Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

 

\displaystyle \text{sen}\,(a+b) = \text{sen}\, a\cos b +\cos a \ \text{sen}\, b

\displaystyle \text{sen}\,(a-b) = \text{sen}\, a\cos b -\cos a \ \text{sen}\, b

\displaystyle \cos (a+b) = \cos a \cos b -  \text{sen}\, a \ \text{sen}\, b

\displaystyle \cos (a-b) = \cos a \cos b +  \text{sen}\, a \ \text{sen}\, b

\displaystyle \tan(a+b)=\frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \tan b}

\displaystyle \tan(a-b)=\frac{\tan a - \tan b}{1+\tan a \tan b}

 

Transformaciones de operaciones

 

Transformaciones de sumas en productos

\displaystyle \text{sen}\,A+\text{sen}\,B=2\text{sen}\,\frac{A+B}{2}\cdot \cos \frac{A-B}{2}

\displaystyle \text{sen}\,A-\text{sen}\,B=2\cos \frac{A+B}{2}\cdot\text{sen}\, \frac{A-B}{2}

\displaystyle \cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \cdot\frac{A-B}{2}

\displaystyle \cos A-\cos B=-2\text{sen}\, \frac{A+B}{2}\cdot\text{sen}\, \frac{A-B}{2}

 

Transformaciones de productos en sumas

\displaystyle \text{sen}\,A\cdot \cos B =\frac{1}{2}[\text{sen}\,(A+B)+\text{sen}\,(A-B)]

\displaystyle \cos A\cdot  \text{sen}\,B =\frac{1}{2}[\text{sen}\,(A+B)-\text{sen}\,(A-B)]

\displaystyle \cos A\cdot \cos B =\frac{1}{2}[\cos(A+B)+\cos(A-B)]

\displaystyle \text{sen}\,A\cdot \text{sen}\, B =-\frac{1}{2}[\cos(A+B)-\cos(A-B)]

 

Teorema de seno, coseno y tangente

 

Teorema del seno

Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.

\displaystyle \frac{a}{\text{sen}\, A}=\frac{b}{\text{sen}\, B}=\frac{c}{\text{sen}\, C}=2R

De manera equivalente

\displaystyle \frac{\text{sen}\, A}{a}=\frac{\text{sen}\, B}{b}=\frac{\text{sen}\, C}{c}

 

Teorema del coseno

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A

Otra versión común de este teorema es

\displaystyle \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

 

Teorema de la tangente

Menos común pero no menos importante, el teorema de la tangente nos dice que:

\displaystyle \frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan \frac{A+B}{2}}{\tan \frac{A-B}{2}}

 

Área de un triángulo

 

    • El área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente.

      \displaystyle S=\frac{1}{2}b\cdot h

    • El área de un triángulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.

      \displaystyle S=\frac{1}{2}ab\,\text{sen}\,C

    • El área de un triángulo es el cociente entre el producto de sus lados y cuatro veces el radio de su circunferencia circunscrita.

      \displaystyle S=\frac{abc}{4R}

    • El área de un triángulo es igual al producto del radio de la circunferencia inscrita por su semiperímetro.

      \displaystyle S=r\cdot p

    • Fórmula de Herón:

      \displaystyle S= \sqrt{p\cdot (p-a)(p-b)(p-c)}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗