El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa y se denota por \cos B.

Triángulo rectángulo y el coseno
Es decir,

     \begin{equation*} \cos B = \frac{\textrm{cateto contiguo}}{\textrm{hipotenusa}}=\frac{c}{a} \end{equation*}

El coseno de un ángulo en una circunferencia unitaria es igual a la abscisa.

Circunferencia unitaria en el plano cartesiano (cálculo del coseno)

Para comprobar esto, considere el ángulo \alpha como en la siguiente figura. Podemos ver que \alpha esta en el interior de un triángulo comprendido por los lados  x, y, y  r donde r=1 dado que es el radio de una circunferencia unitaria.

Por definición, el coseno de \alpha viene determinado por

 \cos \alpha = \frac{\textrm{cateto contiguo}}{\textrm{hipotenusa}} = \frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x.

Es decir, \cos \alpha = x.

Signo del coseno

Como comprobamos anteriormente, el coseno de un ángulo \alpha es igual al eje x o abscisa dado un triángulo unitario. Por lo que, el signo del coseno es igual al signo que tenga el eje x. En el primer y cuarto cuadrante el eje  x es positivo, por lo que el coseno es positivo, en el segundo y tercero es negativo, así que el coseno es negativo.

Signo del coseno

 

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Valores del coseno de algunos ángulos

\alpha : 0^{\circ} 30^{\circ} 45^{\circ} 60^{\circ} 90^{\circ} 180^{\circ} 270^{\circ}
\cos : 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0 -1 0

 

Relación entre el seno y el coseno

El coseno de un ángulo se relaciona con el seno del mismo ángulo de la siguiente manera,

\cos^2\alpha + \textrm{sen}^2 \alpha = 1.

Ejemplo

Supongamos que que \cos \alpha = \frac{1}{4} y que 270^{\circ} <\alpha <360^{\circ}. Calcular el seno de \alpha.

Tenemos que

     \begin{equation*} \left(\frac{1}{4}\right)^2+\textrm{sen}^2\alpha=1\quad\Rightarrow\quad\textrm{sen}\alpha=\pm \sqrt{1-\left(\frac{1}{4}\right)^2}=\pm\frac{\sqrt{15}}{4}. \end{equation*}

Como 270^{\circ}<\alpha<360^{\circ} (cuarto cuadrante) el coseno es positivo pero el seno (eje de las ordenadas) es negativo, por lo tanto el signo que debemos escoger para el seno en el desarrollo anterior es el signo menos. El resultado es

\textrm{sen}\alpha=-\frac{\sqrt{15}}{4}.

Otras identidades del coseno

Para las siguientes identidades, el uso de radianes es bastante útil y en muchas ocasiones se usará indistintamente grados o radianes.  Puedes consultar la teoría aquí.

1 Coseno del ángulo complementario.

\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\textrm{sen}\alpha.

Ejemplo:

 \cos 60^{\circ}=\cos(90^{\circ}-30^{\circ})=\textrm{sen}30^{\circ}=\frac{1}{2}.

2 Coseno del ángulo suplementario

\cos(\pi-\alpha)-\cos \alpha

Ejemplo:

\cos 150^{\circ}=\cos(180^{\circ}-30^{\circ})=-\cos 30^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

3 Coseno de ángulos que se diferencian en 180°

\cos(\pi+\alpha)=-\cos \alpha.

Ejemplo:

\cos 210^{\circ}=\cos(180^{\circ}+30^{\circ})=-\cos 30^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

4Coseno del ángulo opuesto

\cos(2\pi -\alpha)=\cos \alpha.

Ejemplo:

\cos 330^{\circ}=\cos(360^{\circ}-30^{\circ})=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

5 Coseno del ángulo negativo

\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)

Ejemplo:

\cos(-30^{\circ})=\cos (30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}.

6 Coseno de un ángulo mayor de 360º

Sea k un número entero, entonces

\cos(\alpha+2\pi k)=\cos \alpha.

Ejemplo:

Consideremos que 750^{\circ}=360^{\circ}\cdot 2 + 30^{\circ}, por lo que si estamos interesados en calcular el coseno de 750^{\circ}, tenemos que

\cos(750^{\circ})=\cos(360^{\circ}\cdot 2 + 30^{\circ})=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

7 Coseno de ángulos que diferencian en 90º

\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\textrm{sen}\alpha.

Ejemplo:

\cos 120^{\circ}=\cos(90^{\circ}+30^{\circ})=-\textrm{sen}30^{\circ}=-\frac{1}{2}.

8 Coseno de ángulos que suman en 270º

 \cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\textrm{sen}\alpha.

Ejemplo:

 \cos 240^{\circ}=\cos (270^{\circ}-30^{\circ})=-\textrm{sen}30^{\circ}=-\frac{1}{2}.

9 Coseno de ángulos que se diferencian en 270º

\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\textrm{sen}\alpha

Ejemplo:

\cos 300^{\circ}=\cos(270^{\circ}+30^{\circ})=\textrm{sen}30^{\circ}=\frac{1}{2}.

10 Coseno de una suma

\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\textrm{sen}(\alpha)\textrm{sen}(\beta).

Ejemplo:

     \begin{eqnarray*} \cos(75^{\circ})&=&\cos(45^{\circ}+30^{\circ})=\cos(45^{\circ})\cos(30^{\circ})-\textrm{sen}(45^{\circ})\textrm{sen}(30^{\circ}),\\ &=&\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2},\\ &=&\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1). \end{eqnarray*}

11 Coseno de una diferencia

\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)+\textrm{sen}(\alpha)\textrm{sen}(\beta).

Ejemplo:

     \begin{eqnarray*} \cos(15^{\circ})&=&\cos(45^{\circ}-30^{\circ})=\cos(45^{\circ})\cos(30^{\circ})+\textrm{sen}(45^{\circ})\textrm{sen}(30^{\circ}),\\ &=&\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2},\\ &=&\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1). \end{eqnarray*}

12 Coseno del ángulo doble

\cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\textrm{sen}^2(\alpha).

Ejemplo:

\cos 120^{\circ}=\cos^2 60^{\circ}-\textrm{sen}^2 60^{\circ}=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}.

13 Coseno del ángulo mitad

\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}.

Ejemplo:

\cos\left(\frac{45^{\circ}}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos 45^{\circ}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.

14 Transformación de una suma de cosenos en producto

\cos(\alpha)+\cos(\beta)=2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right).

Ejemplo:

\cos 40^{\circ}+\cos 20^{\circ}=2\cos (30^{\circ})\cos(10^{\circ}).

15 Transformación de una diferencia de cosenos en producto

\cos(\alpha)-\cos(\beta)=-2\textrm{sen}\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\textrm{sen}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right).

Ejemplo:

\cos 40^{\circ}-\cos 20^{\circ}=-2\textrm{sen}30^{\circ}\textrm{sen}10^{\circ}.

16 Transformación de un producto de cosenos en sumas

\cos(\alpha)\cos(\beta)=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)].

 \cos(3\alpha)\textrm{sen}(\alpha)=\frac{1}{2}[\textrm{sen}(4\alpha)-\textrm{sen}(2\alpha)].

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗