Funciones trigonométricas de diversos ángulos

 

Ángulos complementarios

 

Dos ángulos \alpha, \beta son complementarios si su suma es igual a 90^o que es lo mismo en radianes a \cfrac{\pi}{2}. Para dos ángulos complementarios se cumple:

 

\beta = \cfrac{\pi}{2} - \alpha

 

Expresamos las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente de un ángulo complementario en término de su complemento:

 

1sen \left ( \cfrac{\pi}{2} - \alpha \right ) = cos \, \alpha

 

2cos \left ( \cfrac{\pi}{2} - \alpha \right ) = sen \, \alpha

 

3tg \left ( \cfrac{\pi}{2} - \alpha \right ) = cotg \, \alpha

 

funciones trigonometricas de angulos complementarios

 

Ejemplo: Calcular

 

1 sen \, 60^o

 

El complemento del ángulo 60^o es 30^o , entonces

 

sen \, 60^o = sen(90^o - 30^o)

 

Empleamos la fórmula para el seno del complemento de un ángulo

 

\begin{array}{rcl} sen \, 60^o & = & sen(90^o - 30^o) \\\\  & = & cos \, 30^o \\\\  & = & \cfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

 

2 cos \, 60^o

 

El complemento del ángulo 60^o es 30^o , entonces

 

cos \, 60^o = cos (90^o - 30^o)

 

Empleamos la fórmula para el coseno del complemento de un ángulo

 

\begin{array}{rcl} cos \, 60^o & = & cos (90^o - 30^o) \\\\  & = & sen \, 30^o \\\\  & = & \cfrac{1}{2} \end{array}

 

3 tg \, 60^o

 

El complemento del ángulo 60^o es 30^o , entonces

 

tg \, 60^o = tg (90^o - 30^o)

 

Empleamos la fórmula para la tangente del complemento de un ángulo

 

\begin{array}{rcl} tg \, 60^o & = & tg (90^o - 30^o) \\\\  & = & cotg \, 30^o \\\\  & = & \sqrt{3} \end{array}

 

Ángulos suplementarios

 

Dos ángulos \alpha, \beta son suplementarios si su suma es igual a 180^o que es lo mismo en radianes a \pi. Para dos ángulos suplementarios se cumple:

 

\beta = \pi - \alpha

 

Expresamos las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente de un ángulo suplementario en término de su suplemento:

 

1sen \left ( \pi - \alpha \right ) = sen \, \alpha

 

2cos \left ( \pi - \alpha \right ) = -cos \, \alpha

 

3tg \left ( \pi - \alpha \right ) = -tg \, \alpha

 

funciones trigonometricas de angulos suplementarios

 

Ejemplo: Calcular

 

1 sen \, 150^o

 

El suplemento del ángulo 150^o es 30^o , entonces

 

sen \, 150^o = sen(180^o - 30^o)

 

Empleamos la fórmula para el seno del suplemento de un ángulo

 

\begin{array}{rcl} sen \, 150^o & = & sen(180^o - 30^o) \\\\  & = & sen \, 30^o \\\\  & = & \cfrac{1}{2} \end{array}

 

2 cos \, 150^o

 

El suplemento del ángulo 150^o es 30^o , entonces

 

cos \, 150^o = cos (180^o - 30^o)

 

Empleamos la fórmula para el coseno del suplemento de un ángulo

 

\begin{array}{rcl} cos \, 150^o & = & cos (180^o - 30^o) \\\\  & = & -cos \, 30^o \\\\  & = & -\cfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

 

3 tg \, 150^o

 

El suplemento del ángulo 150^o es 30^o , entonces

 

tg \, 150^o = tg (180^o - 30^o)

 

Empleamos la fórmula para la tangente del suplemento de un ángulo

 

\begin{array}{rcl} tg \, 150^o & = & tg (180^o - 30^o) \\\\  & = & -tg \, 30^o \\\\  & = & -\cfrac{\sqrt{3}}{3} \end{array}

 

Ángulos que difieren en 180^o

 

Expresamos las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente para este tipo de ángulos:

 

1sen \left ( \pi + \alpha \right ) = -sen \, \alpha

 

2cos \left ( \pi + \alpha \right ) = -cos \, \alpha

 

3tg \left ( \pi + \alpha \right ) = tg \, \alpha

funciones trigonometricas de angulos que difieren 180

 

Ejemplo: Calcular

 

1 sen \, 210^o

 

Este ángulo se expresa como 210^o = 180^o + 30^o, entonces

 

sen \, 150^o = sen(180^o + 30^o)

 

Empleamos la primera fórmula se obtiene

 

\begin{array}{rcl} sen \, 210^o & = & sen(180^o + 30^o) \\\\  & = & -sen \, 30^o \\\\  & = & -\cfrac{1}{2} \end{array}

 

2 cos \, 210^o

 

Este ángulo se expresa como 210^o = 180^o + 30^o, entonces

 

cos \, 210^o = cos (180^o + 30^o)

 

Empleamos la segunda fórmula y obtenemos

 

\begin{array}{rcl} cos \, 210^o & = & cos (180^o + 30^o) \\\\  & = & -cos \, 30^o \\\\  & = & -\cfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

 

3 tg \, 210^o

 

Este ángulo se expresa como 210^o = 180^o + 30^o, entonces

 

tg \, 210^o = tg (180^o + 30^o)

 

Empleamos la tercera fórmula y obtenemos

 

\begin{array}{rcl} tg \, 210^o & = & tg (180^o + 30^o) \\\\  & = & tg \, 30^o \\\\  & = & \cfrac{\sqrt{3}}{3} \end{array}

 

Ángulos opuestos

 

Expresamos las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente para este tipo de ángulos:

 

1sen \left ( 2\pi - \alpha \right ) = -sen \, \alpha

 

2cos \left ( 2\pi - \alpha \right ) = cos \, \alpha

 

3tg \left ( 2\pi - \alpha \right ) = -tg \, \alpha

 

funciones trigonometricas de angulos opuestos

 

Ejemplo: Calcular

 

1 sen \, 330^o

 

Este ángulo se expresa como 330^o = 360^o - 30^o, entonces

 

sen \, 330^o = sen(360^o - 30^o)

 

Empleamos la primera fórmula y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} sen \, 330^o & = & sen(360^o - 30^o) \\\\  & = & -sen \, 30^o \\\\  & = & -\cfrac{1}{2} \end{array}

 

2 cos \, 330^o

 

Este ángulo se expresa como 330^o = 360^o - 30^o, entonces

 

cos \, 330^o = cos (360^o - 30^o)

 

Empleamos la segunda fórmula y obtenemos

 

\begin{array}{rcl} cos \, 330^o & = & cos (360^o - 30^o) \\\\  & = & cos \, 30^o \\\\  & = & \cfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

 

3 tg \, 330^o

 

Este ángulo se expresa como 330^o = 360^o - 30^o, entonces

 

tg \, 330^o = tg (360^o - 30^o)

 

Empleamos la tercera fórmula y obtenemos

 

\begin{array}{rcl} tg \, 330^o & = & tg (360^o - 30^o) \\\\  & = & -tg \, 30^o \\\\  & = & -\cfrac{\sqrt{3}}{3} \end{array}

 

Ángulos negativos

 

Expresamos las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente para este tipo de ángulos:

 

1sen \left (- \alpha \right ) = -sen \, \alpha

 

2cos \left (- \alpha \right ) = cos \, \alpha

 

3tg \left (- \alpha \right ) = -tg \, \alpha

 

funciones trigonometricas de angulos negativos

 

Ejemplo: Calcular

 

1 sen (-30^o)

 

Empleamos la primera fórmula y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} sen (-30^o) & = & -sen \, 30^o \\\\  & = & -\cfrac{1}{2} \end{array}

 

2 cos (-30^o)

 

Empleamos la segunda fórmula y obtenemos

 

\begin{array}{rcl} cos (-30^o) & = & cos \, 30^o \\\\  & = & \cfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

 

3 tg (-30^o)

 

Empleamos la tercera fórmula y obtenemos

 

\begin{array}{rcl} tg (-30^o) & = & -tg \, 30^o \\\\  & = & -\cfrac{\sqrt{3}}{3} \end{array}

 

Ángulos mayores de 360^o

 

Expresamos las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente para este tipo de ángulos:

 

1sen \left ( 2\pi k + \alpha \right ) = sen \, \alpha

 

2cos \left ( 2\pi k + \alpha \right ) = cos \, \alpha

 

3tg \left ( 2\pi k + \alpha \right ) = tg \, \alpha

 

funciones trigonometricas de angulos mayores de 360

 

Ejemplo: Calcular

 

1 sen \, 750^o

 

Este ángulo se expresa como 750^o = 360^o \cdot 2 + 30^o, entonces

 

sen \, 750^o = sen(360^o \cdot 2 + 30^o)

 

Empleamos la primera fórmula y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} sen \, 750^o & = & sen(360^o \cdot 2 + 30^o) \\\\  & = & sen \, 30^o \\\\  & = & \cfrac{1}{2} \end{array}

 

2 cos \, 750^o

 

Este ángulo se expresa como 750^o = 360^o \cdot 2 + 30^o, entonces

 

cos \, 750^o = cos (360^o \cdot 2 + 30^o)

 

Empleamos la segunda fórmula y obtenemos

 

\begin{array}{rcl} cos \, 750^o & = & cos (360^o \cdot 2 + 30^o) \\\\  & = & cos \, 30^o \\\\  & = & \cfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

 

3 tg \, 750^o

 

Este ángulo se expresa como 750^o = 360^o \cdot 2 + 30^o, entonces

 

tg \, 750^o = tg (360^o \cdot 2 + 30^o)

 

Empleamos la tercera fórmula y obtenemos

 

\begin{array}{rcl} tg \, 750^o & = & tg (360^o \cdot 2 + 30^o) \\\\  & = & tg \, 30^o \\\\  & = & \cfrac{\sqrt{3}}{3} \end{array}

 

Ángulos que difieren en 90^o

 

Expresamos las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente para este tipo de ángulos:

 

1sen \left ( \cfrac{\pi}{2} + \alpha \right ) = cos \, \alpha

 

2cos \left ( \cfrac{\pi}{2} + \alpha \right ) = -sen \, \alpha

 

3tg \left ( \cfrac{\pi}{2} + \alpha \right ) = -cotg \, \alpha

 

funciones trigonometricas de angulos que difieren 90

 

Ejemplo: Calcular

 

1 sen \, 120^o

 

Este ángulo se expresa como 120^o = 90^o + 30^o, entonces

 

sen \, 120^o = sen(90^o + 30^o)

 

Empleamos la primera fórmula y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} sen \, 120^o & = & sen(90^o + 30^o) \\\\  & = & cos \, 30^o \\\\  & = & \cfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

 

2 cos \, 120^o

 

Este ángulo se expresa como 120^o = 90^o + 30^o, entonces

 

cos \, 120^o = cos (90^o  + 30^o)

 

Empleamos la segunda fórmula y obtenemos

 

\begin{array}{rcl} cos \, 120^o & = & cos (90^o  + 30^o) \\\\  & = & -sen \, 30^o \\\\  & = & -\cfrac{1}{2} \end{array}

 

3 tg \, 120^o

 

Este ángulo se expresa como 120^o = 90^o  + 30^o, entonces

 

tg \, 120^o = tg (90^o + 30^o)

 

Empleamos la tercera fórmula y obtenemos

 

\begin{array}{rcl} tg \, 120^o & = & tg (90^o + 30^o) \\\\  & = & -cotg \, 30^o \\\\  & = & -\sqrt{3} \end{array}

 

 

Ángulos que suman en 270^o

 

Expresamos las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente para este tipo de ángulos:

 

1sen \left ( \cfrac{3 \pi}{2} - \alpha \right ) = -cos \, \alpha

 

2cos \left ( \cfrac{3 \pi}{2} - \alpha \right ) = -sen \, \alpha

 

3tg \left ( \cfrac{3 \pi}{2} - \alpha \right ) = cotg \, \alpha

 

funciones trigonometricas de angulos que suman 270

 

Ejemplo: Calcular

 

1 sen \, 240^o

 

Este ángulo se expresa como 240^o = 270^o - 30^o, entonces

 

sen \, 240^o = sen(270^o - 30^o)

 

Empleamos la primera fórmula y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} sen \, 240^o & = & sen(270^o - 30^o) \\\\  & = & -cos \, 30^o \\\\  & = & -\cfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

 

2 cos \, 240^o

 

Este ángulo se expresa como 240^o = 270^o - 30^o, entonces

 

cos \, 240^o = cos (270^o  - 30^o)

 

Empleamos la segunda fórmula y obtenemos

 

\begin{array}{rcl} cos \, 240^o & = & cos (270^o  - 30^o) \\\\  & = & -sen \, 30^o \\\\  & = & -\cfrac{1}{2} \end{array}

 

3 tg \, 240^o

 

Este ángulo se expresa como 240^o = 270^o  - 30^o, entonces

 

tg \, 240^o = tg (270^o - 30^o)

 

Empleamos la tercera fórmula y obtenemos

 

\begin{array}{rcl} tg \, 240^o & = & tg (270^o - 30^o) \\\\  & = & cotg \, 30^o \\\\  & = & \sqrt{3} \end{array}

 

 

 

Ángulos que difieren en 270^o

 

Expresamos las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente para este tipo de ángulos:

 

1sen \left ( \cfrac{3 \pi}{2} + \alpha \right ) = -cos \, \alpha

 

2cos \left ( \cfrac{3 \pi}{2} + \alpha \right ) = sen \, \alpha

 

3tg \left ( \cfrac{3 \pi}{2} + \alpha \right ) = -cotg \, \alpha

 

funciones trigonometricas de angulos que difieren 270

 

Ejemplo: Calcular

 

1 sen \, 300^o

 

Este ángulo se expresa como 300^o = 270^o + 30^o, entonces

 

sen \, 300^o = sen(270^o + 30^o)

 

Empleamos la primera fórmula y se obtiene

 

\begin{array}{rcl} sen \, 300^o & = & sen(270^o + 30^o) \\\\  & = & -cos \, 30^o \\\\  & = & -\cfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

 

2 cos \, 300^o

 

Este ángulo se expresa como 300^o = 270^o + 30^o, entonces

 

cos \, 300^o = cos (270^o  + 30^o)

 

Empleamos la segunda fórmula y obtenemos

 

\begin{array}{rcl} cos \, 300^o & = & cos (270^o  + 30^o) \\\\  & = & sen \, 30^o \\\\  & = & \cfrac{1}{2} \end{array}

 

3 tg \, 300^o

 

Este ángulo se expresa como 300^o = 270^o  + 30^o, entonces

 

tg \, 300^o = tg (270^o + 30^o)

 

Empleamos la tercera fórmula y obtenemos

 

\begin{array}{rcl} tg \, 300^o & = & tg (270^o + 30^o) \\\\  & = & -cotg \, 30^o \\\\  & = & -\sqrt{3} \end{array}

 

 

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Ejercicios

Calcula las razones de los siguientes ángulos:

 

 1  225^o

 1 Este ángulo se expresa como 225^o = 180^o + 45^o, entonces empleamos la fórmula para ángulos que difieren 180^o

 

2 Calculamos sen \, 225^o

 

\begin{array}{rcl} sen \, 225^o & = & sen(180^o + 45^o) \\\\  & = & -sen \, 45^o \\\\  & = & -\cfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array}

 

3 Calculamos cos \, 225^o

 

\begin{array}{rcl} cos \, 225^o & = & cos (180^o + 45^o) \\\\  & = & -cos \, 45^o \\\\  & = & -\cfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array}

 

4 Calculamos tg \, 225^o

 

\begin{array}{rcl} tg \, 225^o & = & tg (180^o + 45^o) \\\\  & = & tg \, 45^o \\\\  & = & 1 \end{array}

 

 

 

 2  330^o

 1 Este ángulo se expresa como 330^o = 360^o - 30^o, entonces empleamos la fórmula para ángulos opuestos

 

2 Calculamos sen \, 330^o

 

\begin{array}{rcl} sen \, 330^o & = & sen(360^o - 30^o) \\\\  & = & -sen \, 30^o \\\\  & = & -\cfrac{1}{2} \end{array}

 

3 Calculamos cos \, 330^o

 

\begin{array}{rcl} cos \, 330^o & = & cos (360^o - 30^o) \\\\  & = & cos \, 30^o \\\\  & = & \cfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

 

4 Calculamos tg \, 330^o

 

\begin{array}{rcl} tg \, 330^o & = & tg (360^o - 30^o) \\\\  & = & -tg \, 30^o \\\\  & = & -\cfrac{\sqrt{3}}{3} \end{array}

 

 

 

 3  2655^o

 1 Este ángulo se expresa como 2655^o = 360^o \cdot 7 + 135^o, entonces empleamos la fórmula para ángulos mayores de 360^o

 

2 Calculamos sen \, 2655^o

 

\begin{array}{rcl} sen \, 2655^o & = & sen(360^o \cdot 7 + 135^o) \\\\  & = & sen \, 135^o  \end{array}

 

Aplicamos la fórmula para ángulos suplementarios

 

\begin{array}{rcl} sen \, 135^o & = & sen(180^o - 45^o) \\\\  & = & sen \, 45^o  \\\\  & = & \cfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array}

 

3 Calculamos cos \, 2655^o

 

\begin{array}{rcl} cos \, 2655^o & = & cos (360^o \cdot 7 + 135^o) \\\\  & = & cos \, 135^o  \end{array}

 

Aplicamos la fórmula para ángulos suplementarios

 

\begin{array}{rcl} cos \, 135^o & = & cos (180^o - 45^o) \\\\  & = & -cos \, 45^o  \\\\  & = & -\cfrac{\sqrt{2}}{2}  \end{array}

 

4 Calculamos tg \, 2655^o

 

\begin{array}{rcl} tg \, 2655^o & = & tg (360^o \cdot 7 + 135^o) \\\\  & = & tg \, 135^o  \end{array}

 

Aplicamos la fórmula para ángulos suplementarios

 

\begin{array}{rcl} tg \, 135^o & = & tg (180^o - 45^o) \\\\  & = & -tg \, 45^o  \\\\  & = &  -1 \end{array}

 

 

 4  -840^o

 1 Este ángulo se expresa como -840^o = 360^o \cdot (-2) - 120^o, entonces empleamos la fórmula para ángulos mayores de 360^o

 

2 Calculamos sen \, (-840^o)

 

\begin{array}{rcl} sen \, (-840^o) & = & sen(360^o \cdot (-2) - 120^o) \\\\  & = & sen \, (-120^o)  \end{array}

 

Aplicamos la fórmula para ángulos negativos y luego la de ángulos suplementarios

 

\begin{array}{rcl} sen \, (-120^o) & = & -sen(180^o - 60^o) \\\\  & = & -sen \, 60^o  \\\\  & = & -\cfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

 

3 Calculamos cos \, (-840^o)

 

\begin{array}{rcl} cos \, (-840^o) & = & cos (360^o \cdot (-2) - 120^o) \\\\  & = & cos \, (-120^o)  \end{array}

 

Aplicamos la fórmula para ángulos negativos y luego la de ángulos suplementarios

 

\begin{array}{rcl} cos \, (-120^o) & = & cos (180^o - 60^o) \\\\  & = & -cos \, 60^o  \\\\  & = & -\cfrac{1}{2}  \end{array}

 

4 Calculamos tg \, (-840^o)

 

\begin{array}{rcl} tg \, (-840^o) & = & tg (360^o \cdot (-2) - 120^o) \\\\  & = & tg \, (-120^o)  \end{array}

 

Aplicamos la fórmula para ángulos ángulos negativos y luego la de suplementarios

 

\begin{array}{rcl} tg \, (-120^o) & = & -tg (180^o - 60^o) \\\\  & = & tg \, 60^o  \\\\  & = &  \sqrt{3} \end{array}

 

 

 5  -150^o

 1 Empleamos las fórmulas para ángulos negativos y seguidamente la fórmula para ángulos suplementarios

 

2 Calculamos sen \, (-150^o)

 

\begin{array}{rcl} sen \, (-150^o) & = & -sen \, 150^o \\\\  & = & -sen \, (180^o - 30^o) \\\\   & = & -sen \, 30^o  \\\\  & = & -\cfrac{1}{2} \end{array}

 

3 Calculamos cos \, (-150^o)

 

\begin{array}{rcl} cos \, (-150^o) & = & cos \, 150^o \\\\  & = & cos (180^o - 30^o) \\\\  & = & -cos \, 30^o  \\\\  & = & -\cfrac{\sqrt{3}}{2}  \end{array}

 

4 Calculamos tg \, (-150^o)

 

\begin{array}{rcl} tg \, (-815^o) & = & -tg  \, 150^o \\\\  & = & -tg (180^o - 30^o) \\\\  & = & tg \, 30^o  \\\\  & = &  \cfrac{\sqrt{3}}{3} \end{array}

 

 

 6  1740^o

 1 Este ángulo se expresa como 1740^o = 360^o \cdot 4 + 300^o, entonces empleamos la fórmula para ángulos mayores de 360^o

 

2 Calculamos sen \, 1740^o

 

\begin{array}{rcl} sen \, 1740^o & = & sen(360^o \cdot 4 + 300^o) \\\\  & = & sen \, 300^o  \end{array}

 

Aplicamos la fórmula para ángulos que difieren en 270^o

 

\begin{array}{rcl} sen \, 300^o & = & sen(270^o + 30^o) \\\\  & = & -cos \, 30^o  \\\\  & = & -\cfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

 

3 Calculamos cos \, 1740^o

 

\begin{array}{rcl} cos \, 1740^o & = & cos (360^o \cdot 4 + 300^o) \\\\  & = & cos \, 300^o  \end{array}

 

Aplicamos la fórmula para ángulos que difieren en 270^o

 

\begin{array}{rcl} cos \, 300^o & = & cos (270^o + 30^o) \\\\  & = & sen \, 30^o  \\\\  & = & \cfrac{1}{2}  \end{array}

 

4 Calculamos tg \, 1740^o

 

\begin{array}{rcl} tg \, 1740^o & = & tg (360^o \cdot 4 + 300^o) \\\\  & = & tg \, 300^o  \end{array}

 

Aplicamos la fórmula para ángulos que difieren en 270^o

 

\begin{array}{rcl} tg \, 300^o & = & tg (270^o + 30^o) \\\\  & = & -cotg \, 30^o  \\\\  & = &  -\sqrt{3} \end{array}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗