 

No entran todos los elementos en un caso y sí entran en lo otros

 

Sí importa el orden

 

Sí se repiten los elementos

 

    \begin{align*} V_{2}^{1} + V_{2}^{2} + V_{2}^{3} + V_{2}^{4} &= 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4\\ &= 2 + 4 + 8 + 16\\ &= 30 \end{align*}

 

 

Ejercicio sobre cambio de asientos con restricción

 

Una mesa presidencial está formada por ocho persona.

 

¿De cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

 

Nota: Supongamos que, si todos están sentados, luego deciden levantarse y sentarse en la silla de su lado derecho (desplazarse un lugar), entonces esta es una configuración o 'forma' diferente a la anterior.

 

Una mesa presidencial está formada por ocho personas.

 

¿De cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

 

Nota: Supongamos que, si todos están sentados, luego deciden levantarse y sentarse en la silla de su lado derecho (desplazarse un lugar), entonces esta es una configuración o 'forma' diferente a la anterior.

 

Se forman dos grupos:

 

El primero de dos personas. Ya sea PS o SP (\text{Presidente} = P, \text{Secretario} = S).

 

El segundo sería considerado como un grupo de 7 personas. Este grupo está conformado por las 6 personas restante y el otro grupo considerado arriba.

 

Basta pensar en el grupo formado por el presidente y el secretario como una única persona (pues siempre van juntos).

 

En los dos se cumple que:

 

Sí entran todos los elementos

 

Sí importa el orden

 

No se repiten los elementos

 

No es necesario fijar una posición, pues desplazar a todos los individuos un lugar produce una permutación distinta

 

\displaystyle P_2 \cdot P_7 = 2! \cdot 7! = 10080

 

 

Número de triángulos en un pentágono

 

¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se pueden formar con sus vértices?

 

 

¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?

Son C_5^2, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.

No entran todos los elementos

 

No importa el orden

 

No se repiten los elementos

 e tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.

 

    \begin{align*} C_5^2 - 5 &= \frac{5!}{2! \cdot 3!} - 5\\ &= 10 - 5\\ &= 5 \end{align*}

 

La cantidad de triángulos son la cantidad de tres puntos que podemos tomar de los cinco que conforman el pentágono, en donde

 

No entran todos los elementos

 

No importa el orden

 

No se repiten los elementos

 

    \begin{align*} C_5^3 &= \frac{5!}{3! \cdot 2!} \\ &= 10 \\ \end{align*}

 

 

Ejercicios de combinatoria con restricciones

 

Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de dos hombres y tres mujeres.

 

De cuántas formas puede formarse, si:

 

1 Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

 

2 Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

 

3 Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

 

 

Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de dos hombres y tres mujeres.

 

De cuántas formas puede formarse, si:

 

1 Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

 

\displaystyle C_{5}^{2} \cdot C_{7}^{3}= 10 \cdot 35 = 350

 

2 Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

 

\displaystyle C_{5}^{2} \cdot C_{6}^{2} = 10 \cdot 15 = 150

 

3 Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

 

\displaystyle C_{3}^{2} \cdot C_{7}^{3} = 3 \cdot 35 = 105

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗