En el estudio de ángulo notables tenemos los ángulo complementarios y suplementarios, adicionalmente tenemos la definición de ángulos opuestos. Diremos que dos ángulos \alpha y \beta son opuestos en el plano, si la suma de sus medidas es igual a 360^{\circ} o 2\pi} radianes, esto es,

    $$\alpha+\beta=360^{\circ}(=2\pi).$$

De esta forma \beta=2\pi-\alpha.

Adicionalmente tenemos las siguientes relaciones para la resta de ángulos de las funciones seno, coseno y tangente,

    $${\rm sen}(2\pi-\alpha)={\rm sen}(2\pi)\cos(\alpha)-\cos(2\pi){\rm sen}(\alpha)=-{\rm sen}(\alpha),$$

    $$\cos(2\pi-\alpha)=\cos(2\pi)\cos(\alpha)+{\rm sen}(2\pi){\rm sen}(\alpha)=\cos(\alpha),$$

    $$\tan(2\pi-\alpha)=\cfrac{{\rm sen}(2\pi-\alpha)}{\cos(2\pi-\alpha)}=\cfrac{-{\rm sen}(\alpha)}{\cos(\alpha)}=-\tan(\alpha).$$

 

Ejemplo

1 Dado el ángulos \alpha=30^{\circ}, calcular su ángulo opuesto y además sus respectivos valores para las funciones seno, coseno y tangente.

Primero consideramos la siguiente figura

ángulos contrarios

De la figura podemos notar que el ángulo opuesta es \beta=330^{\circ}, en efecto

    $$\alpha+\beta=30^{\circ}+330^{\circ}=360^{\circ}.$$

Ahora para las funciones seno, coseno y tangente tenemos lo siguiente

    $${\rm sen}(360^{\circ}-\alpha)={\rm sen}(360^{\circ}-30^{\circ})={\rm sen}(330^{\circ})=-{\rm sen}(30^{\circ})=-\cfrac{1}{2}.$$

    $$\cos(360^{\circ}-\alpha)=\cos(360^{\circ}-30^{\circ})=\cos(330^{\circ})=\cos(30^{\circ})=\cfrac{\sqrt{3}}{2}.$$

    $$\tan(360^{\circ}-\alpha)=\tan(360^{\circ}-30^{\circ})=\tan(330^{\circ})=-\tan(30^{\circ})=-\cfrac{\sqrt{3}}{3}.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗