Ley de Senos

Ley de senos

La razón que existe entre un lado de un triángulo oblicuángulo y el seno del ángulo opuesto a dicho lado es proporcional a la misma razón entre los lados y ángulos restantes, es decir:

{\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\quad}

Esta relación es conocida como la ley de senos.

Supongamos que tenemos {a, b} y {A}, es decir,

Teorema de los senos

 

{\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}. \,} Se tiene los siguientes casos:

{\sin B > 1.} No hay solución {\sin B = 1.} Triángulo rectángulo

{sen B < 1.} Una o dos soluciones

Ejemplos de los casos

1 {\sin B > 1.} No hay solución

Resuelve el triángulo de datos: {A = 30°}, {a = 3 m} y {b = 8 m}. Por la ley de senos se tiene la siguiente relación:{\dfrac{3}{\sin 30} = \dfrac{8}{\sin B}} {\sin B = \dfrac{8\cdot \sin 30}{3}} {\sin B = \frac{4}{3} > 1}

Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución.

Ley de senos no hay solución

La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.


2 {\sin B = 1} Triángulo rectángulo

Resuelve el triángulo dados {A = 30°}, {a = 3 m} y {b = 6 m}.Por la ley de senos se tiene la siguiente relación:{\dfrac{3}{\sin 30} = \dfrac{6}{\sin B}} {\sin B = \dfrac{6\cdot \sin 30}{3}} {\sin B = \frac{3}{3} = 1} {B = \sin^{-1}(1) \quad B = 90}Por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo, como se muestra en la siguiente imagen.

Ley de senos triángulo rectángulo

Ahora calculamos el ángulo restante y el valor de los lados faltantes.

{C = 90 - 30 = 60}

{a = 6\cdot \sin 30 = 3m}

{c = 6\cdot \cos 30 = 3\sqrt{3}m}


3 {\sin B < 1.} Una o dos soluciones

1 Resuelve el triángulo de datos: {A = 60°}, {a = 8 m} y {b = 4 m}.Por la ley de senos se tiene la siguiente relación:{\dfrac{8}{\sin 60} = \dfrac{4}{\sin B}}[latex]{\sin B = \dfrac{4 \cdot \sin 60}{8}}[/latex]{\sin B = \frac{\sqrt{3}}{4}}Entonces tenemos dos opciones:{\left\{\begin{matrix} B = 25º 40'\\ B = 180 -25º 40' = 154º 20' \end{matrix}\right.}Como {a > b} solo es válida la solución: {B = 25º 40'}

Calculamos el lado faltante,

{C = 180 - (60 + 25º 40') = 94º 20'}

Aplicando de nuevo la ley de senos:

{\dfrac{8}{\sin 60} = \dfrac{c}{\sin 94º20'}}

{c = \dfrac{8\cdot \sin 94º 20'}{\sin 60}}

{c = 9.21m}

2 Resuelve el triángulo de datos: {A = 30}, {a = 3 m} y {b = 4 m}.

{\dfrac{3}{\sin 30} = \dfrac{4}{\sin B}}

{\sin B = \dfrac{4\cdot \sin 30}{3}}

{\sin B = \frac{2}{3}}

Entonces,

{\left\{\begin{matrix} B_1 = 41º 48'\\ B_2 = 180 -41º 48' = 138º 12' \end{matrix}\right.}

Como {a<b} solo son válidas las dos soluciones

{C_1 = 180 -(30 + 41º48') = 108º12'}

Aplicando de nuevo la ley de senos:

{\dfrac{3}{\sin 30} = \dfrac{c}{\sin 108º12'}}

{c = \dfrac{3 \cdot \sin 108º 12'}{\sin 30}}

´c = 5.7m}

{C_2 = 180 - (30+138º 12') = 11º 48'}

Aplicando de nuevo la ley de senos:

{\dfrac{3}{\sin 30} = \dfrac{c}{\sin 11º48'}}

{c = \dfrac{3 \cdot \sin 108º 12'}{\sin 30}}

{c = 1.227 m}

Resolución de triángulos rectángulos

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗