Definición de permutaciones

 

Permutar es colocar elementos en distintas posiciones.

También,  se llama permutaciones de \displaystyle m elementos en \displaystyle n posiciones a las distintas formas en que pueden ordernarse los \displaystyle m elementos ocupando únicamente las \displaystyle n posiciones. Siempre y cuando \displaystyle m\geq n.

Hay que tener en cuenta  lo siguiente:

 

  • importa el orden, ya que el intercambio entre dos elementos distintos genera una nueva permutación
  • No se repiten los elementos, ya que de repetirse o ser iguales entre si, al intercambiarlos no se genera una nueva permutación

 

Para obtener el total de maneras en que se pueden colocar m elementos en n posiciones se utiliza la siguiente fórmula:

 

\displaystyle P_{n}^{m}= \frac{m!}{(m-n)!}

 

Si en dado caso, \displaystyle m=n para calcular el total de permutaciones se utiliza la siguiente fórmula:

 

\displaystyle P_{n}= n!

 

A continuación, analiza los siguientes ejemplos utilizando lo anteriormente mencionado.

 

 

1Calcular las permutaciones de \displaystyle 6 elementos en \displaystyle 6 posiciones.

 

Solución:

 

\displaystyle P_{6}= 6!= 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=  720

 

2¿Cuántos números de \displaystyle 5 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos: \displaystyle 1,2,3,4,5 ?

 

Solución:

 

 \displaystyle m=5    y    \displaystyle n=5

  • entran todos los elementos, ya que tenemos la misma cantidad de elementos que de posiciones
  • importa el orden
  • No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes

 

\displaystyle P_{5}= 5!= 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=  120

 

3¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de ocho butacas?

 

Solución:

 

  • entran todos los elementos. Tienen que sentarse las \displaystyle 8 personas
  • importa el orden
  • No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir

 

 \displaystyle P_{8}= 8!=  40320

 

4¿Cuántas formas diferentes hay de colocar a las letras \displaystyle A,B,C en tres posiciones?

 

Solución:

 

\displaystyle P_{3}= 3\cdot 2\cdot 1=  6

 

Aquí las \displaystyle 6 formas a las que se refiere el calculo:

 

\displaystyle ABC, ACB,BAC,BCA,CAB,CBA

 

5Si tenemos a \displaystyle 3 elementos y queremos colocarlos en \displaystyle 2 posiciones, ¿de cuántas maneras se puede realizar?

 

Solución:

 

\displaystyle P_{2}^{3}= \frac{3!}{(3-2)!}= 3!=6

 

Tres elementos \displaystyle ABC, en dos posiciones:

 

\displaystyle AB,BA,AC,CA,BC,CA

 

Son muchas las aplicaciones de las permutaciones debido a que existen conteos muy complejos que se simplifican de esta manera. Hay que recalcar que en las permutaciones sí importa el orden en que se presentan los elementos.

 

 

¿Y tú, dónde aplicas las permutaciones en tu vida diaria?

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗