Definición ángulo

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común.

A las semirrectas se las llama lados del ángulo. El origen común es el vértice.

El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario

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Vamos

Grados y radianes

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos.

Grados

Para medir ángulos se utiliza el sistema sexagesimal. Un grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales.

Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos (''). Es decir,

1º = 60' = 3600''

1' = 60''

Radianes

Un radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud de su radio.

Un ángulo de 360^{\circ} equivale a 2\pi radianes; un ángulo de 180^{\circ} equivale a \pi radianes y por tanto 1rad = 57,29577951… grados sexagesimales o equivalentemente

     \[ 1 rad= 57^{\circ} 17' 44.8'' \]

Para convertir grados en radianes o viceversa, partimos de que 180^{\circ} equivale a \pi radianes; despues con una regla de tres resolvemos, por ejemplo:

1Convertir 30^{\circ} a radianes:

Planteamos la regla de tres. Notemos que la \alpha va arriba, en la posición de los radianes

     \[ \frac{\pi}{180} = \frac{\alpha}{30} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6}rad \]

2Convertir \frac{\pi}{3} radianes a grados:

Planteamos la regla de tres. Notemos que la \alpha va abajo, en la posición de los grados

     \[ \frac{\pi}{180} = \frac{\frac{\pi}{3}}{\alpha} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{(180)\frac{\pi}{3}}{\pi} = \frac{180}{3} = 60^{\circ} \]

Ejercicios de conversiones entre grados y radianes

Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:

1 3 rad:

     \[ \frac{\pi}{180} = \frac{3}{\alpha} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{(180)(3)}{\pi} = 171.887^{\circ} \]

o considerando que

     \[ 0.887^{\circ} = ( 0.887 \cdot 60)' = 53. 24' \quad \textrm{y} \quad 0.24' = (0.24 \cdot 60)'' = 14''\]

entonces
3 rad = 171.887^{\circ} = 171^{\circ} 53' 14''

2 \frac{2\pi}{5} rad:

     \[ \frac{2\pi}{5} rad = \frac{(180)(2)}{5\pi} = 72^{\circ} \]

3 \frac{3\pi}{10} rad:

     \[ \frac{3\pi}{10} rad = \frac{(180)(3)}{10\pi} = 54^{\circ} \]

Expresa en radianes los siguientes ángulos:

1 316^{\circ}:

     \[ \frac{\pi}{180} = \frac{\alpha}{316} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{316\pi}{180} = \frac{79\pi}{45}rad \]

2 10^{\circ}:

     \[ \frac{\pi}{180} = \frac{\alpha}{10} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{10\pi}{180} = \frac{\pi}{18}rad \]

3 127^{\circ}:

     \[ \frac{\pi}{180} = \frac{\alpha}{127} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{127\pi}{180} = 2.216rad \]

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗