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Ley de Laplace
Esta ley establece la probabilidad de que suceda un suceso o que ganes en un juego de azar.
Si lanzamos un dado, debe considerarse que hay igual posibilidad que salga cualquiera de las caras numeradas del 1 al 6, entonces la probabilidad de que salga cualquier número será .
Si ahora queremos saber cual es la probabilidad de que salga un número par el resultado seria , debido a que
son los resultados pares.
En general la probabilidad de que un suceso es la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles y esa es la ley de Laplace.
Sucesos incompatibles
Son dos sucesos que no pueden presentarse al mismo tiempo.
Ejemplo:
Se realiza una encuesta a alumnos universitarios para ver cuántos fuman y no fuman, entonces es el conjunto de los fumadores y
de los no fumadores por lo tanto:
Porque una persona puede ser fumador y no fumador a la vez.
Entonces si escojo un alumno al azar quiero saber cuál es la probabilidad de que fume o no fume y uso la formula:
Sucesos compatibles
Son dos sucesos que pueden presentarse al mismo tiempo.
Ejemplo:
En una universidad hay alumnos que estudian inglés, francés o los dos idiomas. Si son los que estudian inglés y
los que estudian francés, entonces
son los que estudian inglés y francés y por lo tanto:
Ahora si escojo un alumno al azar y quiero saber la probabilidad de que estudie ingles o francés uso la formula:
Probabilidad condicionada
Es cuando la probabilidad un suceso se puede ver afectado por otro suceso
.
Ejemplo:
Imagina que juegas con otra persona a lanzar una moneda tres veces, tu ganas si cae cara y pierdes si cae lo contrario. Para triunfar debes ganar al menos dos de tres volados.
Si represento con un volado ganado y con
uno perdido, entonces los resultados serían
.
Para ganar el juego, debe ocurrir , por lo tanto la probabilidad de ganar es
.
Supongamos que se pierde el primer volado, de manera que que quedan dos por jugar. ¿Cuál es la probabilidad de ganar?
Usaremos la formula:
Llamemos al suceso de ganar y
al suceso de perder el primer volado cuyos resultados serían
, entonces
sería el suceso de ganar y perder el primer volado cuyo resultado sería
,
es el suceso de ganar si ya perdiste el primer volado.
Con base en los resultados encontrados anteriormente ,
entonces:
Por lo tanto la probabilidad de ganar es .
Sucesos independientes
Son aquellos donde no se afectan uno con el otro.
Ejemplo:
Dos personas van a lanzar un objeto al mismo blanco, pero la primera persona que llamaremos tiene una probabilidad de
de dar en el blanco y la segunda persona que llamaremos
tiene una probabilidad de
de dar en el blanco ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas den en el blanco?
Entonces tenemos ,
y hay que calcular
usando la siguiente fórmula:
El resultado sería
Sucesos dependientes
Son aquellos donde se afectan uno con el otro.
Ejemplo:
En una población el % de las personas sufren una enfermedad. Se dispone de un procedimiento para diagnosticarla, pero no es completamente confiable, ya que da positivo en
% de los casos que las personas que la padecen. ¿Cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad y dé positivo?
Llamemos al suceso que da positivo la enfermedad y
al suceso de padecer la enfermedad, entonces
,
y hay que calcular
usamos la fórmula:
Por lo tanto:
El resultado es % de probabilidad.
Diferencia de sucesos
Son aquellos que pueden estar o no estar relacionados y queremos la probabilidad de uno sin tener nada que ver con el otro.
Ejemplo:
Se lanza un dado y queremos calcular la probabilidad de que salga un número par, pero que no sea múltiplo de , entonces llamamos
al suceso de que sea un número par,
al suceso de que sea múltiplo de
y tendríamos
,
ya que
,
,
usamos la fórmula:
Por lo tanto:
Teorema de la probabilidad total
Este se aplica cuando tienes varios sucesos independientes o que no tienen nada que ver entre ellos, pero todos se relacionan con otro suceso del cual quieres saber su probabilidad.
Si tenemos un suceso y sean
eventos mutuamente excluyentes. Entonces se aplica la fórmula:
Ejemplo:
Una fabrica utiliza tres maquinas para producir ciertos artículos. Supongamos que:
La maquina produce el 55% de todos los artículos, de los cuales el 2% son defectuosos.
La maquina produce el 25% de todos los artículos, de los cuales el 4% son defectuosos.
La maquina produce el 20% de todos los artículos, de los cuales el 5% son defectuosos.
¿Cuál es la probabilidad de que si se escoge un artículo este sea defectuoso?
Tenemos que es el suceso de que el artículo sea defectuoso, entonces:
,
,
,
,
y
Aplicamos la fórmula:
Entonces la probabilidad es de 3.1%.
Teorema de Bayes
Este teorema nos facilita ejercicios de probabilidad condicional con varios sucesos.
Si tenemos un suceso y sean
eventos mutuamente excluyentes se cumple la formula:
En una fábrica trabajan tres empleados Andrés, Beto y Carlos. Andrés realiza el 50% de la producción, Beto el 30% y Carlos el 20%. Andrés tiene 1% de probabilidad de que lo haga mal; cuando lo hace Beto, hay 2% de que lo haga mal y en el caso de Carlos hay 3% de probabilidad que lo haga mal. Se analizó uno de los productos y estaba mal. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido Andrés quien lo ha hecho?
Consideremos lo siguiente:
{Se hizo mal trabajo},
{El trabajo lo hizo Andrés},
{El trabajo lo hizo Beto} y
{El trabajo lo hizo Carlos}.
De estos sucesos se obtienen las probabilidades:
,
,
,
,
y
.
Usamos el teorema de Bayes para encontrar la probabilidad de que Andrés lo haya hecho mal
Sustituimos los valores y queda
Propiedades
1 Propiedad que implica la probabilidad es no negativa y menor que 1. Esta propiedad indica que la probabilidad se maneja en el porcentaje del % al
% por lo tanto el
% implica que no hay probabilidad, el
% que se cumple la predicción y los valores intermedios te indica qué posibilidad hay de que se dé el suceso esperado.
2 Propiedad de que es seguro que ocurra. Unn ejemplo para esta propiedad sería un dado con todas caras grabado el numero , entonces la probabilidad de que cuando lo lances y salga un
es del
%
3 Propiedad es que es seguro no que ocurra. Para esta propiedad usamos el mismo dado del ejemplo anterior y lo lanzamos. ¿Cuál sería la probabilidad de salga un ? La probabilidad sería nula pues solo está el número
y por lo tanto la probabilidad sería
.
4 Propiedad de probabilidad del complemento de un suceso. Para esta propiedad supongamos que lanzamos un dado normal numerado del al
y queremos saber la probabilidad de que no salga
, entonces llamamos
al suceso de que salga
,
sería el suceso de que no salga
y
. Por lo tanto usamos la fórmula:
Sustituimos:
.
La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
buen dia podrian ayudarme por favor con el siguiente ejercicio
1) las estadisticas indican que el 70% de todos los hombres tienen alguna forma de cancer de prostata. la prueba PSA da positivo el 90% de las veces cuando los hombres estan afectados, y 10% cuando los hombres no estan afectados. Cual es la probabilidad de que un hombre que dio positivo tenga cancer de prostata?
Me podrían ayudar con este ejercicio por favor
En una población el 51% de las personas son mujeres, el 18% tienen la tensión alta y el 10% ambas cosas. Obtener:
a) Probabilidad de que una persona tenga la tensión alta si es mujer
b) Probabilidad de ser hombre si se tiene la tensión alta
c) Probabilidad de ser mujer si no se tiene la tensión alta
Calcula la probabilidad de sacar una suma de puntos de 7 al lanzar dos dados comunes.
1. Lorena Perilla, jefe del Departamento de Admisiones de la UNIMINUTO, está enterada de que el pago promedio mensual de un estudiante que ha financiado su matrícula es de $112.000 y la desviación estándar es de $56.000. Si Lorena audita a 50 estudiantes seleccionados al azar, encuentre la probabilidad de que el pago promedio mensual de la muestra sea:
a) Menor que $100
por favor cómo se resuelve problema.
. Sean A y B eventos con (𝐴) =5; (𝐵) = 1 4 ; 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 1 6
Hallar: 𝑎) P(𝐴 ∩ 𝐵); (𝐴 𝑐); 𝑃(𝐵 𝑐); 𝑃(𝐴 𝑐 ∩ 𝐵 𝑐 ); P(𝐵 𝑐 ∩ 𝐴); P(𝐴 𝑐 ∩ 𝐵); 𝑃(𝐴 𝑐 ∪ 𝐵 𝑐 )
por datos históricos se tiene que 600 turistas que visitan a Boyacá, 280 visitan a villa de Leyva, 200 a Paipa y 400 visitan a villa de Leyva o a Paipa. Al seleccionar aleatoriamente un turista de estos, calcule
B=600 VL=280 VL O P=400
a¿ cual es la de que visite a Paipa y a villa de Leyva?
b¿ cual es probabilidad de que visite al menos uno de los dos lugares?
Una mayor investigación y discusión se han concentrado sobre el número de enfermedades que involucran al organismo E. Colli, causa un colapso de globos rojos sanguineos y hemorragia intestinal en sus victimas. De acuerdo con el Centro para el Control de Enfermedades un estimado de 73 mil casos por infección de E. Colli y 61 fallecimientos al año ocurren en Estados Unidos Un brote en 2006 se rastreo hasta cerdos salvajes que dispersaron la bacteria en un campo de espinacas en california, enfermó a 204 personas en 26 estados y1 provincia canadiense Los brotes han ocurrido en un porcentaje de 25 por 100 mil. Supongamos que este porcentaje no ha cambiado Cual es la probabilidad de que entre dos y cuatro casos de E Colli por 100 mil se enfermen en California este año?
Se ha estimado que la probabilidad de que el sonido sea defectuoso es de 0.03, que la probabilidad de que uno u otro salgan defectuosos (sonido o imagen) es de 0.04, pero la probabilidad de que ambos salgan defectuosos es de sólo 0.01. ¿Cuál es la probabilidad de que la imagen salga defectuosa?
En una población el 51% de las personas son mujeres, el 18% tienen la tensión alta y el 10% ambas cosas. Obtener:
a) Probabilidad de que una persona tenga la tensión alta si es mujer
b) Probabilidad de ser hombre si se tiene la tensión alta
c) Probabilidad de ser mujer si no se tiene la tensión alta