¿Cuantos comités de alumnos se pueden formar?

 

En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos.

 

¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

 

 

En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos.

 

¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

 

Primero, deberíamos notar lo siguiente:

 

No entran todos los elementos. Esto ya que solo se toman 3 de los 35 alumnos.

 

No importa el orden. Esto ya que es lo mismo escoger a Juan, María y Cynthia que escoger a Cynthia a Juan y a Maria. Solo importa quiénes conforman el comité, no el orden como estos sean escogidos.

 

No se repiten los elementos. Esto ya que obviamente no podemos elegir más de una vez a una persona. Una vez que alguien es elegido, ya no pertenece al grupo de los alumnos restantes.

 

Dicho lo anterior, es claro que estamos frente a un problema que podemos resolver con combinaciones de la siguiente manera

 

     \begin{align*} C_{35}^{3} &= \frac{35!}{3!(35 - 3)!}\\ &= \frac{35!}{3!32!}\\ &= \frac{35 \cdot 34 \cdot 33}{3!}\\ &= \frac{35 \cdot 34 \cdot 33}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\ &= 6545 \end{align*}

 

 

Combinaciones con los colores del arcoiris

 

Dados los colores del arcoíris, ¿cuántos grupos de tres colores podemos formar con ellos?

 

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Dados los colores del arcoíris, ¿cuántos grupos de tres colores podemos formar con ellos?

 

Para resolver este problema primero debemos notar lo siguiente:

 

No entran todos los elementos. Esto ya que únicamente tomaremos 3 de los 7 colores en el arcoíris.

 

No importa el orden. Esto ya que solo nos importa los colores que escogemos pero no el orden en el que los escogemos.

 

No se repiten los elementos. Está claro que no podemos escoger más de una vez un color. Al tomar un color, este ya no se considera para la siguiente elección, podríamos decir que "lo sacamos del conjunto".

 

Dicho lo anterior es claro que este problema lo podemos resolver utilizando la fórmula de combinaciones:

 

     \begin{align*} C_{7}^3 &= \frac{7!}{(7 - 3)!3!}\\ &= \frac{7!}{4!3!}\\ &= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3!}\\ &= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1}\\ &= 35 \end{align*}

 

 

Calcula el numero de saludos en una reunión

A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos.

 

¿Cuántos saludos se han intercambiado?

 

 

A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos.

 

¿Cuántos saludos se han intercambiado?

 

Notemos lo siguiente:

 

No entran todos los elementos. Esto debido a que un saludo lo podemos analizar como un grupo de dos personas (ya que solo se efectúa entre dos personas).

 

No importa el orden. Esto ya que es lo mismo que Juan haya saludado a María a que María haya saludo a Juan.

 

No se repiten los elementos. Notemos que el asumir que se repiten es como pensar que una persona se pudo saludar a sí misma, esto no tendría sentido.

 

Dicho lo anterior, tenemos que este problema lo podemos resolver aplicando la fórmula de combinaciones:

 

     \begin{align*} C_{10}^2 &= \frac{10!}{(10 - 2)!2!}\\ &= \frac{10!}{8!2!}\\ &= \frac{10 \cdot 9}{2!}\\ &= \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1}\\ &= 45 \end{align*}

 

Combinaciones con 4 botellas

 

En una tienda se venden cinco sabores distintos de refresco. Se desea comprar 4, sin importar que se escojan varios del mismo sabor.

 

¿De cuántas formas se pueden elegir los sabores de refresco?

 

 

En una tienda se venden cinco sabores distintos de refresco. Se desea comprar 4, sin importar que se escojan varios del mismo sabor.

 

¿De cuántas formas se pueden elegir los sabores de refresco?

 

Primero notemos los siguientes datos:

 

No entran todos los elementos. Esto debido a que hay cinco sabores y nosotros solo tomaremos 4.

 

No importa el orden. Da igual que si se eligen dos refresco sabor cola y dos sabor manzana,
que primero dos sabor manzana y luego dos sabor cola.

 

se repiten los elementos. Esto ya que podemos escoger los cuatro sabores diferentes o bien los cuatro iguales, etc.

 

Dicho lo anterior, es claro que tratamos con combinaciones con repetición, así, aplicando la fórmula, tenemos el resultado/p>

 

     \begin{align*} CR_{5}^4 &= \frac{(5 + 4 - 1)!}{(10 - 2)!2!}\\ &= \frac{10!}{8!2!}\\ &= \frac{10 \cdot 9}{2!}\\ &= \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1}\\ &= 45 \end{align*}

 

 

Combinaciones posibles en la lotería nacional

 

¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

 

 

¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

 

Primero notemos lo siguiente:

 

No entran todos los elementos. Esto ya que solo escogemos 6 de 49 elementos.

 

No importa el orden. En este caso solo importa los elementos que escogamos pero no lo orden de estos.

 

No se repiten los elementos. Esto ya que no podemos escoger varias veces el mismo elemento de la loteria.

 

Dicho lo anterior, es claro que podemos resolver este problema aplicando la fórmula de combinaciones:

 

     \begin{align*} C_{49}^6 &= \frac{49!}{(49-6)!6!}\\ &= \frac{49!}{43!6!}\\ &= \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{2!}\\ &= \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{2 \cdot 1}\\ &= 13983816 \end{align*}

 

 

Cantidad de triángulos en un pentágono

 

¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se pueden formar con sus vértices?

 

 

¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se pueden formar con sus vértices?

 

Primero necesitamos determinar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices. Notemos que tenemos 5 vértice y cada recta se puede determinar como el par de vértices que la definen, por lo tanto, tendríamos combinaciones.

 

No entran todos los elementos. Esto porque una recta solo la definen 2 de los 5 vértices.

 

No importa el orden. Una recta está definida porque une dos vértices, pero no hay dirección alguna, así que no importa qué vertice consideremos primero.

 

No se repiten los elementos. Esto porque considerar la repetición de elementos sería considerar rectas que van de un punto a sí mismo, esto no tendría sentido.

 

Así, tendríamos C_{5}^{2}, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas
que no son diagonales.

 

     \begin{align*} C_{5}^2 - 5 &= \frac{5!}{(5-2)!2!} - 5\\ &= \frac{5!}{3!2!} - 5\\ &= \frac{5\cdot 4}{2!} - 5\\ &= \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} - 5\\ &= 10 - 5\\ &= 5 \end{align*}

 

El número anterior no dio el número de diagonales dentro del pentágono. Ahora, cada tres diagonales cualesquiera define un triángulo dentro del pentágono, aunque no siempre el lado del triángulo será toda la diagonal, a veces solo serán parte de esta, esto lo podemos ver en el gráfico de cualquier pentágono con sus diagonales, podemos ver que sin importar cuales diagonales tomemos, entre estas se formará un triángulo, aunque solo esté definido por una parte de las diagonales. Dicho lo anterior, entonces cada triángulo lo define 3 de las 5 diagonales, así, tenemos de nuevo combinaciones ya que

 

No entran todos los elementos. Esto porque una recta solo la definen 3 de las 5 diagonales.

 

No importa el orden. Un triángulo está definido por 3 diagonales sin importar el orden en que tomes estas.

 

No se repiten los elementos. Esto porque los tres lados de un triángulo siempre son segmentos de recta diferentes.

 

Así, tendríamos C_{5}^{3}.

 

     \begin{align*} C_{5}^3 &= \frac{5!}{(5-3)!3!} \\ &= \frac{5!}{2!3!}\\ &= \frac{5\cdot 4}{2!}\\ &= \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1}\\ &= 10 \end{align*}

 

 

Combinaciones con condiciones

 

Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

 

1 Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

2 Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

3 Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

 

 

Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

 

1 Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

 

Notemos que como se puede escoger a cualquier hombre, entonces podemos escoger a cualesquiera 2 de los 5 hombres. Igual, notemos que se cumplen las condiciones del ejercicio 1:

 

No entran todos los elementos. Esto ya que solo se toman 2 de los 5 hombres.

 

No importa el orden. Esto ya que es lo mismo escoger a Juan y Pedro que escoger a Pedro y a Juan.

 

No se repiten los elementos. Esto ya que obviamente no podemos elegir más de una vez a una persona..

 

Esto nos darían combinaciones de C_{5}^{2} para poder escoger a los dos hombres. Al igual, podemos escoger entre todas las mujeres y, además, se cumplen las mismas condiciones, por lo tanto serían combinaciones C_{7}^{3} formas distintas de tomar 3 de las 7 mujeres. Esto nos da como resultado final el producto de las combinaciones que obtuvimos. Esto es

 

     \begin{align*} C_{5}^{2} \cdot C_{7}^{3} &= \frac{5!}{(5-2)! 2!} \cdot \frac{7!}{(7-3)!3!}\\ &= \frac{5!}{3!2!} \cdot \frac{7!}{4!3!}\\ &= 10 \cdot 35\\ &= 350 \end{align*}

 

2 Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

 

Notemos que al igual que en el inciso anterior, podemos escoger entre todos los hombres, por lo tanto de nuevo tendríamos combinaciones C_{5}^{2} en los hombres. Ahora, a diferencia del inciso anterior con las mujeres, aquí nos dice que una mujer ya está determinada, o sea, ya es eleginada, por lo tanto, ahora debemos elegir las 2 que faltan entre las 6 restantes, esto lo calculamos con las combinaciones C_{6}^2. Así, de nuevo nuestro resultado final es el producto de nuestras combinaciones obtenidas:

 

     \begin{align*} C_{5}^{2} \cdot C_{6}^{2} &= \frac{5!}{(5-2)! 2!} \cdot \frac{6!}{(6-2)!2!}\\ &= \frac{5!}{3!2!} \cdot \frac{6!}{4!2!}\\ &= 10 \cdot 15\\ &= 150 \end{align*}

 

3 Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

 

Notemos que al igual que en el inciso 1, podemos escoger entre todos las mujeres, por lo tanto de nuevo tendríamos combinaciones C_{7}^{3} en los mujeres. Ahora, a diferencia de los incisos anteriores, aquí nos dicen que dos hombres de los 5 no pueden se escogidos, por lo tanto, tenemos que escoger a los 2 entre los 3 restantes, esto lo calculamos con las combinaciones C_{3}^{2}. Por último, nuestro resultado final está dado por el producto de las combinaciones obtenidas

 

     \begin{align*} C_{3}^{2} \cdot C_{7}^{3} &= \frac{3!}{(3-2)! 2!} \cdot \frac{7!}{(7-3)!3!}\\ &= \frac{3!}{1!2!} \cdot \frac{7!}{4!3!}\\ &= 3 \cdot 35\\ &= 105 \end{align*}

 

 

Combinaciones con monedas

 

Una persona tiene cinco monedas de distintos valores.

 

¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

 

 

Una persona tiene cinco monedas de distintos valores.

 

¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

 

Notemos que es una pregunta un poco engañosa. Aquí se nos pide calcular las diferentes sumas, de lo cual uno podría cometer el error de las diferentes sumas al tomar todas las monedas (las cinco monedas), sin embargo, lo que debemos considerar son las diferentes sumas tomar sólo una moneda, al tomar dos monedas, tres monedas, cuadro monedas y cinco monedas, cuyos distintas sumas están dadas por C_{5}^{1}, C_{5}^{2}, C_{5}^{3}, C_{5}^{4} y C_{5}^{5}, respectivamente. Esto es, debemos sumar las distintas maneras de formar grupos de una moneda, grupos de dos monedas, de tres monedas y así sucesivamente.

 

     \begin{align*} C_{5}^{1} + C_{5}^{2} + C_{5}^{3} + C_{5}^{4} + C_{5}^{5} &= \frac{5!}{(5-1)! 1!} +\frac{5!}{(5-2)! 2!} + \frac{5!}{(5-3)! 3!}\\ &+ \frac{5!}{(5-4)! 4!} + \frac{5!}{(5-5)! 5!}\\ &= \frac{5!}{4! 1!} +\frac{5!}{3! 2!} + \frac{5!}{2! 3!}\\ &+ \frac{5!}{1! 4!} + \frac{5!}{0! 5!}\\ &=5 + 10 + 10 + 5 + 1\\ &= 31 \end{align*}

 

 

Ecuaciones de combinatorias

 

Resolver las siguientes ecuaciones combinatorias:

 

1\displaystyle V_{m}^{x} = 120 C_{m}^{x}

2\displaystyle C_{x}^{6} = 7 C_{x}^{4}

3\displaystyle 4 C_{19}^{x} = 19 C_{17}^{x}

 

Resolver las siguientes ecuaciones combinatorias:

 

1\displaystyle V_{m}^{x} = 120 C_{m}^{x}

 

Resolveremos utilizando simplemente las definiciones de variaciones y de combinaciones

 

     \begin{align*} V_{m}^{x} &= 120 C_{m}^{x}\\ \frac{m!}{(x - m)!} &= 120 \frac{m!}{(x - m)! x!}\\ 1 &= 120 \frac{1}{x!}\\ 120 &= x!\\ 5! &= x!\\ 5 &= x \end{align*}

 

Por lo tanto x = 5.

 

2\displaystyle C_{x}^{6} = 7 C_{x}^{4}

 

Nuevamente utilizaremos la definición de combinaciones para resolver este problema

 

     \begin{align*} C_{x}^{6} &= 7 C_{x}^{4}\\ \frac{x!}{(x - 6)!6!} &= 7 \frac{x!}{(x - 4)! 4!}\\ \frac{1}{(x - 6)!6!} &= 7 \frac{1}{(x - 4)! 4!}\\ \frac{1}{(x - 6) \cdot (x - 7) \cdots 6!} &= 7 \frac{1}{(x - 4) \cdot (x - 5) \cdots 4!}\\ \frac{1}{6!} &= 7 \frac{1}{(x - 4) \cdot (x - 5) 4!}\\ (x - 4) \cdot (x - 5) &= 7 \frac{6!}{4!}\\ x^2 - 9x + 20 &= 210\\ x^2 -9x - 190 &= 0 \\ (x - 19)(x + 10) &= 0 \end{align*}

 

De lo anterior se sigue que x = 19 o x = -10, sin embargo, como x debe ser obligatoriamente positivo, tenemos que nuestra única opción es x = 19.

 

3\displaystyle 4 C_{19}^{x} = 19 C_{17}^{x}

 

Nuevamente utilizaremos la definición de combinaciones para resolver este problema

 

     \begin{align*} 4 C_{19}^{x} &= 19 C_{17}^{x}\\ 4 \frac{19!}{(19 - x)!x!} &= 19 \frac{17!}{(17 - x)! x!}\\ 4 \frac{19 \cdot 18 \cdot 17!}{(19 - x)(18 - x)(17 - x)!} &= 19 \frac{17!}{(17 - x)!}\\ 4 \frac{19 \cdot 18}{(19 - x)(18 - x)} &= 19 \\ 4 \frac{18}{(19 - x)(18 - x)} &= 1 \\ 4 \cdot 18 &= (19 - x)(18 - x) \\ 72 &= 342 - 37x + x^2\\ 0 &= 270 - 37 x + x^2\\ 0 &= (x - 10)(x - 27) \end{align*}

 

De lo anterior se sigue que x = 10 o x = 27, sin embargo, como x debe ser obligatoriamente menor a 19 y 17, ya que no podemos tomar más elementos de los que hay en un conjunto, tenemos que nuestra única opción es x = 10.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗