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Fórmulas trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

Conociendo las funciones trigonométricas para los ángulos a y b, podemos obtener las funciones trigonométricas para los ángulos a + b y a - b

 

1 \displaystyle \text{sen}\,(a+b) = \text{sen}\, a \cdot \cos b +\cos a \cdot \text{sen}\, b

2 \displaystyle \text{sen}\,(a-b) = \text{sen}\, a \cdot \cos b -\cos a \cdot \text{sen}\, b

3 \displaystyle \cos (a+b) = \cos a \cdot \cos b - \text{sen}\, a \cdot \text{sen}\, b

4 \displaystyle \cos (a-b) = \cos a \cdot \cos b + \text{sen}\, a \cdot \text{sen}\, b

5 \displaystyle \tan(a+b)=\frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \cdot \tan b}

6 \displaystyle \tan(a-b)=\frac{\tan a - \tan b}{1+\tan a \cdot \tan b}

 

Transformaciones de operaciones

Transformaciones de sumas en productos

 

1 \displaystyle \text{sen}\,a+\text{sen}\, b = 2\text{sen}\,\left (\frac{a+b}{2}\right)\cdot \cos \left (\frac{a-b}{2}\right)

2 \displaystyle \text{sen}\, a -\text{sen}\, b = 2\cos \left (\frac{a+b}{2}\right)\cdot \text{sen}\, \left (\frac{a-b}{2}\right)

3 \displaystyle \cos a + \cos b = 2\cos \left (\frac{a+b}{2}\right) \cdot \cos \left (\frac{a-b}{2}\right)

4 \displaystyle \cos a-\cos b = -2\text{sen}\, \left (\frac{a+b}{2}\right)\cdot\text{sen}\, \left (\frac{a-b}{2}\right)

 

Transformaciones de productos en sumas

 

1 \displaystyle \text{sen}\, a \cdot \cos b =\frac{1}{2}[\text{sen}\,(a+b)+\text{sen}\,(a-b)]

2 \displaystyle \cos a \cdot \text{sen}\, b =\frac{1}{2}[\text{sen}\,(a+b)-\text{sen}\,(a-b)]

3 \displaystyle \cos a \cdot \cos b =\frac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)]

4 \displaystyle \text{sen}\, a\cdot \text{sen}\, b =-\frac{1}{2}[\cos(a+b)-\cos(a-b)]

 

Teorema de seno, coseno y tangente

Para un triángulo con vértices A, B, C y lados opuestos a, b, c respectivamente, se tienen los siguientes teoremas:

Teorema del seno

Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.

\displaystyle \frac{a}{\text{sen}\, A}=\frac{b}{\text{sen}\, B}=\frac{c}{\text{sen}\, C}=2R

De manera equivalente

\displaystyle \frac{\text{sen}\, A}{a}=\frac{\text{sen}\, B}{b}=\frac{\text{sen}\, C}{c}

 

Teorema del coseno

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A

Otra versión común de este teorema es

\displaystyle \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

 

Teorema de la tangente

Menos común pero no menos importante, el teorema de la tangente nos dice que:

\displaystyle \frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan \frac{A+B}{2}}{\tan \frac{A-B}{2}}

 

Área de un triángulo

Para un triángulo con vértices A, B, C y lados opuestos a, b, c respectivamente, el área es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman

A = \frac{1}{2}ab\,\text{sen}\,C

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗