1 (2+3x)^{4}

 

(2+3x)^{4}

 

1 Aplicamos la fórmula del binomio de Newton:

 

\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}a^{n-k}\cdot b^{k}

 

=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \end{pmatrix}2^{4}+\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}2^{3}\cdot 3x+\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}2^{2}\cdot (3x)^{2}+\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}2\cdot (3x)^{3}+\begin{pmatrix} 4\\ 4 \end{pmatrix}(3x)^{4}

 

=16+96x+216x^{2}+216x^{3}+81x^{4}

2 (2-3y)^{4}

 

(2-3y)^{4}

 

1 Aplicamos la fórmula del binomio de Newton:

 

\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}a^{n-k}\cdot b^{k}

 

=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \end{pmatrix}2^{4}-\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}2^{3}\cdot 3y+\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}2^{2}\cdot (3y)^{2}-\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}2\cdot (3y)^{3}+\begin{pmatrix} 4\\ 4 \end{pmatrix}(3y)^{4}

 

=16-96y+216y^{2}-216y^{3}+81y^{4}

3 (4-x)^{7}

 

(4-x)^{7}

 

1 Aplicamos la fórmula del binomio de Newton:

 

\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}a^{n-k}\cdot b^{k}

 

=\begin{pmatrix} 7\\ 0 \end{pmatrix}4^{7}-\begin{pmatrix} 7\\ 1 \end{pmatrix}4^{6}x+\begin{pmatrix} 7\\ 2 \end{pmatrix}4^{5}x^{2}-\begin{pmatrix} 7\\ 3 \end{pmatrix}4^{4}x^{3} \begin{pmatrix} 7\\ 4 \end{pmatrix}4^{3}x^{4}-\begin{pmatrix} 7\\ 5 \end{pmatrix}4^{2}x^{5}+\begin{pmatrix} 7\\ 6 \end{pmatrix}4x^{6}-\begin{pmatrix} 7\\ 7 \end{pmatrix}x^{7}

 

=16384-28672x+21504x^{2}-8960x^{3}+2240x^{4}-336x^{5}+28x^{6}-x^{7}

4 (x-3)^{6}

 

(x-3)^{6}

 

1 Aplicamos la fórmula del binomio de Newton:

 

\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}a^{n-k}\cdot b^{k}

 

=\begin{pmatrix} 6\\ 0 \end{pmatrix}x^{6}-\begin{pmatrix} 6\\ 1 \end{pmatrix}x^{5}\cdot 3+\begin{pmatrix} 6\\ 2 \end{pmatrix}x^{4}\cdot 3^{2}-\begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix}x^{3}\cdot 3^{3}+\begin{pmatrix} 6\\ 4 \end{pmatrix}x^{2}\cdot 3^{4}-\begin{pmatrix} 6\\ 5 \end{pmatrix}x\cdot 3^{5}+\begin{pmatrix} 6\\ 6 \end{pmatrix}3^{6}

 

=x^{6}-18x^{5}+135x^{4}-540x^{3}+1215x^{2}-1458x+729

5 (x-2y)^{4}

 

(x-2y)^{4}

 

1 Aplicamos la fórmula del binomio de Newton:

 

\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}a^{n-k}\cdot b^{k}

 

=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \end{pmatrix}x^{4}-\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}x^{3}\cdot 2y+\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}x^{2}\cdot (2y)^{2}-\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}x\cdot (2y)^{3}+\begin{pmatrix} 4\\ 4 \end{pmatrix}(2y)^{4}

 

=x^{4}-8x^{3}y+24x^{2}y^{2}-32xy^{3}+16y^{4}

6 Hallar el término quinto del desarrollo de (x+2y)^{5}

 

Hallar el término quinto del desarrollo de (x+2y)^{5}.

 

1 Usamos la fórmula del binomio de Newton para calcular un término en particular:

 

T_{n}=\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}a^{n-k}\cdot b^{k}

 

T_{5}=\begin{pmatrix} 5\\ 4 \end{pmatrix}x\cdot (2y)^{4}=80xy^{4}

7 Calcular el término cuarto del desarrollo de (2-3y)^{4}

 

Calcular el término cuarto del desarrollo de (2-3y)^{4}

 

1 Usamos la fórmula del binomio de Newton para calcular un término en particular:

 

T_{n}=\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}a^{n-k}\cdot b^{k}

 

T_{4}=(-1)^{3}\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}2\cdot (3y)^{3}=-216y^{3}

8 Encontrar el término quinto del desarrollo de \left ( x-\cfrac{1}{x} \right )^{7}

 

Encontrar el término quinto del desarrollo de \left ( x-\cfrac{1}{x} \right )^{7}

 

1 Usamos la fórmula del binomio de Newton para calcular un término en particular:

 

T_{n}=\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}a^{n-k}\cdot b^{k}

 

T_{5}=(-1)^{4}\cdot \begin{pmatrix} 7\\ 4 \end{pmatrix}\cdot x^{3}\cdot \left ( \frac{1}{x} \right )^{4}=\frac{35}{x}

9 Buscar el término octavo del desarrollo de \left (x^{2}-3y^{3} \right )^{10}

 

Buscar el término octavo del desarrollo de \left (x^{2}-3y^{3} \right )^{10}

 

1 Usamos la fórmula del binomio de Newton para calcular un término en particular:

 

T_{n}=\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}a^{n-k}\cdot b^{k}

 

T_{8}=(-1)^{7}\begin{pmatrix} 10\\ 7 \end{pmatrix}(x^{2})^{3}(3y^{3})^{7}=-262440x^{6}y^{21}

10 Hallar el término independiente del desarrollo de \left ( a^{3}-\cfrac{2}{a} \right )^{20}

 

Hallar el término independiente del desarrollo de \left ( a^{3}-\cfrac{2}{a} \right )^{20}

 

1 Partimos de que el término general, k esta dado por:

 

T_{k}=(-1)^{k-1}\begin{pmatrix} 20\\ k-1 \end{pmatrix}\left ( a^{3} \right )^{21-k}\left ( \frac{2}{a} \right )^{k-1}

 

2 El exponente de a con el término independiente es 0, por tanto tomamos sólo la parte literal y la igualamos a a^{0}.

 

\left ( a^{3} \right )^{21-k}\cdot \left ( a^{-1} \right )^{k-1}=a^{0}

 

a^{63-3k-k-1}=a^{0}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; 64-4k=0\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; k=16

 

T_{16}=(-1)^{15}\begin{pmatrix} 20\\ 15 \end{pmatrix}\left ( a^{3} \right )^{5}\left ( \frac{2}{a} \right )^{15}=-508.035.072

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Marta

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Marin
Marin
Invité
5 Oct.

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Peter
Peter
Invité
26 Nov.

La actividad 4 está mal el último término es 729 no es 719

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
22 Feb.

Hola Peter,
 
agradecemos tu observación.
 
Ya hemos actualizado el ejercicio.

Puma
Puma
Invité
25 May.

Creo que esta mal la número 1,por qué creo que la multiplicación no sale 216 sale 198

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
24 Jun.

Hola,

Hemos revisado el ejercicio 1 y el coeficiente de x3 sí es 216, lo calculamos a continuación:

4C3 · 2 · (3x)3 = 4 · 2 · 27x3 = 216x3

Espero te haya quedado claro,
¡saludos!

Perez
Perez
Invité
3 Jun.

(X+5)3

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
29 Jun.

Hola,
 
aplicando la fórmula del binomio de Newton se tiene
(x+5)³=(3C0)x³+(3C1)x²(5)+(3C2)x(5)²+(3C3)(5)³
(x+5)³=x³+15x²+75x+125
 
Un saludo

Diaz
Diaz
Invité
16 Jun.

(2x-3y2)10

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
7 Jul.

Hola, te recomiendo nuestro artículo «El binomio de Newton» ya que se encuentra la fórmula que necesitas y los ejemplos vienen más detallados. Mientras tanto aplicando dicha fórmula y calculando los coeficientes binomiales, la respuesta es:

1024x10 – 15360x9 y2 + 11520x8 (-3y2)2 + 15360x7 (-3y2)3 + 13440x6 (-3y2)4 +8064x5 (-3y2)5 + 3360x4 (-3y2)6 + 960x3 (-3y2)7 + 180x2 (-3y2)8 + 20x(-3y2)9 + (-3y2)10

Te invitamos a desarrollar las potencias para luego simplificar, espero que la solución te sea útil,
¡saludos!

Espinoza Rios
Espinoza Rios
Invité
26 Jun.

El ejercicio numero 3 esta mal la respuesta

Juan Manuel Sanchez Perez
Juan Manuel Sanchez Perez
Editor
17 Jul.

¡Hola!

Acabo de verificar el resultado y tienes razón. Ya se corrigió la respuesta.

¡Muchas gracias por tus comentarios!

Jesus
Jesus
Invité
7 Jul.

Como sacaron el coeficiente binomial del 10

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
21 Jul.

Hola,
 
se solicita el término independiente, para ello se requiere que la división de las “a” nos de como resultado 1, esto sucede cuando k=15, ya que
 
(-1)^{15}\left( \begin{array}{c} 20 \\ 15 \end{array}\right)\left(a^3 \right)^{20-15}\left(\diplaystyle\frac{2}{a} \right)^{15}=-\left( \begin{array}{c} 20 \\ 15 \end{array}\right)a^{15}\left( \displaystyle\frac{2^{15}}{a^{15}}\right)= -\left( \begin{array}{c} 20 \\ 15 \end{array}\right) \cdot 2^{15}=-508,035,072
 
En el ejercicio 10 se muestra como encontrar el valor adecuado de k, para esto recuerda que a0=1, de esta forma ya no aparece la variable a.
 
Espero haber aclarado tu duda.
Un saludo