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En trigonometría tenemos muchas identidades que relaciones las funciones seno, coseno y tangente, tales como la identidad para el seno, coseno o tangente de suma o resta de ángulo. En este caso mostramos las razones correspondientes a el seno, coseno y tangente para la mitad de un ángulo.Dado un ángulo A consideremos las siguientes identidades trigonométricas,

    $$\cos^{2}(A)+{\rm sen}^{2}(A)=1,$$

    $$\cos(A)={\rm cos}\left(\cfrac{A}{2}+\cfrac{A}{2}\right)={\rm cos}^{2}\left(\cfrac{A}{2}\right)-{\rm sen}^{2}\left(\cfrac{A}{2}\right).$$

Seno del ángulo mitad

Utilizando las identidades anteriores obtenemos la siguiente formula para el seno de la mitad de un ángulo A,

    $${\rm sen}^{2}\left(\cfrac{A}{2}\right)={\rm cos}^{2}\left(\cfrac{A}{2}\right)-\cos(A)=$$

    $$1-{\rm sen}^{2}\left(\cfrac{A}{2}\right)-\cos(A),$$

    $$2{\rm sen}^{2}\left(\cfrac{A}{2}\right)=1-\cos(A)$$

Finalmente, dividiendo por dos y sacando raíz obtenemos,

    $${\rm sen}\left(\cfrac{A}{2}\right)=\pm\sqrt{\cfrac{1-\cos(A)}{2}}$$

Ejemplo

Como ejemplo tomamos el ángulo A=22^{\circ}30' y deseamos calcular seno de este ángulo,

    $${\rm sen}\left(22^{\circ}30'\right)={\rm sen}\left(\cfrac{45^{\circ}}{2}\right)=\sqrt{\cfrac{1-\cos(45^{\circ})}{2}}=$$

    $$\sqrt{\cfrac{1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\cfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$$

 

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Vamos

Coseno del ángulo mitad

Utilizando las identidades anteriores obtenemos la siguiente formula para el coseno de la mitad de un ángulo A,

    $${\rm cos}^{2}\left(\cfrac{A}{2}\right)={\rm sen}^{2}\left(\cfrac{A}{2}\right)+\cos(A)=$$

    $$1-{\rm cos}^{2}\left(\cfrac{A}{2}\right)+\cos(A),$$

    $$2{\rm cos}^{2}\left(\cfrac{A}{2}\right)=1+\cos(A)$$

Finalmente, dividiendo por dos y sacando raíz obtenemos,

    $${\rm cos}\left(\cfrac{A}{2}\right)=\pm\sqrt{\cfrac{1+\cos(A)}{2}}$$

Ejemplo

Como ejemplo tomamos el ángulo A=22^{\circ}30' y deseamos calcular coseno de este ángulo,

    $${\rm cos}\left(22^{\circ}30'\right)={\rm cos}\left(\cfrac{45^{\circ}}{2}\right)=\sqrt{\cfrac{1+\cos(45^{\circ})}{2}}=$$

    $$\sqrt{\cfrac{1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\cfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$$

 

Tangente del ángulo mitad

Utilizando las formulas para el seno y el coseno de un ángulo medio obtenemos una formula para la tangente de un ángulo medio,

    $${\rm tg}\left(\cfrac{A}{2}\right)=\cfrac{{\rm sen}\left(\cfrac{A}{2}\right)}{{\rm cos}\left(\cfrac{A}{2}\right)}=\cfrac{\pm\sqrt{\cfrac{1-\cos(A)}{2}}}{\pm\sqrt{\cfrac{1+\cos(A)}{2}}},$$

Finalmente obtenemos que

    $${\rm tg}\left(\cfrac{A}{2}\right)=\sqrt{\cfrac{1-\cos(A)}{1+\cos(A)}}$$

Ejemplo

Como ejemplo tomamos el ángulo A=22^{\circ}30' y deseamos calcular tangente de este ángulo,

    $${\rm tg}\left(22^{\circ}30'\right)=\sqrt{\cfrac{1-\cos(45^{\circ})}{1+\cos(45^{\circ})}}=\sqrt{\cfrac{1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}}}=$$

    $$\cfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=-1+\sqrt{2}$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗