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Ley de Laplace

Esta ley establece la probabilidad de que suceda un suceso o que ganes en un juego de azar.

Si lanzamos un dado, debe considerarse que hay igual posibilidad que salga cualquiera de las caras numeradas del 1 al 6, entonces la probabilidad de que salga cualquier número será \frac{1}{6}.

Si ahora queremos saber cual es la probabilidad de que salga un número par el resultado seria \frac{3}{6}=\frac{1}{2}, debido a que \left \{ 2,4,6 \right \} son los resultados pares.

En general la probabilidad de que un suceso es la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles y esa es la ley de Laplace.

P\left ( x \right )=\frac{\textbf{Número de casos favorables a A}}{\textbf{Número de casos posibles}}

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Vamos

Sucesos incompatibles

Son dos sucesos que no pueden presentarse al mismo tiempo.

Ejemplo:

Se realiza una encuesta a alumnos universitarios para ver  cuántos fuman y no fuman, entonces A es el conjunto de los fumadores y B de los no fumadores por lo tanto:

A\cap B=\varnothing

Porque una persona puede ser fumador y no fumador a la vez.

Entonces si escojo un alumno al azar quiero saber cuál es la probabilidad de que fume o no fume y uso la formula:

p(A\cup B)=p(A)+p(B)

 

Sucesos compatibles

Son dos sucesos que pueden presentarse al mismo tiempo.

Ejemplo:

En una universidad hay alumnos que estudian inglés, francés o los dos idiomas. Si A son los que estudian inglés y B los que estudian francés, entonces A\cap B son los que estudian inglés y francés y por lo tanto:

A\cap B \neq \varnothing

Ahora si escojo un alumno al azar y quiero saber la probabilidad de que estudie ingles o francés uso la formula:
p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)

 

Probabilidad condicionada

Es cuando la probabilidad un suceso B se puede ver afectado por otro suceso A.

Ejemplo:

Imagina que juegas con otra persona a lanzar una moneda tres veces, tu ganas si cae cara y pierdes si cae lo contrario. Para triunfar debes ganar al menos dos de tres volados.

Si represento con G un volado ganado y conP uno perdido, entonces los resultados serían \left \{ GGG,GGP,GPG,GPP,PGG,PGP,PPG,PPP \right \} .

Para ganar el juego, debe ocurrir  \left \{ GGG,GGP,GPG,PGG \right \} , por lo tanto la probabilidad de ganar es \frac{4}{8}= \frac{1}{2}.

Supongamos que se pierde el primer volado, de manera que que quedan dos por jugar. ¿Cuál es la probabilidad de ganar?

Usaremos la formula:

P(B/A)=\frac{P(A\cap B))}{P(A)}

 

Llamemos B al suceso de ganar y A al suceso de perder el primer volado cuyos resultados serían \left \{ PGG,PGP,PPG,PPP \right \}, entonces A\cap B sería el suceso de ganar y perder el primer volado cuyo resultado sería \left \{ PGG \right \},  A/B es el suceso de ganar si ya perdiste el primer volado.

Con base en los resultados encontrados anteriormente P(A\cap B)=\frac{1}{8} , P(A)=\frac{4}{8} entonces:

P(B/A)=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{4}{8}}=\frac{1}{4}

Por lo tanto la probabilidad de ganar es \frac{1}{4}.

 

Sucesos independientes

Son aquellos donde no se afectan uno con el otro.

Ejemplo:

Dos personas van a lanzar un objeto al mismo blanco, pero la primera persona que llamaremos A tiene una probabilidad de \frac{1}{4} de dar en el blanco y la segunda persona que llamaremos B tiene una probabilidad de \frac{3}{5} de dar en el blanco ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas den en el blanco?

Entonces tenemos P(A)=\frac{1}{4}, P(B)=\frac{3}{5}  y hay que calcular P(A\cap B) usando la siguiente fórmula:

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

El resultado sería P(A\cap B)=\left ( \frac{1}{4} \right )\left ( \frac{3}{5} \right )=\frac{3}{20}

Sucesos dependientes

Son aquellos donde se afectan uno con el otro.

Ejemplo:

En una población el 10% de las personas sufren una enfermedad. Se dispone  de un procedimiento para diagnosticarla, pero no es completamente confiable, ya que da positivo en 95% de los casos que las personas que la padecen. ¿Cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad y dé positivo?

Llamemos B al suceso que da positivo la enfermedad y A al suceso de padecer la enfermedad, entonces P(A)=\frac{10}{100}=\frac{1}{10},  P(B/A)=\frac{95}{100}=\frac{19}{20} y hay que calcular P\left (A\cap B \right ) usamos la fórmula:

P\left (A\cap B \right )= P(A)\cdot P(B/A)

Por lo tanto:

P\left (A\cap B \right )= \left ( \frac{1}{10} \right )\left ( \frac{19}{20} \right )=\frac{19}{200}=0.095

El resultado es 9.5% de probabilidad.

Diferencia de sucesos

Son aquellos que pueden estar o no estar relacionados y queremos la probabilidad de uno sin tener nada que ver con el otro.

Ejemplo:

Se lanza un dado y queremos calcular la probabilidad de que salga un número par, pero que no sea múltiplo de 3, entonces llamamos A al suceso de que sea un número par, B al suceso de que sea múltiplo de 3 y tendríamos P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},  P(A\cap B)=\frac{1}{6} ya que A=\left \{ 2,4,6 \right \}, B=\left \{ 3,6 \right \}, A\cap B=\left \{ 6 \right \} usamos la fórmula:

P\left ( A-B \right )=P\left ( A\cap B^{c} \right )=P\left ( A \right )-P\left ( A\cap B \right )

Por lo tanto:

P\left ( A-B \right )=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}

Teorema de la probabilidad total

Este se aplica cuando tienes varios sucesos independientes o que no tienen nada que ver entre ellos, pero todos se relacionan con otro suceso del cual quieres saber su probabilidad.

Si tenemos un suceso B y sean A_{1},A_{2},...,A_{n} eventos mutuamente excluyentes. Entonces se aplica la fórmula:

P(B)=P(A_{1})\cdot P(B/A_{1})+P(A_{2})\cdot P(B/A_{2})+...+P(A_{n})\cdot P(B/A_{n})

Ejemplo:

Una fabrica utiliza tres maquinas A_{1},A_{2},A_{3} para producir ciertos artículos. Supongamos que:

La maquina A_{1} produce el 55% de todos los artículos, de los cuales el 2% son defectuosos.

La maquina A_{12} produce el 25% de todos los artículos, de los cuales el 4% son defectuosos.

La maquina A_{3} produce el 20% de todos los artículos, de los cuales el 5% son defectuosos.

¿Cuál es la probabilidad de que si se escoge un artículo este sea defectuoso?

Tenemos que B es el suceso de que el artículo sea defectuoso, entonces:

P(A_{1})=0.55, P(A_{2})=0.25 , P(A_{3})=0.2, P(B/A_{1})=0.02, P(B/A_{2})=0.04 y P(B/A_{3})=0.05

Aplicamos la fórmula:

P(B)=P(A_{1})\cdot P(B/A_{1})+P(A_{2})\cdot P(B/A_{2})+P(A_{3})\cdot P(B/A_{3})=\left ( 0.55 \right )\left ( 0.02 \right )+\left ( 0.25 \right )\left ( 0.04 \right )+\left ( 0.2 \right )\left ( 0.05 \right )=0.031

Entonces la probabilidad es de 3.1%.

Teorema de Bayes

Este teorema nos facilita ejercicios de probabilidad condicional con varios sucesos.

Si tenemos un suceso B y sean A_{1},A_{2},...,A_{n} eventos mutuamente excluyentes se cumple la formula:

P(A_{i}/B)=\frac{P(A_{i})\cdot P(B/A_{_{i}})}{P(A_{1})\cdot P(B/A_{1})+P(A_{2})\cdot P(B/A_{2})+...+P(A_{n})\cdot P(B/A_{n})}

En una fábrica trabajan tres empleados Andrés, Beto y Carlos. Andrés realiza el 50% de la producción, Beto el 30% y Carlos el 20%. Andrés tiene 1% de probabilidad de que lo haga mal; cuando lo hace Beto, hay  2% de que lo haga mal y en el caso de Carlos hay 3% de probabilidad que lo haga mal. Se analizó uno de los productos y estaba mal. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido Andrés quien lo ha hecho?

Consideremos lo siguiente:

M={Se hizo mal trabajo}, A={El trabajo lo hizo Andrés}, B={El trabajo lo hizo Beto} y C={El trabajo lo hizo Carlos}.

De estos sucesos se obtienen las probabilidades:

P(A)=0.5, P(B)=0.3, P(C)=0.2, P(M/A)=0.01, P(M/B)=0.02 y P(M/C)=0.03.

Usamos el teorema de Bayes para encontrar la probabilidad de que Andrés lo haya hecho mal

P(A/M)=\frac{P(A)\cdot P(M/A)}{P(A)\cdot P(M/A)+P(B)\cdot P(M/B)+P(C)\cdot P(M/C)}

Sustituimos los valores y queda

P(A/M)=\frac{(0.5)(0.01)}{(0.5)(0.01)+(0.3)(0.02)+(0.2)(0.03)}=0.2941

Propiedades

1 Propiedad que implica la probabilidad es no negativa y menor que 1. Esta propiedad indica que la probabilidad se maneja en el porcentaje del 0% al 100% por lo tanto el 0% implica que no hay probabilidad, el 100% que se cumple la predicción y los valores intermedios te indica qué posibilidad hay de que se dé el suceso esperado.

0\leq P(A)\leq 1

2 Propiedad de que es seguro que ocurra. Unn ejemplo para esta propiedad  sería un dado con todas caras grabado el numero 6, entonces la probabilidad de que cuando lo lances y salga un 6 es del 100%

P(E)=1

3 Propiedad es que es seguro  no que ocurra. Para esta propiedad usamos el mismo dado del ejemplo anterior y lo lanzamos. ¿Cuál sería la probabilidad de salga un 5? La probabilidad sería nula pues solo está el número 6 y por lo tanto la probabilidad sería 0.

P(\phi )=0

4 Propiedad de probabilidad del complemento de un suceso. Para esta propiedad supongamos que lanzamos un dado normal numerado del 1 al 6 y queremos saber la probabilidad de que no salga 3, entonces llamamos A al suceso de que salga 3, A^{c} sería el suceso de que no salga 3 y P(A)=\frac{1}{6}. Por lo tanto usamos la fórmula:

P(A^{c})=1-P(A)

Sustituimos:

P(A^{c})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗