1De un triángulo rectángulo {ABC}, se conocen {a = 415 \ m} y {b = 280 \ m}. Resolver el triángulo.

ejercicio resuelto de resolucion de triangulos 1

 

1Expresamos el seno del ángulo {B}

 

{sen \, B = \displaystyle \frac{280}{415}}

 

Aplicamos la función {arc \, sen \, x} a ambos lados de la ecuación y se obtiene

 

{B = \displaystyle arc \, sen \, \left ( \frac{280}{415} \right ) = 42^o \, 25'}

 

2El ángulo {A = 90^o}. Calculamos el ángulo {C}

 

{C = A - B = 90^0 - 42^o \, 25' = 47^o \, 35'}

 

3Para calcular el lado {c} empleamos la función coseno para el ángulo {B}

 

{cos \, (42^o \, 25') = \cfrac{c}{415}}

 

Despejamos {c} y resolvemos

 

c = 415 \cdot cos \, (42^o \, 25') = 306. 38 \ m}

2De un triángulo rectángulo {ABC}, se conocen {b = 33 \, m} y {c = 21 \, m}. Resolver el triángulo.

ejercicio resuelto de resolucion de triangulos 2

 

1Expresamos la tangente del ángulo {B}

 

{tg \, B = \displaystyle \frac{33}{21}}

 

Aplicamos la función {arc \, tg \, x} a ambos lados de la ecuación y se obtiene

 

{B = \displaystyle arc \, tg \, \left ( \frac{33}{21} \right ) = 57^o \, 31'}

 

2El ángulo {A = 90^o}. Calculamos el ángulo {C}

 

{C = A - B = 90^0 - 57^o \, 31' = 32^o \, 29'}

 

3Para calcular el lado {a} empleamos la función seno para el ángulo {B}

 

{sen \, (57^o \, 31') = \cfrac{33}{a}}

 

Despejamos {a} y resolvemos

 

a = \cfrac{33}{sen (57^o \, 31')} = 39. 12 \ m}

3De un triángulo rectángulo {ABC}, se conocen {a = 45 \ m} y {B = 22^o}. Resolver el triángulo.

ejercicio resuelto de resolucion de triangulos 3

 

1El ángulo {A = 90^o}. Calculamos el ángulo {C}

 

{C = A - B = 90^0 - 22^o = 68^o}

 

2Expresamos el seno del ángulo {B}

 

{sen \, 22^o = \displaystyle \frac{b}{45}}

 

Despejamos {b} y resolvemos

 

{b = 45 \cdot sen \, 22^o = 16.86 \ m}

 

3Para calcular el lado {c} empleamos la función coseno para el ángulo {B}

 

{cos \, (22^o) = \cfrac{c}{45}}

 

Despejamos {c} y resolvemos

 

c = 45 \cdot cos \, (22^o) = 41. 72 \ m}

4De un triángulo rectángulo {ABC}, se conocen {b = 5.2 \ m} y {B = 37^o}. Resolver el triángulo

ejercicio resuelto de resolucion de triangulos 4

 

1El ángulo {A = 90^o}. Calculamos el ángulo {C}

 

{C = A - B = 90^0 - 37^o = 53^o}

 

2Expresamos el seno del ángulo {B}

 

{sen \, 37^o = \displaystyle \frac{5.2}{a}}

 

Despejamos {a} y resolvemos

 

{a = \cfrac{5.2}{sen \, 37^o} = 8.64 \ m}

 

3Para calcular el lado {c} empleamos la función tangente para el ángulo {B}

 

{tg \, (37^o) = \cfrac{5.2}{c}}

 

Despejamos {c} y resolvemos

 

c = \cfrac{5.2}{tg \, (37^o)} = 6. 9 \ m}

5Un dirigible que está volando a {800 \ m} de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de {12^o}. ¿A qué distancia del pueblo se halla?

1Representamos gráficamente los datos proporcionados

 

ejercicio resuelto de resolucion de triangulos 5

 

2Expresamos la tangente del ángulo {12^o}

 

{tg \, (12^o) = \displaystyle \frac{800}{d}}

 

Despejamos la distancia {d} y resolvemos

 

{d = \cfrac{800}{tg \, (12^o)} = 3763.7 \ m}

6Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de {24.6 \ cm} tiene como arco correspondiente uno de {70^o}.

1Representamos gráficamente los datos proporcionados

 

ejercicio resuelto de resolucion de triangulos 6

 

2Se forma un triángulo isósceles cuyos lados iguales corresponden al radio de la circunferencia. Consideramos {H} el punto medio del segmento {AB}, luego el triángulo {OAH} es rectángulo y {OH} bisecta al ángulo {AOB}

 

3Calculamos el seno del ángulo {AOH}

 

{sen \, (35^o) = \cfrac{12.3}{OA}}

 

Despejamos la distancia {OA} y resolvemos

 

{OA = \cfrac{12.3}{sen \, (35^o)} = 21.44 \ cm}

 

Así, el radio buscado es {21.44 \ cm}.

7Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden {80 \ m} y {130 \ m}, y forman entre ellos un ángulo de {70^o}.

1Representamos gráficamente los datos proporcionados

 

ejercicio resuelto de resolucion de triangulos 7

 

2Calculamos la altura {h} del triángulo, para ello calculamos el seno de {70^o}

 

{sen \, (70^o) = \cfrac{h}{80}}

 

3Despejamos {h} y resolvemos

 

{h = 80 \cdot sen \, (70^o) = 75.18 \ m}

 

El área solicitada es

 

{A = \cfrac{130 \cdot 75.18}{2} = 4886.7 \ m}

8Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de {30^o} y si nos acercamos {10 \ m}, bajo un ángulo de {60^o}.

1Representamos gráficamente los datos proporcionados

 

ejercicio resuelto de resolucion de triangulos 8

 

2Calculamos la tangente de {30^o} y despejamos {x}

 

{tg \, (30^o) = \cfrac{h}{10 + x} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = \sqrt{3}h - 10 }

 

3Calculamos la tangente de {60^o} y despejamos {x}

 

{tg \, (60^o) = \cfrac{h}{x} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = \cfrac{h}{\sqrt{3}}}

 

Igualamos ambos valores de {x} y resolvemos para {h}

 

\sqrt{3}h - 10} = \cfrac{h}{\sqrt{3}} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = 5 \sqrt{3} \ m}

9La longitud del lado de un octógono regular es {12 \ m}. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.

1Representamos gráficamente los datos proporcionados

 

ejercicio resuelto de resolucion de triangulos 9

 

2El ángulo {AOB} es igual a {45^o}, por lo que el ángulo {AOC} es igual a {22^o \, 30'}. Para calcular el radio de la circunferencia inscrita empleamos

 

{tg \, (22^o \, 30') = \cfrac{6}{OC} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ OC = 14.49 \ m }

 

3Para calcular el radio de la circunferencia circunscrita empleamos

 

{sen \, (22^o \, 30') = \cfrac{6}{OA} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ OA = 15.68 \ m}

10Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de {49} centímetros de radio.

1Representamos gráficamente los datos proporcionados

 

ejercicio resuelto de resolucion de triangulos 10

 

2El ángulo {AOB} es igual a {45^o}, por lo que si trazamos la bisectriz, al tratarse de un triángulo isósceles, se obtienen dos triángulos rectángulos iguales. Para calcular el lado empleamos

 

{sen \, (22^o \, 30') = \cfrac{\cfrac{l}{2}}{49} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = 37.5 \ cm }

 

3Para calcular el apotema empleamos

 

{cos \, (22^o \, 30') = \cfrac{ap}{49} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ ap = 45.27 \ cm}

11Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es {6} km y la de B a C es {9} km. El ángulo que forman estas carreteras es {120^o}. ¿Cuánto distan A y B?

1Representamos gráficamente los datos proporcionados y construimos un triángulo rectángulo {ABH} de modo que {C} se encuentre en el segmento {AH}

 

ejercicio resuelto de resolucion de triangulos 11

 

2Calculamos la altura

 

{sen \, (60^o) = \cfrac{h}{9} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = 7.79 \ km }

 

3Calculamos la distancia {CH}

 

{cos \, (60^o) = \cfrac{CH}{9} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ CH = 4.5 \ km}

 

4Calculamos la distancia {AB} empleando el teorema de Pitágoras

 

{AB = \sqrt{7.79^2 + (6 + 4.5)^2} = 13.07 \ km}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗