1 Sabiendo que {\csc \alpha = 3,} calcular las restantes razones trigonométricas.

La cosecante es positiva en dos cuadrantes, los valores de {a, b} y {c} serán los mismos valores para ambos cuadrantes, la diferencia entre los casos son los signos de algunas razones trigonométricas. Entonces comenzamos por encontrar los valores de {a, b} y {c}.La definición de la cosecante es {\csc \alpha = \frac{c}{b} = \frac{3}{1}}, por lo tanto {b = 1 \textup{ y } c =3}, ahora calculamos el valor de {a} usando pitágoras,{c^2 = a^2 + b^2 } {a^2 = c^2 - b^2 } {a^2 = 3^2 - 1^2 } {a^2 = 9 - 1 } {a^2 = 8} {a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}}
1 1er cuadrante
En este cuadrante todas las razones trigonométricas son positivas:{\sin \alpha = \frac{b}{c} = \frac{1}{3}} {\cos \alpha = \frac{a}{c} = \frac{2\sqrt{2}}{3}} {\tan \alpha = \frac{b}{a} = \frac{1}{2\sqrt{2}}} {\cot\alpha = \frac{a}{b} = \frac{2\sqrt{2}}{1} = 2\sqrt{2}} {\sec \alpha = \frac{c}{a} = \frac{3}{2\sqrt{2}}}
2 2do cuadrante
En este cuadrante algunas razones trigonométricas tienen signo negativo, ya que el valor de {a} en este cuadrante es negativo:{\sin \alpha = \frac{b}{c} = \frac{1}{3}} {\cos \alpha = \frac{-a}{c} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}} {\tan \alpha = \frac{b}{-a} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}} {\cot\alpha = \frac{-a}{b} = -\frac{2\sqrt{2}}{1} = -2\sqrt{2}} {\sec \alpha = \frac{c}{-a} = -\frac{3}{2\sqrt{2}}}

2 Calcula las razones de los siguientes ángulos:

a {-150º}
b {1740º}

Recordemos que dependiendo de la función, los ángulos negativos pueden o no, hacer a la función negativa. Además que cuando tenemos ángulos mayores de 90º buscamos expresar el ángulo de la siguiente forma {n\cdot 90 \pm \alpha} dónde si {n} es par entonces es igual a la función de {\alpha}, es decir,
{f(n\cdot 90 \pm \alpha) = f(\alpha)}, donde {f} representa a las funciones trigonométricas.
También es importante recordar que las funciones tienen diferentes signos dependiendo del cuadrante en el que se encuentren.

a {-150º}

 

Vamos a calcular las funciones trigonométricas, observemos que {n = 2} entonces estamos en el cuadrante II, por lo tanto tenemos que considerar el signo de cada una de las funciones,

{\sin (-150) = -\sin 150 = -\sin (180-30) = -\sin 30 = -\frac{1}{2}}

{\cos (-150) = \cos 150 = \cos (180-30) = -\cos 30 = \frac{\sqrt{3}}{2}}

{\tan (-150) = -\tan 150 = -\tan (180-30) = -(-\tan 30) = \frac{\sqrt{3}}{3}}

{\cot (-150) = -\cot 150 = -\cot (180-30) = -(-\cot 30) = \frac{3}{\sqrt{3}}}

{\sec (-150) = \sec 150 = \sec (180-30) = -\sec 30 = -\frac{2}{\sqrt{3}}}

{\csc (-150) = -\csc 150 = -\csc (180-30) = -\csc 30 = -2}

b {1740º}

 

Seguimos teniendo un ángulo mayor que 90º, de hecho es más grande que 360º, por lo tanto comenzamos por dividir el ángulo entre 360, para encontrar su equivalente:

{1740 \div 360 = 4} y tenemos un residuo de {300}, el cual es el equivalente, por lo tanto calcularemos las funciones trigonométricas para el ángulo {300}.

{\sin 1740 = \sin 300 = \sin (360 - 60) = -\sin 60 = -\frac{\sqrt{3}}{2}}

{\cos 1740 = \cos 300 = \cos (360 - 60) = \cos 60 = \frac{1}{2}}

{\tan 1740 = \tan 300 = \tan (360 - 60) = -\tan 60 = -\sqrt{3}

{\cot 1740 = \cot 300 = \cot (360 - 60) = -\cot 60 = -\frac{1}{\sqrt{3}}}

{\sec 1740 = \sec 300 = \sec (360 - 60) = \sec 60 = 2}

{\csc 1740 = \csc 300 = \csc (360 - 60) = -\csc 60 = - \frac{2}{\sqrt{3}} }

3 Simplificar las fracciones:

a {\cfrac{1 + \tan ^2x}{1 + \cot^2x}}

b {\cfrac{\sec^2a - \cos^2a}{\tan^2a}}

c {\cfrac{\csc^2a - \sin^2a}{\csc^2a\cdot(2-\cos^2a)}}

Para simplificar las fracciones tenemos que recordar tanto las funciones trigonométricas y sus definiciones como también algunas identidades trigonométricas.

a {\cfrac{1 + \tan ^2x}{1 + \cot^2x}}

Comenzaremos aplicando directamente las correspondientes identidades trigonométricas y posteriormente cambiamos la definición de secante y cosecante,

{\cfrac{1 + \tan ^2x}{1 + \cot^2x} = \cfrac{\sec^2x}{\csc^2x} = \cfrac{\cfrac{1}{\cos^2x}}{\cfrac{1}{\sin^2x}}}

Para finalmente hacer la división de fracciones y encontrar la definición de tangente.

{= \cfrac{\sin^2x}{\cos^2x} =\tan^2x}
b {\cfrac{\sec^2a - \cos^2a}{\tan^2a}}

Comenzamos por usar la definición de secante, hacer la resta y división de fracciones,

{\cfrac{\sec^2a - \cos^2a}{\tan^2a} = \cfrac{\cfrac{1}{\cos^2a} - \cos^2a}{\tan^2a} = \cfrac{\cfrac{1-\cos^4a}{\cos^2a}}{\tan^2a}}

Convertimos la diferencia de cuadrados en binomios conjugados y cambiamos la definición de tangente.

{= \cfrac{1-\cos^4a}{\cos^2a\cdot\tan^2a} = \cfrac{(1-\cos^2a)(1+\cos^2a)}{\cos^2a\cdot \cfrac{\sin^2x}{\cos^2x}}}

Se cancelan los cosenos y usamos la identidad {\sin^2x + \cos^2x = 1}

{= \cfrac{(1-\cos^2a)(1+\cos^2a)}{1-\cos^2x} = 1 + \cos^2a}

 

c {\cfrac{\csc^2a - \sin^2a}{\csc^2a\cdot(2-\cos^2a)}}

Comenzamos por separar las fracciones y simplificar,

{\cfrac{\csc^2a - \sin^2a}{\csc^2a\cdot(2-\cos^2a)} = \cfrac{\csc^2a}{\csc^2a\cdot (2-\cos^2a)} - \cfrac{\sin^2a}{\csc^2a \cdot (2-\cos^2a)}}

Volvemos a juntar la resta y separamos el número 2 para poder usar la identidad {\sin^2x + \cos^2x = 1}

{= \cfrac{1}{2-\cos^2a} - \cfrac{\sin^4a}{2-\cos^2a} = \cfrac{1-\sin^4a}{1+1-\cos^2a} = \cfrac{1 - \sin^4a}{1+\sin^2a}}

Convertimos la diferencia de cuadrados en binomios conjugados y volvemos a aplicar la identidad {\sin^2x + \cos^2x = 1}

{= \cfrac{(1+\sin^2a)(1-\sin^2a)}{1+\sin^2a} = 1-\sin^2a = \cos^2a}

4Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49 centímetros de radio.

Comenzamos por calcular el valor del ángulo,

Octágono inscrito en circunferencia
Cómo es un polígono regular, calcular el valor del ángulo es equivalente a dividir 360º entre el número de lados.{O = \cfrac{360}{8} = 45 \quad \cfrac{O}{2} = 22º\, 30'}
Dividimos el ángulo a la mitad para poder formar un triángulo rectángulo y así poder aplicar las funciones trigonométricas.Para encontrar el valor del lado usamos la función seno.{\sin 22º\,30' = \cfrac{\textup{co}}{\textup{hip}} = \cfrac{\cfrac{l}{2}}{49} = \cfrac{l}{98}}Entonces despejando el valor de l, tenemos:{\l = 98\sin 22º\,30'= 98(0.38) = 37.50} cm
Para encontrar el valor del apotema usamos la función coseno.{\cos 22\,º30' = \cfrac{\textup{ca}}{\textup{h}} = \cfrac{ap}{49}}Despejamos el apotema,{ ap = 49\cdot \cos 22\,º30' = 49(0.92) = 45.27} cm

5 Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?

Para encontrar el valor de la distancia que hay entre A y B la forma más sencilla es aplicar la ley de cosenos,

Ley de cosenos

Comenzamos por aplicar directamente la ley de cosenos, es decir:

{\overline{AB}^2 = \overline{AC}^2 + \overline{CB}^2 - \overline{AC}\cdot\overline{CB}\cos120 = 6^2 + 9^2 - (6)(9)}\cos120

{= 36 + 81 - (-27) = 144}

{\overline{AB} = \sqrt{144} = 12} cm

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗