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El espacio muestral (o espacio de sucesos)
Es probabilidad, el espacio muestral, denotado por 
(o en ocasiones como 
), es el conjunto de todos los posibles resultados al realizar un experimento aleatorio.
Ejemplos
1 Lanzar un dado
Consideremos el experimento de lanzar un dado. Sabemos que el dado tiene 6 caras con cada una con un distinto número entero que van del 
al 
, por lo tanto, nuestro espacio muestral con todos los posibles resultados que podemos tener al lanzar un dado sería
2 Lanzar dos monedas
Consideremos el experimento de lanzar dos monedas. Una moneda tiene dos lados solamente, cara (
) o cruz (
). Como nosotros estamos considerando lanzar dos monedas, nuestros resultados serían pares, por lo tanto, nuestro espacio muestral con todos los posibles resultados que podríamos obtener sería
Otro concepto importante es el de evento (o suceso), denotado por 
. Un evento es un subconjunto del espacio muestral, o de forma menos formal, el hecho de que ocurran "ciertos casos".
Ejemplo:
Considerar el hecho de que al lanzar el dado caiga un o un 
estaría dado por el subconjunto
Un evento elemental (o suceso elemental) es un evento constituido por un único elemento, 
.En otras palabras, es un evento que solo considera un resultado (también se conocen los eventos elementales como resultados por sí mismos).
Ejemplo:
Considerar el hecho de lanzar solo una vez dos monedas al mismo tiempo y que ambas caigan cruz 
es un evento elemental ya que estaría dado por el subconjunto
Recordemos que cada par, 
, por ejemplo, es un único resultado a pesar de que está compuesto por dos elementos individuales (esto ya que consideramos el hecho de lanzar dos monedas distintas).
Resultados igualmente probables (equiprobables)
En algunos casos la probabilidad considera los distintos resultados de un experimentos igualmente probables. En estos casos, en un espacio muestral con 
posibles resultados con la misma probabilidad de ocurrir, a cada resultado se le asigna la probabilidad de 
.
En un espacio muestra con resultados igualmente probables, la probabilidad de que ocurra un evento se vuelve fácil de calcular:
Unión de eventos
Dados dos eventos, 
y 
, definimos la unión de eventos, denotada por 
, como el evento formado por todos los elementos que están en o en . Es decir, el evento 
se verifica cuando ocurre uno de los dos, o en , o ambos.
se lee como " unión ".
Observación. Notemos que en realidad la unión de dos eventos no es nada más que la unión de sus conjuntos.
Ejemplo:
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, consideremos el evento de caiga un número par como 
y el evento de que caiga un número que sea múltiplo de tres como 
. Calculemos la unión los eventos y 
():
Propiedades de la unión de eventos
-
- Conmutatividad
Dados dos eventos
y se cumple que
.
- Conmutatividad
-
- Asociativadad
Dados los eventos
, y se cumple que
.
- Asociativadad
-
- Idempotencia
Para todo evento
se cumple que
.
- Idempotencia
-
- Distributividad
Dados los eventos
, y se cumple que
y
- Distributividad
-
- Simplificación
Dados dos eventos
y se cumple que
.
- Simplificación
-
- Elemento neutro
Para todo evento
se cumple que
.En donde
se conoce como el evento vacío. - Absorción
Sea
un evento cualquiera y cualquier otro evento más grande que contenga al evento (puede ser incluso el mismo espacio muestral 
), entonces se cumple que
.
- Elemento neutro
Probabilidad de la unión de eventos
Consideremos dos eventos y con probabilidades 
y 
, respectivamente. Entonces, tenemos que la probabilidad de su unión, , está dada por
.
Esto nos da dos casos importantes a considerar. Cuando 
y cuando 
.
Probabilidad de la unión de sucesos compatibles
Decimos que dos eventos y son compatibles cuando contienen al menos un evento elemental en común. En otras palabras, si ambos consideran al menos un mismo resultado.
Cuando dos eventos y son compatibles, su intersección no es vacía (es distinta del conjunto vacío, 
). Esto es
.
En este caso, como la intersección no es vacía, y sus elementos (resultado que considera) pertenecen al espacio muestral, se tiene que 
. Así, consideramos la ecuación (\ref{ProbabilidadUnion}) para calcular la probabilidad de .
.
Ejemplo
Consideremos el experimento de lanzar un dado y los siguientes eventos:
-
- Que al lanzar el dado el número sea un múltiplo de tres,
- Que al lanzar el dado el número sea un múltiplo de tres,
- Que al lanzar el dado caiga en el número
, 
.
Notemos que 
, por lo tanto, son conjuntos compatibles. Además, tenemos que 
y 
. Aplicando la fórmula de la ecuación (\ref{ProbabilidadUnion}), tenemos que
Probabilidad de la unión de eventos incompatibles
Decimos que dos eventos y son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. En otras palabras, si un resultado que es considerado en no está en y viceversa.
Otra forma es que dos eventos y son incompatibles cuando su intersección es vacía (es el conjunto vacío, ). Esto es
Tenemos que la probabilidad del conjunto vacío es 
ya que este evento no considera ningún resultado. Notemos que, debido a esto, tendríamos que la ecuación (\ref{ProbabilidadUnion}) se reduce a
.
Ejemplo
Consideremos el experimento de lanzar un dado y los siguientes eventos:
-
- Que al lanzar el dado el número sea primo menor a 4,
- Que al lanzar el dado el número sea primo menor a 4,
- Que al lanzar el dado caiga en el número o el número ,
.
Notemos que 
, por lo tanto, son conjuntos incompatibles. Además, tenemos que y 
. Aplicando la fórmula de la ecuación (\ref{ProbabilidadIncompatibles}), tenemos que
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Hola! Este ejercicio creo que está mal…
Un hombre es conocido por decir la verdad 2 de 3 veces. El tira una moneda y dice que ha caído cara. Encuentra la probabilidad de que en realidad la moneda haya caído cara.
No se está considerando que, cuando dice la verdad, las chances son del 100% de que sea cara. No hay posibilidad de que sea ceca porque sino estaría mintiendo.
Hola agradecemos tus comentarios, podrías mencionar que número de ejercicio es pues hice una revisión y no encontré el ejercicio, seria de mucha ayuda por favor.
Quiero aprender más sobre matemáticas 💯 y como puedo hacer un ejemplo sobre la clase de permutaciones…y que fórmulas debo usar
Hola estas en el lugar indicado para aprender matematicas, en cuanto al tema que mencionas tenemos varios artículos que te pueden ayudar por ejemplo «https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/variaciones-permutaciones-y-combinaciones.html» con este puedes comenzar.
En el ejercicio «Una mesa presidencial está formada por ocho personas. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?» hay un error en la solución. A mí me sale 10080 = 2×7!
Agradecemos que nos compartieras tu observación. En efecto la solución anterior era para una mesa redonda, ya realizamos la corrección. Un saludo.
Necesito resolver estos problemas de variaciones
V8,5 y V5,3
Supongamos que una escuela deportiva tiene 100 deportistas de los cuales 30 estan en nivel avanzado y 70 estan en nivel intermedio. Si se seleccionan al azar 5 deportistas, calcular la probabilidad de: A. Exactamente de dos de ellos esten en el nivel avanzado B. Exactamente cinco de