Definición de número combinatorio

 

Los números combinatorios, coeficientes binomiales o combinaciones, se definen y denotan como:

 

\displaystyle C_{m}^{n} = \begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix} = \frac{m!}{n! (m - n)!}

 

en donde \qquad m \qquad y \qquad n \qquad son enteros y \qquad m \geq n > 0. El número combinatorio de arriba se lee como \qquad m \qquad sobre \qquad n.

 

Para ver un enfoque en combinatoria, podemos ver este artículo.

 

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Propiedades de los números combinatorios

 

Los números combinatorios presentan algunas propiedades muy interesantes:

 

    • Propiedad 1.

       

      \displaystyle \begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m\\ m - n \end{pmatrix}

       

      Ejemplo

       

      \displaystyle \begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix} = \frac{5!}{3! 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot \not{3} \cdot \not{2} \cdot \not{1}}{(\not{3} \cdot \not{2} \cdot \not{1})( 2 \cdot 1)} = 10.

       

      Sin embargo, por la propiedad 1 tenemos que para \qquad 5 - 3 = 2\qquad se cumple que

       

      \displaystyle \begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix} = 10

       

 

    • Propiedad 2.

       

      \displaystyle \begin{pmatrix} m\\ n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m - 1\\ n - 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} m - 1\\ n \end{pmatrix}

       

      Ejemplo. Calculemos

       

      \displaystyle \begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix}

       

      Por el ejercicio anterior tenemos

       

      \displaystyle \begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix} = 10

       

      Por lo tanto

       

      \displaystyle \begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix} = 20

       

 

    • Propiedad 3.

       

      \displaystyle \begin{pmatrix} m\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m\\ m \end{pmatrix} = 1

       

      Esto se debe a que

       

           \begin{align*} \begin{pmatrix} m\\ 0 \end{pmatrix} &= \frac{m!}{0! (m - 0)!}\\ &= \frac{m!}{m!}\\ &= 1 \end{align*}

       

      Animamos al estudiante a que de forma similar, haga el procedimiento que muestre el caso cuando \qquad n = m.

       

 

  • Propiedad 4.

     

    \displaystyle \begin{pmatrix} m\\ 1 \end{pmatrix} = m

     

    Esto se debe a que

     

         \begin{align*} \begin{pmatrix} m\\ 1 \end{pmatrix} &= \frac{m!}{1! (m - 1)!}\\ &= \frac{m \cdot (m-1) \cdot (m - 2) \cdots 1}{(m-1)\cdot (m - 2) \cdots 1}\\ &= m \end{align*}

     

 

Estas propiedades nos podrán ayudar a realizar cálculos de forma más rápida.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗