Elige la opción correcta:

1{\rm sen}(30^{\circ})= ...

Primero notemos que 30^{\circ}=90^{\circ}-60^{\circ}. Ahora utilizamos la siguiente formula para el seno de resta de ángulo:

    $${\rm sen}(\alpha-\beta)={\rm sen}(\alpha){\rm cos}(\beta)-{\rm sen}(\beta){\rm cos}(\alpha).$$

Y obtenemos,

    $${\rm sen}(30^{\circ})={\rm sen}(90^{\circ}-60^{\circ})={\rm sen}(90^{\circ}){\rm cos}(60^{\circ})-{\rm sen}(60^{\circ}){\rm cos}(90^{\circ})=$$

    $$(1){\rm cos}(60^{\circ})-{\rm sen}(60^{\circ})(0)={\rm cos}(60^{\circ})=\cfrac{1}{2}.$$

2{\rm sen}(60^{\circ})= ...

Primero notemos que 60^{\circ}=90^{\circ}-30^{\circ}. Ahora utilizamos la siguiente formula para el seno de resta de ángulo:

    $${\rm sen}(\alpha-\beta)={\rm sen}(\alpha){\rm cos}(\beta)-{\rm sen}(\beta){\rm cos}(\alpha).$$

Y obtenemos,

    $${\rm sen}(60^{\circ})={\rm sen}(90^{\circ}-30^{\circ})={\rm sen}(90^{\circ}){\rm cos}(30^{\circ})-{\rm sen}(30^{\circ}){\rm cos}(90^{\circ})=$$

    $$(1){\rm cos}(30^{\circ})-{\rm sen}(30^{\circ})(0)={\rm cos}(30^{\circ})=\cfrac{\sqrt{3}}{2}.$$

3{\rm cotg}(60^{\circ})= ...

De los problemas 1 y 2 tenemos que

    $${\rm cos}(60^{\circ})={\rm sen}(30^{\circ}),$$

    $${\rm sen}(60^{\circ})={\rm cos}(30^{\circ}).$$

De esto ultimo obtenemos lo siguiente

    $${\rm cotg}(60^{\circ})=\cfrac{{\rm cos}(60^{\circ})}{{\rm sen}(60^{\circ})}=\cfrac{{\rm sen}(30^{\circ})}{{\rm cos}(30^{\circ})}=$$

    $${\rm tg}(30^{\circ})=\cfrac{\sqrt{3}}{3}.$$

4{\rm cos}(30^{\circ})= ...

Primero notemos que 30^{\circ}=90^{\circ}-60^{\circ}. Ahora utilizamos la siguiente formula para el coseno de resta de ángulo:

    $${\rm cos}(\alpha-\beta)={\rm cos}(\alpha){\rm cos}(\beta)+{\rm sen}(\beta){\rm sen}(\alpha).$$

Y obtenemos,

    $${\rm cos}(30^{\circ})={\rm cos}(90^{\circ}-60^{\circ})={\rm cos}(90^{\circ}){\rm cos}(60^{\circ})+{\rm sen}(60^{\circ}){\rm sen}(90^{\circ})=$$

    $$(0){\rm cos}(60^{\circ})+{\rm sen}(60^{\circ})(1)={\rm sen}(60^{\circ})=\cfrac{\sqrt{3}}{2}.$$

5{\rm sen}(120^{\circ})= ...

Primero notemos que 120^{\circ}=180^{\circ}-60^{\circ}. Ahora utilizamos la siguiente formula para el seno de resta de ángulo:

    $${\rm sen}(\alpha-\beta)={\rm sen}(\alpha){\rm cos}(\beta)-{\rm sen}(\beta){\rm cos}(\alpha).$$

Y obtenemos,

    $${\rm sen}(120^{\circ})={\rm sen}(180^{\circ}-60^{\circ})={\rm sen}(180^{\circ}){\rm cos}(60^{\circ})-{\rm sen}(60^{\circ}){\rm cos}(180^{\circ})=$$

    $$(0){\rm cos}(60^{\circ})-{\rm sen}(60^{\circ})(-1)={\rm sen}(60^{\circ})=\cfrac{\sqrt{3}}{2}.$$

6{\rm sen}(135^{\circ})= ...

Primero notemos que 135^{\circ}=180^{\circ}-45^{\circ}. Ahora utilizamos la siguiente formula para el seno de resta de ángulo:

    $${\rm sen}(\alpha-\beta)={\rm sen}(\alpha){\rm cos}(\beta)-{\rm sen}(\beta){\rm cos}(\alpha).$$

Y obtenemos,

    $${\rm sen}(135^{\circ})={\rm sen}(180^{\circ}-45^{\circ})={\rm sen}(180^{\circ}){\rm cos}(45^{\circ})-{\rm sen}(45^{\circ}){\rm cos}(180^{\circ})=$$

    $$(0){\rm cos}(45^{\circ})-{\rm sen}(45^{\circ})(-1)={\rm sen}(45^{\circ})=\cfrac{\sqrt{2}}{2}.$$

7{\rm tg}(135^{\circ})= ...

Primero notemos que 135^{\circ}=180^{\circ}-45^{\circ}. Ahora utilizamos la siguiente formula para el coseno de resta de ángulo:

    $${\rm cos}(\alpha-\beta)={\rm cos}(\alpha){\rm cos}(\beta)+{\rm sen}(\beta){\rm sen}(\alpha).$$

Y obtenemos,

    $${\rm cos}(135^{\circ})={\rm cos}(180^{\circ}-45^{\circ})={\rm cos}(180^{\circ}){\rm cos}(45^{\circ})+{\rm sen}(45^{\circ}){\rm sen}(180^{\circ})=$$

    $$(-1){\rm cos}(45^{\circ})+{\rm sen}(45^{\circ})(0)=-{\rm cos}(45^{\circ}).$$

Dado que {\rm sen}(135^{\circ})={\rm sen}(45^{\circ}), concluimos que

    $${\rm tg}(135^{\circ})=\cfrac{{\rm sen}(135^{\circ})}{{\rm cos}(135^{\circ})}=\cfrac{{\rm sen}(45^{\circ})}{-{\rm cos}(45^{\circ})}=-{\rm tg}(45^{\circ})=-1.$$

8{\rm cos}(120^{\circ})= ...

Primero notemos que 120^{\circ}=180^{\circ}-60^{\circ}. Ahora utilizamos la siguiente formula para el coseno de resta de ángulo:

    $${\rm cos}(\alpha-\beta)={\rm cos}(\alpha){\rm cos}(\beta)+{\rm sen}(\beta){\rm sen}(\alpha).$$

Y obtenemos,

    $${\rm cos}(120^{\circ})={\rm cos}(180^{\circ}-60^{\circ})={\rm cos}(180^{\circ}){\rm cos}(60^{\circ})+{\rm sen}(60^{\circ}){\rm sen}(180^{\circ})=$$

    $$(-1){\rm cos}(60^{\circ})+{\rm sen}(60^{\circ})(0)=-{\rm cos}(60^{\circ})=-\cfrac{1}{2}.$$

9{\rm cos}(210^{\circ})= ...

Primero notemos que 210^{\circ}=180^{\circ}+30^{\circ}. Ahora utilizamos la siguiente formula para el coseno de suma de ángulo:

    $${\rm cos}(\alpha+\beta)={\rm cos}(\alpha){\rm cos}(\beta)-{\rm sen}(\beta){\rm sen}(\alpha).$$

Y obtenemos,

    $${\rm cos}(210^{\circ})={\rm cos}(180^{\circ}+30^{\circ})={\rm cos}(180^{\circ}){\rm cos}(30^{\circ})-{\rm sen}(30^{\circ}){\rm sen}(180^{\circ})=$$

    $$(-1){\rm cos}(30^{\circ})-{\rm sen}(60^{\circ})(0)=-{\rm cos}(30^{\circ})=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}.$$

10{\rm tg}(225^{\circ})= ...

Primero notemos que 225^{\circ}=180^{\circ}+45^{\circ}. Entonces tenemos que

    $${\rm tg}(225^{\circ})=\cfrac{{\rm sen}(225^{\circ})}{{\rm cos}(225^{\circ})}.$$

Ahora utilizando las formulas para el seno y coseno de suma de ángulos,

    $${\rm sen}(\alpha+\beta)={\rm sen}(\alpha){\rm cos}(\beta)+{\rm sen}(\beta){\rm cos}(\alpha),$$

    $${\rm cos}(\alpha+\beta)={\rm cos}(\alpha){\rm cos}(\beta)-{\rm sen}(\beta){\rm sen}(\alpha).$$

Obtenemos que

    $${\rm cos}(225^{\circ})={\rm cos}(180^{\circ}+45^{\circ})={\rm cos}(180^{\circ}){\rm cos}(45^{\circ})-{\rm sen}(45^{\circ}){\rm sen}(180^{\circ})=$$

    $$(-1){\rm cos}(45^{\circ})-{\rm sen}(45^{\circ})(0)=-{\rm cos}(45^{\circ})$$

    $${\rm sen}(225^{\circ})={\rm sen}(180^{\circ}+45^{\circ})={\rm sen}(180^{\circ}){\rm cos}(45^{\circ})+{\rm sen}(45^{\circ}){\rm cos}(180^{\circ})=$$

    $$(0){\rm cos}(45^{\circ})+{\rm sen}(45^{\circ})(-1)=-{\rm sen}(45^{\circ}).$$

Finalmente reemplazando en la formula inicial concluimos que

    $${\rm tg}(225^{\circ})=\cfrac{{\rm sen}(225^{\circ})}{{\rm cos}(225^{\circ})}=\cfrac{-{\rm sen}(45^{\circ})}{-{\rm cos}(45^{\circ})}={\rm tg}(45^{\circ})=1.$$

11{\rm sen}(270^{\circ})= ...

Primero notemos que 270^{\circ}=180^{\circ}+90^{\circ}. Ahora utilizamos la siguiente formula para el seno de suma de ángulo:

    $${\rm sen}(\alpha+\beta)={\rm sen}(\alpha){\rm cos}(\beta)+{\rm sen}(\beta){\rm cos}(\alpha).$$

Y obtenemos,

    $${\rm sen}(270^{\circ})={\rm sen}(180^{\circ}+90^{\circ})={\rm sen}(180^{\circ}){\rm cos}(90^{\circ})+{\rm sen}(90^{\circ}){\rm cos}(180^{\circ})=$$

    $$(0){\rm cos}(90^{\circ})+{\rm sen}(90^{\circ})(-1)=-{\rm sen}(90^{\circ})=-1.$$

12{\rm cos}(240^{\circ})= ...

Primero notemos que 240^{\circ}=180^{\circ}+60^{\circ}. Ahora utilizamos la siguiente formula para el coseno de suma de ángulo:

    $${\rm cos}(\alpha+\beta)={\rm cos}(\alpha){\rm cos}(\beta)-{\rm sen}(\beta){\rm sen}(\alpha).$$

Y obtenemos,

    $${\rm cos}(240^{\circ})={\rm cos}(180^{\circ}+60^{\circ})={\rm cos}(180^{\circ}){\rm cos}(60^{\circ})-{\rm sen}(60^{\circ}){\rm sen}(180^{\circ})=$$

    $$(-1){\rm cos}(60^{\circ})-{\rm sen}(60^{\circ})(0)=-{\rm cos}(60^{\circ})=-\cfrac{1}{2}.$$

Si tienes dudas puedes consultar la teoría aquí, aquí, aquí y aquí

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗