El triángulo de números combinatorios de Tartaglia o de Pascal (debido a que fue este matemático quien lo popularizó) es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico. Que el triángulo sea simétrico, quiere decir que se ve igual desde la derecha que desde la izquierda

Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos.

Los números del triángulo de Pascal coinciden con los números combinatorios. El número combinatorio C_{n}^{m} (n sobre m) se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1.

     \[ C_{n}^{m} = \binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!} \]

Triangulo de Pascal

Propiedades del Triángulo de Pascal o de Tartaglia

1 El número superior es un 1, la segunda fila corresponde a los números combinatorios de 1, la tercera de 2, la cuarta de 3 y así sucesivamente.

2 Todas la filas empiezan y acaban en 1.

     \[ \binom{m}{0} = 1 \quad \quad \binom{m}{m} = 1 \]

3Todas las filas son simétricas.

     \[ \binom{m}{n} = \binom{m}{m-n} \]

4 Cada número se obtiene sumando los dos que están situados sobre él.

5 Diagonales: Notemos que la primera diagonal esta formada por solo "1" s, la siguiente diagonal la forman los números naturales (1,2,3,...), y la tercera diagonal son números triangulares.

6 Si el primer elemento de una fila es un número primo, todos los números de esa fila serán divisibles por él (menos el 1). Así, en la fila 7:\quad (1\quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1), los números 7,21 y 35 son divisibles por 7.

7 La suma de los elementos de cualquier fila es el resultado de elevar 2 al número que define a esa fila. Notemos:

    \begin{align*} 2^0 = 1\\ 2^1 = 1+1 = 2\\ 2^2 = 1+2+1 = 4\\ 2^3 = 1+3+3+1 = 8\\ 2^4 = 1+4+6+4+1 = 16 \end{align*}

El triángulo de Pascal o de Tartaglia nos será muy útil para calcular los coefecientes del binomio de Newton.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗