Los ángulos complementarios son aquellos que permiten formar un ángulo recto. Es decir, dos ángulos son complementarios si la suma de ellos es igual a 90^{\circ} o \pi/2 radianes. Para hallar el ángulo complementario de un ángulo que mide x^{\circ} solo restamos 90^{\circ} menos x^{\circ}. Otro punto adicional para observar es que un ángulo complementario siempre mide menos de 90^{\circ}. Es decir, es un ángulo agudo. O, visto de otro modo, solo dos ángulos que son agudos pueden ser complementarios.

La siguiente figura ilustra como podemos obtener al ángulo complementario de ángulo \alpha dado

Ángulos complementarios

Podemos calcular el {\rm seno} y el {\rm coseno} del ángulo complementario de un ángulo \alpha. Como ya sabemos dicho ángulo complementario es \pi/2-\alpha. Recordemos que {\rm sen}(\pi/2)=1 y que \cos(\pi/2)=0, entonces usando las formulas para el seno y el coseno de una resta obtenemos,

    $${\rm sen}(\pi/2-\alpha)={\rm sen}(\pi/2){\rm cos}(\alpha)-{\rm cos}(\pi/2){\rm sen}(\alpha)={\rm cos}(\alpha)$$

    $${\rm cos}(\pi/2-\alpha)={\rm cos}(\pi/2){\rm cos}(\alpha)+{\rm sen}(\pi/2){\rm sen}(\alpha)={\rm sen}(\alpha)$$

    $${\rm tg}(\pi/2-\alpha)=\cfrac{{\rm sen}(\pi/2-\alpha)}{{\rm cos}(\pi/2-\alpha)}=\cfrac{\cos(\alpha)}{{\rm sen}(\alpha)}={\rm cotg}(\alpha).$$

Ejemplos:

1 Calcular el seno, coseno y tangente del ángulo complementario de 30^{\circ}.

Primero notemos que dicho ángulo es igual 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}, entonces usando las formulas antes estipuladas tenemos que

    $${\rm sen}(60^{\circ})={\rm sen}(90^{\circ}-30^{\circ})={\rm sen}(90^{\circ}){\rm cos}(30^{\circ})-{\rm cos}(90^{\circ}){\rm sen}(30^{\circ})={\rm cos}(30^{\circ})=\cfrac{\sqrt{3}}{2}$$

    $${\rm cos}(60^{\circ})={\rm cos}(90^{\circ}-30^{\circ})={\rm cos}(90^{\circ}){\rm cos}(30^{\circ})+{\rm sen}(90^{\circ}){\rm sen}(30^{\circ})={\rm sen}(30^{\circ})=\cfrac{1}{2}$$

    $${\rm tg}(60^{\circ})={\rm tg}(90^{\circ}-30^{\circ})=\cfrac{{\rm sen}(90^{\circ}-30^{\circ})}{{\rm cos}(90^{\circ}-30^{\circ})}=\cfrac{\cos(30^{\circ})}{{\rm sen}(30^{\circ})}={\rm cotg}(30^{\circ})=\sqrt{3}.$$

 

2 Dado un triángulo rectángulo con una de sus ángulo igual 45^{\circ}, calcular el seno, coseno y tangente del ángulo faltante en el triángulo, llamémoslo \alpha.

Primero notemos que dicho ángulo es igual \alpha=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}, entonces usando las formulas antes estipuladas tenemos que

    $${\rm sen}(45^{\circ})={\rm sen}(90^{\circ}-45^{\circ})={\rm sen}(90^{\circ}){\rm cos}(45^{\circ})-{\rm cos}(90^{\circ}){\rm sen}(45^{\circ})={\rm cos}(45^{\circ})=\cfrac{\sqrt{2}}{2}$$

    $${\rm cos}(45^{\circ})={\rm cos}(90^{\circ}-45^{\circ})={\rm cos}(90^{\circ}){\rm cos}(45^{\circ})+{\rm sen}(90^{\circ}){\rm sen}(45^{\circ})={\rm sen}(45^{\circ})=\cfrac{\sqrt{2}}{2}$$

    $${\rm tg}(45^{\circ})={\rm tg}(90^{\circ}-45^{\circ})=\cfrac{{\rm sen}(90^{\circ}-45^{\circ})}{{\rm cos}(90^{\circ}-45^{\circ})}=\cfrac{\cos(45^{\circ})}{{\rm sen}(45^{\circ})}={\rm cotg}(45^{\circ})=1.$$

 

3 Calcular el seno, coseno y tangente de 30^{\circ}.

Primero notemos que dicho ángulo es igual 30^{\circ}=90^{\circ}-60^{\circ}, entonces usando las formulas antes estipuladas tenemos que

    $${\rm sen}(30^{\circ})={\rm sen}(90^{\circ}-60^{\circ})={\rm sen}(90^{\circ}){\rm cos}(60^{\circ})-{\rm cos}(90^{\circ}){\rm sen}(60^{\circ})={\rm cos}(60^{\circ})=\cfrac{1}{2}$$

    $${\rm cos}(30^{\circ})={\rm cos}(90^{\circ}-60^{\circ})={\rm cos}(90^{\circ}){\rm cos}(60^{\circ})+{\rm sen}(90^{\circ}){\rm sen}(60^{\circ})={\rm sen}(60^{\circ})=\cfrac{\sqrt{3}}{2}$$

    $${\rm tg}(30^{\circ})={\rm tg}(90^{\circ}-60^{\circ})=\cfrac{{\rm sen}(90^{\circ}-60^{\circ})}{{\rm cos}(90^{\circ}-60^{\circ})}=\cfrac{\cos(60^{\circ})}{{\rm sen}(60^{\circ})}={\rm cotg}(60^{\circ})=\cfrac{1}{\sqrt{3}}.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗