1 (2+3x)^{4}

 

(2+3x)^{4}

 

1 Aplicamos la fórmula del binomio de Newton:

 

\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}a^{n-k}\cdot b^{k}

 

=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \end{pmatrix}2^{4}+\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}2^{3}\cdot 3x+\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}2^{2}\cdot (3x)^{2}+\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}2\cdot (3x)^{3}+\begin{pmatrix} 4\\ 4 \end{pmatrix}(3x)^{4}

 

=16+96x+216x^{2}+216x^{3}+81x^{4}

2 (2-3y)^{4}

 

(2-3y)^{4}

 

1 Aplicamos la fórmula del binomio de Newton:

 

\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}a^{n-k}\cdot b^{k}

 

=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \end{pmatrix}2^{4}-\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}2^{3}\cdot 3y+\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}2^{2}\cdot (3y)^{2}-\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}2\cdot (3y)^{3}+\begin{pmatrix} 4\\ 4 \end{pmatrix}(3y)^{4}

 

=16-96y+216y^{2}-216y^{3}+81y^{4}

3 (4-x)^{7}

 

(4-x)^{7}

 

1 Aplicamos la fórmula del binomio de Newton:

 

\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}a^{n-k}\cdot b^{k}

 

=\begin{pmatrix} 7\\ 0 \end{pmatrix}4^{7}-\begin{pmatrix} 7\\ 1 \end{pmatrix}4^{6}x+\begin{pmatrix} 7\\ 2 \end{pmatrix}4^{5}x^{2}-\begin{pmatrix} 7\\ 3 \end{pmatrix}4^{4}x^{3} \begin{pmatrix} 7\\ 4 \end{pmatrix}4^{3}x^{4}-\begin{pmatrix} 7\\ 5 \end{pmatrix}4^{2}x^{5}+\begin{pmatrix} 7\\ 6 \end{pmatrix}4x^{6}-\begin{pmatrix} 7\\ 7 \end{pmatrix}x^{7}

 

=16384-28672x+21504x^{2}-8960x^{3}+2240x^{4}-336x^{5}+28x^{6}-x^{7}

4 (x-3)^{6}

 

(x-3)^{6}

 

1 Aplicamos la fórmula del binomio de Newton:

 

\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}a^{n-k}\cdot b^{k}

 

=\begin{pmatrix} 6\\ 0 \end{pmatrix}x^{6}-\begin{pmatrix} 6\\ 1 \end{pmatrix}x^{5}\cdot 3+\begin{pmatrix} 6\\ 2 \end{pmatrix}x^{4}\cdot 3^{2}-\begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix}x^{3}\cdot 3^{3}+\begin{pmatrix} 6\\ 4 \end{pmatrix}x^{2}\cdot 3^{4}-\begin{pmatrix} 6\\ 5 \end{pmatrix}x\cdot 3^{5}+\begin{pmatrix} 6\\ 6 \end{pmatrix}3^{6}

 

=x^{6}-18x^{5}+135x^{4}-540x^{3}+1215x^{2}-1458x+729

5 (x-2y)^{4}

 

(x-2y)^{4}

 

1 Aplicamos la fórmula del binomio de Newton:

 

\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}a^{n-k}\cdot b^{k}

 

=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \end{pmatrix}x^{4}-\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}x^{3}\cdot 2y+\begin{pmatrix} 4\\ 2 \end{pmatrix}x^{2}\cdot (2y)^{2}-\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}x\cdot (2y)^{3}+\begin{pmatrix} 4\\ 4 \end{pmatrix}(2y)^{4}

 

=x^{4}-8x^{3}y+24x^{2}y^{2}-32xy^{3}+16y^{4}

6 Hallar el término quinto del desarrollo de (x+2y)^{5}

 

Hallar el término quinto del desarrollo de (x+2y)^{5}.

 

1 Usamos la fórmula del binomio de Newton para calcular un término en particular:

 

T_{n}=\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}a^{n-k}\cdot b^{k}

 

T_{5}=\begin{pmatrix} 5\\ 4 \end{pmatrix}x\cdot (2y)^{4}=80xy^{4}

7 Calcular el término cuarto del desarrollo de (2-3y)^{4}

 

Calcular el término cuarto del desarrollo de (2-3y)^{4}

 

1 Usamos la fórmula del binomio de Newton para calcular un término en particular:

 

T_{n}=\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}a^{n-k}\cdot b^{k}

 

T_{4}=(-1)^{3}\begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}2\cdot (3y)^{3}=-216y^{3}

8 Encontrar el término quinto del desarrollo de \left ( x-\cfrac{1}{x} \right )^{7}

 

Encontrar el término quinto del desarrollo de \left ( x-\cfrac{1}{x} \right )^{7}

 

1 Usamos la fórmula del binomio de Newton para calcular un término en particular:

 

T_{n}=\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}a^{n-k}\cdot b^{k}

 

T_{5}=(-1)^{4}\cdot \begin{pmatrix} 7\\ 4 \end{pmatrix}\cdot x^{3}\cdot \left ( \frac{1}{x} \right )^{4}=\frac{35}{x}

9 Buscar el término octavo del desarrollo de \left (x^{2}-3y^{3} \right )^{10}

 

Buscar el término octavo del desarrollo de \left (x^{2}-3y^{3} \right )^{10}

 

1 Usamos la fórmula del binomio de Newton para calcular un término en particular:

 

T_{n}=\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}a^{n-k}\cdot b^{k}

 

T_{8}=(-1)^{7}\begin{pmatrix} 10\\ 7 \end{pmatrix}(x^{2})^{3}(3y^{3})^{7}=-262440x^{6}y^{21}

10 Hallar el término independiente del desarrollo de \left ( a^{3}-\cfrac{2}{a} \right )^{20}

 

Hallar el término independiente del desarrollo de \left ( a^{3}-\cfrac{2}{a} \right )^{20}

 

1 Partimos de que el término general, k esta dado por:

 

T_{k}=(-1)^{k-1}\begin{pmatrix} 20\\ k-1 \end{pmatrix}\left ( a^{3} \right )^{21-k}\left ( \frac{2}{a} \right )^{k-1}

 

2 El exponente de a con el término independiente es 0, por tanto tomamos sólo la parte literal y la igualamos a a^{0}.

 

\left ( a^{3} \right )^{21-k}\cdot \left ( a^{-1} \right )^{k-1}=a^{0}

 

a^{63-3k-k-1}=a^{0}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; 64-4k=0\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; k=16

 

T_{16}=(-1)^{15}\begin{pmatrix} 20\\ 15 \end{pmatrix}\left ( a^{3} \right )^{5}\left ( \frac{2}{a} \right )^{15}=-508.035.072

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗