Desarrollar:

1\left ( x^2 + 3x \right )^5 =

1 Aplicamos el binomio de Newton

 

\begin{array}{rcl} \left ( x^2 + 3x \right )^5 & = & \left (\begin{array}{c}5 \\ 0 \end{array}\right ) \left ( x^2 \right )^5 (3x)^0 + \left (\begin{array}{c}5 \\ 1 \end{array}\right ) \left ( x^2 \right )^4 (3x)^1 + \left (\begin{array}{c}5 \\ 2 \end{array}\right ) \left ( x^2 \right )^3 (3x)^2 \\\\ & & + \left (\begin{array}{c}5 \\ 3 \end{array}\right ) \left ( x^2 \right )^2 (3x)^3 + \left (\begin{array}{c}5 \\ 4 \end{array}\right ) \left ( x^2 \right )^1 (3x)^4 + \left (\begin{array}{c}5 \\ 5 \end{array}\right ) \left ( x^2 \right )^0 (3x)^5 \end{array}

 

2 Resolvemos las combinaciones

 

\begin{array}{rcl} \left ( x^2 + 3x \right )^5 & = & 1 \cdot  x^{10} \cdot 1 +  5 \cdot x^8 \cdot 3x + 10 \cdot x^6 \cdot 9x^2 + 10 \cdot x^4 \cdot 27x^3 \\\\ & & + 5 \cdot x^2 \cdot 81x^4 + 1 \cdot 1 \cdot 243x^5 \end{array}

 

3 Simplificando obtenemos

 

\left ( x^2 + 3x \right )^5 = x^{10} + 15 x^9 + 90 x^8 + 270 x^7 + 405 x^6 + 243x^5

 

2\left ( 3 \sqrt{5} - 2y \right )^4 =

1 Aplicamos el binomio de Newton

 

\begin{array}{rcl} \left ( 3 \sqrt{5} - 2y \right )^4 & = & \left (\begin{array}{c}4 \\ 0 \end{array}\right ) \left ( 3 \sqrt{5} \right )^4 (2y)^0 - \left (\begin{array}{c}4 \\ 1 \end{array}\right ) \left ( 3 \sqrt{5} \right )^3 (2y)^1 + \left (\begin{array}{c}4 \\ 2 \end{array}\right ) \left ( 3 \sqrt{5} \right )^2 (2y)^2 \\\\ & & - \left (\begin{array}{c}4 \\ 3 \end{array}\right ) \left ( 3 \sqrt{5} \right )^1 (2y)^3 + \left (\begin{array}{c}4 \\ 4 \end{array}\right ) \left ( 3 \sqrt{5} \right )^0 (2y)^4 \end{array}

 

2 Resolvemos las combinaciones

 

\begin{array}{rcl} \left ( 3 \sqrt{5} - 2y \right )^4 & = & 1 \cdot 2025 \cdot 1 - 4 \cdot 135 \sqrt{5} \cdot 2y + 6 \cdot 45 \cdot 4y^2 - 4 \cdot 3 \sqrt{5} \cdot 8y^3 \\\\ & & + 1 \cdot 1 \cdot 16 y^4 \end{array}

 

3 Simplificando obtenemos

 

\left (3 \sqrt{5} - 2y \right )^5 = 2025 - 1080 \sqrt{5} y + 1080 y^2 - 96 \sqrt{5} y^3 + 16 y^4

 

3 \left ( 4x + \cfrac{3}{y} \right )^6 =

1 Aplicamos el binomio de Newton

 

\begin{array}{rcl} \left ( 4x + \cfrac{3}{y} \right )^6 & = & \left (\begin{array}{c}6 \\ 0 \end{array}\right ) \left ( 4x \right )^6 \left (\cfrac{3}{y} \right )^0 + \left (\begin{array}{c}6 \\ 1 \end{array}\right ) \left ( 4x \right )^5 \left (\cfrac{3}{y} \right )^1 + \left (\begin{array}{c}6 \\ 2 \end{array}\right ) \left ( 4x \right )^4 \left (\cfrac{3}{y} \right )^2 \\\\ & & + \left (\begin{array}{c}6 \\ 3 \end{array}\right ) \left ( 4x \right )^3 \left (\cfrac{3}{y} \right )^3 + \left (\begin{array}{c}6 \\ 4 \end{array}\right ) \left ( 4x \right )^2 \left (\cfrac{3}{y} \right )^4 + \left (\begin{array}{c}6 \\ 5 \end{array}\right ) \left ( 4x \right )^1 \left (\cfrac{3}{y} \right )^5 \\\\ & & + \left (\begin{array}{c}6 \\ 6 \end{array}\right ) \left ( 4x \right )^0 \left (\cfrac{3}{y} \right )^6 \end{array}

 

2 Resolvemos las combinaciones

 

\begin{array}{rcl} \left ( 4x + \cfrac{3}{y} \right )^6 & = & 1 \cdot 4096 x^{6} \cdot 1 + 6 \cdot 1024 x^5 \cdot \cfrac{3}{y} + 15 \cdot 256 x^4 \cdot \cfrac{9}{y^2} + 20 \cdot 64 x^3 \cdot \cfrac{27}{y^3} \\\\ & & + 15 \cdot 16 x^2 \cdot \cfrac{81}{y^4} + 6 \cdot 4 x \cdot \cfrac{243}{y^5} + 1 \cdot 1 \cdot \cfrac{729}{y^6} \end{array}

 

3 Simplificando obtenemos

 

\left ( 4x + \cfrac{3}{y} \right )^6 = 4096 x^{6} + 18432 \cfrac{x^5}{y} + 34560 \cfrac{x^4}{y^2} + 34560 \cfrac{x^3}{y^3} + 19440 \cfrac{x^2}{y^4} + 5832 \cfrac{x}{y^5} + 729 \cfrac{1}{y^6}

 

4El término séptimo del desarrollo de \left ( x^3 + \cfrac{x}{2} \right )^9 =

Calculamos el séptimo término

 

T_7 = \left (\begin{array}{c}9 \\ 6 \end{array}\right ) \left ( x^3 \right )^3 \left (\cfrac{x}{2} \right )^6 = 84 \cdot x^9 \cdot \cfrac{x^6}{64} = \cfrac{21}{16} x^{15}

5El término sexto del desarrollo de \left ( 2y - x^5 \right )^{10} =

Calculamos el sexto término

 

T_6 = -\left (\begin{array}{c}10 \\ 5 \end{array}\right ) \left ( 2y \right )^5 \left (x^5 \right )^5 = -252 \cdot 32 y^5 \cdot x^{25} = -8064 y^5 x^{25}

 

Dado un número combinatorio \left (\begin{array}{c}m \\ n \end{array}\right ), definimos su complementario por el número combinatorio  \left (\begin{array}{c}m \\ m - n \end{array}\right ).

Calcula los complementarios de los siguientes números combinatorios:

 

6 \left (\begin{array}{c}100 \\ 98 \end{array}\right )

Solucion =

Sabemos que el complemento de \left (\begin{array}{c}m \\ n \end{array}\right ) es \left (\begin{array}{c}m \\ m - n \end{array}\right ), entonces el complemento buscado es

 

\left (\begin{array}{c}100 \\ 2 \end{array}\right )

 

7 \left (\begin{array}{c}20 \\ 17 \end{array}\right )

Solucion =

Sabemos que el complemento de \left (\begin{array}{c}m \\ n \end{array}\right ) es \left (\begin{array}{c}m \\ m - n \end{array}\right ), entonces el complemento buscado es

 

\left (\begin{array}{c}20 \\ 3 \end{array}\right )

8 \left (\begin{array}{c}34 \\ 34 \end{array}\right )

Solucion =

Sabemos que el complemento de \left (\begin{array}{c}m \\ n \end{array}\right ) es \left (\begin{array}{c}m \\ m - n \end{array}\right ), entonces el complemento buscado es

 

\left (\begin{array}{c}34 \\ 0 \end{array}\right )

9 \left (\begin{array}{c}11 \\ 1 \end{array}\right )

Solucion =

Sabemos que el complemento de \left (\begin{array}{c}m \\ n \end{array}\right ) es \left (\begin{array}{c}m \\ m - n \end{array}\right ), entonces el complemento buscado es

\left (\begin{array}{c}11 \\ 10 \end{array}\right )

 

Calcula las incógnitas utilizando las propiedades de los números combinatorios:

10 \left (\begin{array}{c}11 \\ a \end{array}\right) = \left (\begin{array}{c}b \\ 4 \end{array}\right )

a = b =

Igualando los términos tenemos:

a = 4, \ \ b = 11

11 \left (\begin{array}{c}x \\ 6 \end{array}\right) = \left (\begin{array}{c}x \\ 13 \end{array}\right )

a =

Utilizamos la propiedad \left (\begin{array}{c}m \\ n \end{array}\right) = \left (\begin{array}{c}m \\ m-n \end{array}\right ), entonces si igualamos las componentes de los números combinatorios queda:

x - 6 = 13

de donde se obtiene que x = 19

12 \left (\begin{array}{c}15 \\ 8 \end{array}\right) + \left (\begin{array}{c}x \\ y \end{array}\right) = \left (\begin{array}{c}z \\ 9 \end{array}\right )

x = y = z =

Utilizamos la propiedad \left (\begin{array}{c}m \\ n-1 \end{array}\right) + \left (\begin{array}{c}m \\ n \end{array}\right) = \left (\begin{array}{c}m+1 \\ n \end{array}\right ), entonces si igualamos las componentes de los números combinatorios queda:

 

15 = m

8 = n − 1

x = m

y = n

z = m + 1

 

Entonces:

x = 15, \ \ y = 9, \ \ z = 16

13 \left (\begin{array}{c}i \\ 3 \end{array}\right) + \left (\begin{array}{c}i \\ j \end{array}\right) = \left (\begin{array}{c}12 \\ 4 \end{array}\right )

i = j =

Utilizamos la propiedad \left (\begin{array}{c}m \\ n-1 \end{array}\right) + \left (\begin{array}{c}m \\ n \end{array}\right) = \left (\begin{array}{c}m+1 \\ n \end{array}\right ), entonces si igualamos las componentes de los números combinatorios queda:

 

i = m

12 = m + 1

3 = n − 1

j = n

4 = n

 

Entonces:

i = 11, \ \ j = 4

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗