A lo largo de este artículo, encontrarás una serie de problemas resueltos que te permitirán comprender mejor el comportamiento y las aplicaciones de los triángulos rectángulos. Los problemas abordarán temas como el uso de las relaciones entre las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) y el cálculo de longitudes y ángulos desconocidos. Con cada ejercicio resuelto, afianzarás conceptos clave para que desarrolles habilidades prácticas para enfrentar una variedad de situaciones geométricas.
Resuelve los siguientes ejercicios:
De un triángulo rectángulo 
, se tiene la siguiente información: la hipotenusa es 
y uno de los catetos es 
. Resolver el triángulo.
Resolver el triángulo significa encontrar cuánto mide el lado faltante y el valor de todos los ángulo en este. Notemos que al ser un triángulo rectángulo, sabemos que el ángulo 
.
Aplicando seno tenemos que
Aplicando arcoseno tenemos que el ángulo vale . Ahora, una vez que tenemos dos ángulo, podemos calcular de manera inmediata el último;
Ahora, una vez que tenemos dos ángulo, podemos calcular de manera inmediata el último:
Aplicando coseno en el ángulo 
y despejando obtendremos el valor del lado 
:
Así ya obtuvimos los datos faltantes.
De un triángulo rectángulo , se conocen los catetos 
. Resolver el triángulo.
Resolver el triángulo significa encontrar los lados y ángulos faltantes. Notemos que al ser un ángulo rectángulo, también tenemos que el ángulo 
.
Para encontrar el ángulo calcularemos su tangente y luego aplicaremos arcotangente:
Entonces, tenemos que aplicando arcotangente 
. Ahora, con esto tenemos dos ángulos, así, podemos calcular directamente el tercero, 
:
Por último, para obtener el valor del lado 
utilizaremos la fórmula del seno y la aplicaremos al ángulo , luego despejaremos para encontrar su valor.
Así, hemos obtenido los datos faltantes.
De un triángulo rectángulo , se conoce la hipotenusa y uno de los ángulos, cuyos valores son 
, respectivamente. Resolver el triángulo.
Resolver un triángulo significa encontrar los lados y ángulos faltantes. Notemos que al ser un ángulo rectángulo implica que .
Al conocer dos de los tres ángulos podemos obtener de forma directa el tercero, :
Para obtener el lado 
aplicaremos seno sobre el ángulo y despejaremos :
Para obtener el lado aplicaremos coseno sobre el ángulo y despejaremos :
Así, hemos encontrado los lados y ángulos faltantes.
De un triángulo rectángulo , se conoce un cateto y un ángulo 
. Resolver el triángulo.
Obtengamos los lados y ángulos faltantes. Notemos que al ser un ángulo rectángulo, ya conocemos de antemano el ángulo .
Dado que conocemos ya dos de los tres ángulos, podemos calcular el faltante, , de manera directa
Para obtener el lado aplicaremos seno sobre el ángulo y despejaremos :
Para obtener el lado aplicaremos cotangente sobre el ángulo y despejaremos :
Hemos encontrados los lados y ángulos faltantes.
De un triángulo rectángulo , se conoce la hipotenusa y un ángulo 
. Resolver el triángulo.
Obtengamos los lados y ángulos faltantes. Notemos que al ser un ángulo rectángulo, ya conocemos de antemano el ángulo .
Dado que conocemos ya dos de los tres ángulos, podemos calcular el faltante, , de manera directa
Para obtener el lado aplicaremos seno sobre el ángulo y despejaremos :
Para obtener el lado aplicaremos coseno sobre el ángulo y despejaremos :
Hemos encontrados los lados y ángulos faltantes.
De un triángulo rectángulo , se conoce un cateto y un ángulo 
. Resolver el triángulo.
Obtengamos los lados y ángulos faltantes. Notemos que al ser un ángulo rectángulo, ya conocemos de antemano el ángulo .
Dado que conocemos ya dos de los tres ángulo, podemos calcular el faltante, , de manera directa
Para obtener el lado aplicaremos tangente sobre el ángulo y despejaremos :
Para obtener el lado aplicaremos seno sobre el ángulo y despejaremos :
Hemos encontrados los lados y ángulos faltantes.
De un triángulo rectángulo , se conoce la hipotenusa y un cateto 
. Resolver el triángulo.
Obtengamos los lados y ángulos faltantes. Notemos que al ser un ángulo rectángulo, ya conocemos de antemano el ángulo .
Para obtener el ángulo primero calcularemos el coseno del ángulo utilizando el cateto y la hipotenusa que conocemos para posteriormente aplicar la función inversa arcocoseno.
Aplicando arcocoseno obtenemos 
. Notemos que, ahora que tenemos dos de los tres ángulo, podemos calcular de forma directa el ángulo faltante
Para obtener el lado aplicaremos seno sobre el ángulo y despejaremos :
Hemos encontrados los lados y ángulos faltantes.
De un triángulo rectángulo , se conocen los dos catetos 
. Resolver el triángulo.
Obtengamos los lados y ángulos faltantes. Notemos que al ser un ángulo rectángulo, ya conocemos de antemano el ángulo .
Para obtener el ángulo primero calcularemos su tangente utilizando los catetos y posteriormente calcularemos el arcotangente
Así, tenemos que 
. Ahora que tenemos dos de los tres ángulo podemos obtener el faltante de forma directa
Para obtener el lado aplicaremos seno sobre el ángulo y despejaremos :
Hemos encontrados los lados y ángulos faltantes.
De un triángulo rectángulo , se tiene la siguiente información: la hipotenusa es 
y 
. Resolver el triángulo.
Notemos que al ser un triángulo rectángulo, sabemos que el ángulo .
Aplicando arcoseno tenemos que
Ahora, una vez que tenemos dos ángulo, podemos calcular de manera inmediata el último;
Aplicando coseno en el ángulo y despejando obtendremos el valor del lado :
Aplicando seno en el ángulo y despejando obtendremos el valor del lado :
Así ya obtuvimos los datos faltantes.
De un triángulo rectángulo , se tiene la siguiente información: la hipotenusa es 
y 
. Resolver el triángulo.
Notemos que al ser un triángulo rectángulo, sabemos que el ángulo .
Aplicando arcocoseno tenemos que
Ahora, una vez que tenemos dos ángulo, podemos calcular de manera inmediata el último;
Aplicando coseno en el ángulo y despejando obtendremos el valor del lado :
Aplicando seno en el ángulo y despejando obtendremos el valor del lado :
Así ya obtuvimos los datos faltantes.
De un triángulo rectángulo , se tiene la siguiente información: la hipotenusa es 
y 
. Resolver el triángulo.
Notemos que al ser un triángulo rectángulo, sabemos que el ángulo .
Aplicando arcotangente tenemos que
Ahora, una vez que tenemos dos ángulo, podemos calcular de manera inmediata el último;
Aplicando coseno en el ángulo y despejando obtendremos el valor del lado :
Aplicando seno en el ángulo y despejando obtendremos el valor del lado :
Así ya obtuvimos los datos faltantes.
De un triángulo rectángulo , se tiene la siguiente información: la hipotenusa es 
y 
. Resolver el triángulo.
Notemos que al ser un triángulo rectángulo, sabemos que el ángulo .
Aplicando arcosecante tenemos que
Ahora, una vez que tenemos dos ángulo, podemos calcular de manera inmediata el último;
Aplicando coseno en el ángulo y despejando obtendremos el valor del lado :
Aplicando seno en el ángulo y despejando obtendremos el valor del lado :
Así ya obtuvimos los datos faltantes.
Un árbol de 
de alto proyecta una sombra de 
de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.
Observemos que entre el suelo y el árbol se forma un ángulo de 
. Así, tenemos dos catetos. Además, tenemos que el ángulo de elevación es el ángulo formado en el vértice donde termina la sombra como se ve en la siguiente imagen
Por lo tanto, para obtener nuestro ángulo de elevación 
primero calcularemos su tangente utilizando los catetos y posteriormente aplicaremos arcotangente a nuestro resultado
Por lo tanto, tenemos que 
.
Un dirigible que está volando a 
de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 
. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
Tenemos que los datos proporcionados nos dan el esquema mostrado en la siguiente imagen.
Notemos que lo queremos en realidad es encontrar la distancia que debe recorrer el dirigible para volando sobre el pueblo. Esto es, queremos encontrar el cateto 
, para esto calcularemos la tangente del ángulo con valor y a la vez utilizaremos los catetos y de ahí despejaremos :
Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 
tiene como arco correspondiente uno de 
.
Recordemos que el ángulo central mide lo mismo que el arco que lo abarca. Dicho lo anterior tenemos el siguiente esquema
Para obtener el radio (lado 
) aplicaremos seno sobre el ángulo que mide 
utilizando el cateto que conocemos y para posteriormente despejar el radio:
Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 
y 
, y forman entre ellos un ángulo de .
Obtengamos es el ángulo 
. Ahora, en la siguiente imagen mostramos el triángulo.
Notemos que la altura divide nuestro triángulo inicial en dos triángulos rectángulo. Utilizaremos el triángulo de la derecha, ya que tenemos más información en él, para obtener el valor de la altura y posteriormente calcular el área. Para obtener la altura utilizaremos el seno del ángulo , el cateto que pertenece a este triángulo y la altura, así terminaremos despejando la altura:
Ahora que sabemos que la altura mide 
, calcularemos el área:
Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 
y si nos acercamos 
, bajo un ángulo de 
.
Primero intentemos ilustrar el problema para entender poder entenderlo mejor. La siguiente imagen nos ayudará con eso
Para resolver el problema, primero calcularemos la tangente del ángulo de y sus catetos correspondientes y luego calcularemos la tangente del ángulo de con sus catetos correspondientes y despejaremos 
de ambos:
Notemos que esto nos dará un sistema de ecuaciones que solucionaremos la altura
Resolviendo el sistema tenemos que 
.
La longitud del lado de un octógono regular es 
. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.
La siguiente imagen nos permite observar cuál es el radio de la circunferencia inscrita y cuál de la circunferencia circunscrita.
Notemos que el lado 
. Además, el lado 
define el radio de la circunferencia inscrita, mientras que el lado define el radio de la circunferencia circunscrita. Además, sabemos que el ángulo 
ya que se trata de un octágono, por lo tanto, tenemos que 
.
Radio de la circunferencia inscrita
Calcularemos la tangente del ángulo 
utilizando tanto el valor del ángulo como los catetos para, al final, poder despejar el cateto .
Radio de la circunferencia circunscrita
Calcularemos el seno del ángulo utilizando tanto el valor del ángulo como el cateto y la hipotenusa para, al final, poder despejar la hipotenusa .
Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 
de radio.
La siguiente imagen nos permite observar mejor el problema.
Notemos que el radio es igual al lado 
. Ahora, el lado del octógono está definido por 
y que 
.
También notemos que el apotema 
parte el ángulo 
en dos. Además, sabemos que el ángulo ya que se trata de un octágono, por lo tanto, tenemos que 
. Observemos además que los lados , 
y 
forman un triángulo rectángulo.
Lado del octógono
Calcularemos seno del ángulo 
utilizando tanto el valor del ángulo como la hipotenusa (el radio del octógono) y el cateto (la mitad del lado del octógono) para, al final, poder despejar el cateto .
Por lo tanto, el lado mide 
.
Apotema del octógono
Calcularemos coseno del ángulo utilizando tanto el valor del ángulo como la hipotenusa (el radio del octógono) y el cateto (el apotema) para, al final, poder despejar el cateto .
Tres pueblos 
, y están unidos por carreteras. La distancia de a es 
y la de a de 
. Además, el ángulo que forman estas carreteras es de 
. ¿Cuánto distan y ?
La siguiente imagen nos permite observar mejor el problema.
Notemos que hemos hecho unas construcciones adicionales para poder resolver el problema utilizando triángulos rectángulo. Para poder resolver el problema, debemos encontrar primero los catetos del triángulo rectángulo que hemos formado (el de color verde) y así, posteriormente, utilizaremos estos datos para poder obtener los catetos del triángulo más grande y, por lo tanto, de la hipotenusa, que es el valor que buscamos.
Catetos del triángulo rectángulo verde
Calcularemos el seno y el coseno del ángulo utilizando tanto el valor del ángulo como los catetos y la hipotenusa para, al final, poder despejar los catetos 
y 
, respectivamente.
Catetos del triángulo rectángulo más grande e hipotenusa
Utilizaremos el teorema de pitágoras para calcular la hipotenusa. Primero, notemos que los catetos que utilizaremos serán y 
.
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Cálculo el lado bc aplicando la ley de cosenos b=5cm c=6cm a=60°
Materia:
erica V= 1
Calcula el lado BC aplicando
5
V
0
V
4
V
A
B
AB = 6cm
CR
Datos
0 =5cm
C=600
En un triángulo, se tienen los datos: A = 50° ,B = 65° y a = 12. Encuentra el lado b.
excelente, por ejemplo tengo uno donde me hacen falta el ángulo A, B, C tengo estos datos lado a:14, b:6, c:4
La respuesta es 14.197
¿ porqué no hay un modo de resolver triángulos sin la necesidad de aplicar la Trigonometria académica ? Saludos, profesor.
Hola, posiblemente exista otro método, pero por desgracia es todavía mas difícil que la trigonometría académica incluso te puedo asegurar que hoy en día es mas fácil y mas directo resolver los problemas de triángulos, entendemos que a veces llega a ser confuso pero te aseguramos que este método es el mas sencillo que existe.
Resuelve esto bien y claro.
¿Cuánto le falta al complemento del suplemento de 165,315° para alcanzar el suplemento del complemento de π/12 rad?
como resolver este ejercicio (tag x )2 -1
_________= -(tag x )2
(cotag x )2 -1