El espacio muestral (o espacio de sucesos)

 

Es probabilidad, el espacio muestral, denotado por \; \Omega\; (o en ocasiones como \; S \;), es el conjunto de todos los posibles resultados al realizar un experimento aleatorio.

 

Ejemplos

 

1 Lanzar un dado

 

Consideremos el experimento de lanzar un dado. Sabemos que el dado tiene 6 caras con cada una con un distinto número entero que van del \quad 1 \quad al \quad 6 \quad \quad(1, 2, 3, 4, 5, 6) \quad, por lo tanto, nuestro espacio muestral con todos los posibles resultados que podemos tener al lanzar un dado sería

 

\displaystyle \Omega= \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

 

2 Lanzar dos monedas

 

Consideremos el experimento de lanzar dos monedas. Una moneda tiene dos lados solamente, cara (\quad C \quad) o cruz (\quad X \quad). Como nosotros estamos considerando lanzar dos monedas, nuestros resultados serían pares, por lo tanto, nuestro espacio muestral con todos los posibles resultados que podríamos obtener sería

 

\displaystyle \Omega= \{(C,C), (C,X), (X,C), (X,X)\}

 

Otro concepto importante es el de evento (o suceso), denotado por \quad E \quad. Un evento es un subconjunto del espacio muestral, o de forma menos formal, el hecho de que ocurran "ciertos casos".

 

Ejemplo:

 

Considerar el hecho de que al lanzar el dado caiga un \quad 6 \quad o un \quad 4 \quad estaría dado por el subconjunto

 

\quad E = \{ 6, 4\} \subset \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \Omega \quad

 

Un evento elemental (o suceso elemental) es un evento constituido por un único elemento, \quad E = \{ e \}.En otras palabras, es un evento que solo considera un resultado (también se conocen los eventos elementales como resultados por sí mismos).

 

Ejemplo:

 

Considerar el hecho de lanzar solo una vez dos monedas al mismo tiempo y que ambas caigan cruz \quad (X, X)\quad es un evento elemental ya que estaría dado por el subconjunto

 

\quad E = \{ (X, X) \} \subset \{(C,C), (C,X), (X,C), (X,X)\} = \Omega \quad

 

Recordemos que cada par, \quad (X, X), por ejemplo, es un único resultado a pesar de que está compuesto por dos elementos individuales (esto ya que consideramos el hecho de lanzar dos monedas distintas).

 

Superprof

Resultados igualmente probables (equiprobables)

 

En algunos casos la probabilidad considera los distintos resultados de un experimentos igualmente probables. En estos casos, en un espacio muestral con \quad N \quad posibles resultados con la misma probabilidad de ocurrir, a cada resultado se le asigna la probabilidad de \quad \frac{1}{N}.

 

En un espacio muestra con resultados igualmente probables, la probabilidad de que ocurra un evento se vuelve fácil de calcular:

 

(1)    \begin{equation*} P(E) = \frac{\text{cantidad de resultados considerados en E}}{\text{cantidad de resultados en el espacio muestral}} \end{equation*}

 

Unión de eventos

 

Dados dos eventos, \quad A \quad y \quad B, definimos la unión de eventos, denotada por \quad A \cup B, como el evento formado por todos los elementos que están en \quad A \quad o en \quad B. Es decir, el evento \quad A \cup B \quad se verifica cuando ocurre uno de los dos, \quad A \quad o en \quad B, o ambos.

 

\quad A \cup B se lee como "\quad A \quad unión \quad B".

 

Observación. Notemos que en realidad la unión de dos eventos no es nada más que la unión de sus conjuntos.

 

Ejemplo:

 

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, consideremos el evento de caiga un número par como \quad A = \{2, 4, 6\}\quad y el evento de que caiga un número que sea múltiplo de tres como \quad B = \{ 3, 6\} \quad. Calculemos la unión los eventos \quad A \quad y \quad B \quad (\quad A \cup B):

 

A = \{2, 4, 6\}\quad

 

 B = \{ 3, 6\} \quad

 

\quad A \cup B = \{2, 3, 4, 6\}

 

 

Propiedades de la unión de eventos

 

    • Conmutatividad

      Dados dos eventos \quad A \quad y \quad B \quad se cumple que

       

      \displaystyle A \cup B = B \cup A.

 

    • Asociativadad

      Dados los eventos \quad A, \quad B \quad y \quad C \quad se cumple que

       

      \displaystyle A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C.

 

    • Idempotencia

      Para todo evento \quad A \quad se cumple que

       

      \displaystyle A \cup A = A.

 

    • Distributividad

      Dados los eventos \quad A, \quad B \quad y \quad C \quad se cumple que

       

      \displaystyle A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)

       

      y

       

      \displaystyle A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

 

    • Simplificación 

      Dados dos eventos \quad A \quad y \quad B \quad se cumple que

       

      \displaystyle A \cup (A \cap B) = A \cap (A \cup B) = A.

 

    • Elemento neutro 

      Para todo evento \quad A \quad se cumple que

       

      \displaystyle A \cup \emptyset = A.

       

      En donde \quad \emptyset \quad se conoce como el evento vacío.

    • Absorción 

      Sea \quad A \quad un evento cualquiera y \quad E \quad cualquier otro evento más grande que contenga al evento \quad A \quad (puede ser incluso el mismo espacio muestral \quad \Omega), entonces se cumple que

       

      \displaystyle A \cup E = E \cup A.

 

 

Probabilidad de la unión de eventos

 

Consideremos dos eventos \quad A \quad y \quad B \quad con probabilidades \quad P(A) \quad y \quad P(B), respectivamente. Entonces, tenemos que la probabilidad de su unión, \quad A \cup B, está dada por

 

(2)    \begin{equation*} P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \end{equation*}

.

 

Esto nos da dos casos importantes a considerar. Cuando \quad A \cap B = \emptyset \quad y cuando \quad A \cap B \neq \emptyset.

 

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles

 

Decimos que dos eventos \quad A \quad y \quad B \quad son compatibles cuando contienen al menos un evento elemental en común. En otras palabras, si ambos consideran al menos un mismo resultado.

 

Cuando dos eventos \quad A \quad y \quad B \quad son compatibles, su intersección no es vacía (es distinta del conjunto vacío, \quad \emptyset). Esto es

 

\displaystyle A \cap B \neq \emptyset.

 

En este caso, como la intersección no es vacía, y sus elementos (resultado que considera) pertenecen al espacio muestral, se tiene que \quad P(A \cap B) \neq 0. Así, consideramos la ecuación (2) para calcular la probabilidad de \quad A \cup B.

 

 P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) .

 

Ejemplo

 

Consideremos el experimento de lanzar un dado y los siguientes eventos:

 

    • Que al lanzar el dado el número sea un múltiplo de tres, \quad A = \{3, 6\}.

 

  • Que al lanzar el dado caiga en el número \quad 6, \quad B = \{6\}.

 

Notemos que \quad A \cap B = \{ 6 \} \neq \emptyset, por lo tanto, son conjuntos compatibles. Además, tenemos que \quad P(A) = \frac{2}{6} \quad y \quad P(B) = P(A \cap B) = \frac{1}{6}. Aplicando la fórmula de la ecuación (2), tenemos que

 

     \begin{align*} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B)\\ &= \frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{6}\\ &= \frac{2}{6} \end{align*}

 

Probabilidad de la unión de eventos incompatibles

 

Decimos que dos eventos \quad A \quad y \quad B \quad son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. En otras palabras, si un resultado que es considerado en \quad A \quad no está en \quad B \quad y viceversa.

 

Otra forma es que dos eventos \quad A \quad y \quad B \quad son incompatibles cuando su intersección es vacía (es el conjunto vacío, \quad \emptyset). Esto es

 

\displaystyle A \cap B = \emptyset

 

Tenemos que la probabilidad del conjunto vacío es \quad P(\emptyset) = 0 ya que este evento no considera ningún resultado. Notemos que, debido a esto, tendríamos que la ecuación (2) se reduce a

 

(3)    \begin{equation*} P(A \cup B) = P(A) + P(B) \end{equation*}

.

 

Ejemplo

 

Consideremos el experimento de lanzar un dado y los siguientes eventos:

 

    • Que al lanzar el dado el número sea primo menor a 4, \quad A = \{2, 3\}.

 

  • Que al lanzar el dado caiga en el número \quad 1 \quad o el número \quad 6, \quad B = \{1, 6\}.

 

Notemos que \quad A \cap B = \emptyset \neq \emptyset, por lo tanto, son conjuntos incompatibles. Además, tenemos que \quad P(A) = \frac{2}{6} \quad y \quad P(B) = \frac{2}{6}. Aplicando la fórmula de la ecuación (3), tenemos que

 

     \begin{align*} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) \\ &= \frac{2}{6} + \frac{2}{6}\\ &= \frac{4}{6}\\ &= \frac{2}{3} \end{align*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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