Demostrar las identidades trigonométricas

1\displaystyle \tan \alpha + \cot\alpha = \sec\alpha\cdot \csc\alpha

 

\displaystyle \tan \alpha + \cot\alpha = \sec\alpha\cdot \csc\alpha

 

Usamos la definición de tangente y cotangente para desarrollar la parte izquierda de la ecuación

 

\displaystyle \tan \alpha + \cot\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\cos\alpha\cdot\sin\alpha}

 

Usamos que \displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =1 y las definiciones de secante y cosecante para obtener que

 

\displaystyle \tan \alpha + \cot\alpha = \frac{1}{\cos\alpha\cdot\sin\alpha}= \sec\alpha\cdot\csc\alpha

 

que es a lo que queríamos llegar.

2\displaystyle \cot^2\alpha = \cos^2\alpha+(\cot\alpha\cdot\cos\alpha)^2

\displaystyle \cot^2\alpha = \cos^2\alpha+(\cot\alpha\cdot\cos\alpha)^2
 

Primero desarrollamos el cuadrado

 

\displaystyle \cos^2\alpha+(\cot\alpha\cdot\cos\alpha)^2=\cos^2\alpha+\cot^2\alpha\cdot\cos^2\alpha

 

Factorizamos \displaystyle \cos^2\alpha de ambos sumandos,  usamos la identidad \displaystyle 1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha y la definición de cosecante y cotangente

 

\displaystyle \cos^2\alpha(1+\cot^2\alpha)=\cos^2\alpha \cdot\csc^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\cot^2\alpha

3\displaystyle \frac{1}{\sec^2\alpha}=\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha +\cos^4\alpha
 

\displaystyle \frac{1}{\sec^2\alpha}=\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha +\cos^4\alpha
 

Desarrollamos el lado derecho, iniciando por factorizar \displaystyle \cos^2\alpha de ambos sumandos

 

\displaystyle \sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha +\cos^4\alpha= \cos^2\alpha(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha)

 

Usamos la identidad \displaystyle \sin^2\alpha +\cos^2\alpha = 1 y la definición de secante

 

\displaystyle \sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha +\cos^4\alpha=\cos^2\alpha=\frac{1}{\sec^2\alpha}

4\displaystyle \cot\alpha\cdot\sec\alpha=\csc\alpha

 

\displaystyle \cot\alpha\cdot\sec\alpha=\csc\alpha
 

Usamos la definición de cotangente y secante

 

\displaystyle \cot\alpha\cdot\sec\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\cdot\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha}

 

Cancelamos el factor \displaystyle \cos\alpha y usamos la definición de cosecante

 

\displaystyle \cot\alpha\cdot\sec\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}=\csc\alpha

5\displaystyle \sec^2 \alpha +\csc^2\alpha =\frac{1}{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}

 

\displaystyle \sec^2 \alpha +\csc^2\alpha =\frac{1}{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}
 

Desarrollamos con las definiciones de secante y cosecante y operamos la suma de fracciones

 

\displaystyle \sec^2 \alpha +\csc^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}+\frac{1}{\sin^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha }

 

Finalmente usamos la identidad \displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =1 y obtenemos el resultado deseado

 

\displaystyle \sec^2 \alpha +\csc^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha }


 

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Demostrar identidades con fórmulas de suma

 

6 \displaystyle \sin b \cdot \cos(a-b)+\cos b \cdot \sin (a-b)=\sin a

 

\displaystyle \sin b \cdot \cos(a-b)+\cos b \cdot \sin (a-b)=\sin a
 

Primero notamos que

 

\displaystyle \sin [b+(a-b)]=\sin a

 

La fórmula del seno de la suma es

 

\displaystyle \sin (x+y)= \sin x \cos y + \cos x \sin y

 

Y usandola obtenemos la identidad deseada de manera inmediata

 

\displaystyle \sin a =  \sin [b+(a-b)] = \sin b \cdot \cos(a-b)+\cos b \cdot \sin (a-b)

7\displaystyle \cot (a+b)=\frac{\cot a \cdot \cot b -1}{\cot a +\cot b}

 

\displaystyle \cot (a+b)=\frac{\cot a \cdot \cot b -1}{\cot a +\cot b}
 

La definición de cotangente nos dice que

 

\displaystyle \cot (a+b)=\frac{1}{\tan(a+b)}

 

Usamos la fórmula de la tangente de la suma y simplificamos

 

\displaystyle \cot (a+b)=\frac{1}{\frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \cdot\tan b}}=\frac{1-\tan a \cdot \tan b}{\tan a + \tan b}

 

Dividimos el numerador y denominador por \displaystyle \tan a \cdot \tan b , para después usar la cotangente para reducir la expresión

 

\displaystyle \frac{\frac{1}{\tan a\cdot\tan b}-\frac{\tan a \cdot \tan b}{\tan a \cdot \tan b}}{\frac{\tan a }{\tan a\cdot\tan b}+\frac{\tan b}{\tan a\cdot\tan b}}= \frac{\cot a \cdot \cot b -1}{\cot a +\cot b}


 

Simplificar las fracciones

 

8\displaystyle \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}

 

\displaystyle \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}
 
Usamos la fórmula del seno del ángulo doble

 

\displaystyle \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x} = \frac{2\sin x \cos x}{1+\cos^2x-\sin^2x}

 

Consideramos que como \displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =1 entonces \displaystyle 1-\sin^2 x= \cos^2 x

 

\displaystyle \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x} =  \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2x+\cos^2x}= \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2x}

 

Simplificamos y aplicamos la definición de tangente

 

\displaystyle \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x} = \frac{\sin x }{\cos x}= \tan x

9\displaystyle \frac{\sin 2a}{1-\cos^2a}\cdot \frac{\sin 2a}{\cos a}
 

\displaystyle \frac{\sin 2a}{1-\cos^2a}\cdot \frac{\sin 2a}{\cos a}

Sustituimos con \displaystyle 1-\cos^2 a = \sin^2a y la fórmula del seno del doble ángulo y realizamos la operación de multiplicación de fracciones

 

\displaystyle \frac{\sin 2a}{1-\cos^2a}\cdot \frac{\sin 2a}{\cos a}= \frac{2\sin a \cdot \cos a}{\sin^2a}\cdot \frac{2\sin a \cdot \cos a}{\cos a}=\frac{(2\sin a \cdot \cos a)^2}{\sin^2a\cdot \cos a}

 

desarrollamos y simplificamos

 

\displaystyle \frac{\sin 2a}{1-\cos^2a}\cdot \frac{\sin 2a}{\cos a}=\frac{4\sin^2 a \cdot \cos^2 a}{\sin^2a\cdot \cos a}=4\cos a

10\displaystyle \frac{\sin 3a-\sin 5a}{\cos 3a +\cos 5a }

 

\displaystyle \frac{\sin 3a-\sin 5a}{\cos 3a +\cos 5a }

Usamos las fórmulas para pasar de sumas a productos de funciones trigonométricas

\displaystyle \sin a -\sin b = 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)

\displaystyle \cos a + \cos b = 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)

Entonces

\displaystyle \frac{\sin 3a-\sin 5a}{\cos 3a +\cos 5a } = \frac{2\cos\left(\frac{3a+5a}{2}\right)\sin\left(\frac{3a-5a}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{3a+5a}{2}\right)\cos\left(\frac{3a-5a}{2}\right)}

Simplificamos y usamos la definición de tangente. Además la tangente es una función impar así que \tan(-x)=-\tan(x)

\displaystyle \frac{\sin 3a-\sin 5a}{\cos 3a +\cos 5a } = \frac{2\cos 4a \cdot \sin(-a)}{2\cos 4a \cdot \cos(-a)}= \frac{ \sin(-a)}{  \cos(-a)} = \tan(-a) = -\tan a

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗