1 Comprueba las identidades:

 

A \sin b\cdot \cos(a-b)+\cos b\cdot \sin(a-b)=\sin a

 

B \cot (a+b)=\cfrac{\cot a\cdot \cot b-1}{\cot a+\cot b}

 

 

Comprueba las identidades:

 

A \sin b\cdot \cos(a-b)+\cos b\cdot \sin(a-b)=\sin a

 

1 Usamos la identidad \sin (\alpha +\beta )=\sin\alpha \cdot \cos\beta+\cos\alpha \cdot \sin\beta

 

\sin b\cdot \cos(a-b)+\cos b\cdot \sin(a-b)=\sin b\cdot \cos(a-b)+\cos b\cdot \sin(a-b)

 

=\sin(b+a-b)=\sin b

 

B \cot (a+b)=\cfrac{\cot a\cdot \cot b-1}{\cot a+\cot b}

 

1 Reescribimos  la cotangente como: \cot(a+b)=\cfrac{1}{\tan(a+b)}

 

2 Usamos la identidad tan(\alpha \pm \beta )=\cfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta }{1\mp \tan\alpha \cdot \tan\beta }

 

=\cfrac{1}{\cfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\cdot \tan b}}=\cfrac{1-\tan a\cdot \tan b}{\tan a+\tan b}

 

3 Dividimos al numerador y al denominador por  \tan a\cdot \tan b

 

=\cfrac{\cfrac{1}{\tan a\cdot \tan b}-\cfrac{\tan a\cdot \tan b}{\tan a\cdot \tan b}}{\cfrac{\tan a}{\tan a\cdot \tan b}+\cfrac{\tan b}{\tan a\cdot \tan b}}=\cfrac{\cot a\cdot \cot b-1}{\cot a+\cot b}

2 Simplifica las fracciones:

 

A \cfrac{\sin 2x}{1+\cos 2x}

 

B \cfrac{\sin 2a}{1-\cos^{2}a}\cdot \cfrac{\sin 2a}{\cos a}

 

C \cfrac{\sin 3a-\sin 5a}{\cos 3a+\cos 5a}

 

 

Simplifica las fracciones:

 

A \cfrac{\sin 2x}{1+\cos 2x}

 

Aplicamos las identidades de ángulo doble:

 

\cfrac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\cfrac{2 \sin x\cdot \cos x}{1+\cos^{2}x-\sin^{2}x}=\cfrac{2 \sin x\cdot \cos x}{\cos^{2}x+\cos^{2}x}=\tan x

 

B \cfrac{\sin 2a}{1-\cos^{2}a}\cdot \cfrac{\sin 2a}{\cos a}

 

En el numerador aplicamos una identidad de ángulo doble y en el denominador una identidad pitagórica

 

\cfrac{\sin 2a}{1-\cos^{2}a}\cdot \cfrac{\sin 2a}{\cos a}=\cfrac{(2\sin a\cdot \cos a)^{2}}{\sin^{2}a\cdot \cos a}=4\cos a

 

C \cfrac{\sin 3a-\sin 5a}{\cos 3a+\cos 5a}

 

Usamos identidades de suma o diferencia a producto

 

\cfrac{\sin 3a-\sin 5a}{\cos 3a+\cos 5a}=\cfrac{2\cos 4a\cdot \sin(-a)}{2\cos 4a\cdot \cos(-a)}=-\tan a

 

3 Calcula las razones de 15^{\circ} (a partir de las de 45^{\circ} y 30^{\circ}).

 

 

Calcula el seno y el coseno de 15^{\circ} (a partir de las de 45^{\circ} y 30^{\circ}).

A Para el seno, expresamos el ángulo como una diferencia:

 

\sin 15^{\circ}=\sin (45^{\circ}-30^{\circ})

 

B Aplicamos la identidad del seno de una diferencia:

 

=\sin 45^{\circ}\cdot \cos 30^{\circ}-\cos 45^{\circ}\cdot \sin 30^{\circ}

 

C Sustituimos los valores de las funciones de ángulos notables:

 

=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2}}{4}\, \left (\sqrt{3}-1 \right )

 

D Para el coseno, realizamos los mismos pasos pero aplicamos la identidad de coseno de una diferencia:

 

\cos 15^{\circ}=\cos \left ( 45^{\circ}-30^{\circ} \right )=\cos 45^{\circ}\cos 30^{\circ}+\sin 45^{\circ}\sin 30^{\circ}

 

=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2}}{4}\, \left ( \sqrt{3}+1 \right )

4 Desarrolla \cos (x+y+z)

 

 

Desarrolla \cos (x+y+z)

Introducimos un signo de agrupación y aplicamos la identidad de coseno de una suma de ángulos

 

\cos (x+y+z)=\cos\left [ x+(y+z) \right ]

=\cos x\cdot \cos(y+z)-\sin x\cdot \sin(y+z)

=\cos x(\cos y\cdot \cos z-\sin y\cdot \sin z)-\sin x(\sin y\cdot \cos z+\cos y\cdot \sin z)

=\cos x\cdot \cos y\cdot \cos z-\cos x\cdot \sin y\cdot \sin z-\sin x\cdot \sin y\cdot \cos z-\sin x\cdot \cos y\cdot \sin z

 

5 Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

 

A 2\tan x-3\cot x-1=0

B \cos^{2}x-3\sin^{2}x=0

 

 

Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

 

A 2\tan x-3\cot x-1=0

 

1 Cambiamos la \cot x por su función recíproca y multiplicamos todo por \tan x:

 

2\tan x-\cfrac{3}{\tan x}-1=0

2\tan^{2}x-\tan x-3=0

 

2 Hacemos el cambio de variable u=\tan x y resolvemos la ecuación cuadrática resultante:

 

2u^{2}-u-3=0

 

(2u-3)(u+1)=0

 

u_{1}=\frac{3}{2}\; \; \; \; \; u_{2}=-1

 

3 Deshacemos el cambio de variable y obtenemos los valores de x

 

\tan x =\cfrac{3}{2}\; \; \; \Rightarrow \; \; \; \left\{\begin{matrix} x_{1}=56.30^{\circ}+360^{\circ}k\\ \\ x_{2}=236.3^{\circ}+360^{\circ}k \end{matrix}\right.

 

\tan x =-1\; \; \; \Rightarrow \; \; \; \left\{\begin{matrix} x_{3}=135^{\circ}+360^{\circ}k\\ \\ x_{4}=305^{\circ}+360^{\circ}k \end{matrix}\right.

 

B \cos^{2}x-3\sin^{2}x=0

 

1 Aplicamos una identidad pitagórica para dejar la ecuación expresada con seno:

 

1-\sin^{2}x-3\sin^{2}x=0 1-4\sin^{2}x=0

 

x=\arcsin \cfrac{1}{2}\; \; \; \Rightarrow \; \; \; \left\{\begin{matrix} x_{1}=30^{\circ}+360^{\circ}k \\ \\ x_{2}=150^{\circ}+360^{\circ}k \end{matrix}\right.

 

x=\arcsin \left (-\cfrac{1}{2} \right )\; \; \; \Rightarrow \; \; \; \left\{\begin{matrix} x_{3}=210^{\circ}+360^{\circ}k \\ \\ x_{4}=330^{\circ}+360^{\circ}k \end{matrix}\right.

6 Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

 

A \sin (2x+60^{\circ})+\sin(x+30^{\circ})=0

 

B \sin^{2}x-\cos^{2}x=\cfrac{1}{2}

 

Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

A \sin (2x+60^{\circ})+\sin(x+30^{\circ})=0

 

1 Aplicamos la identidad del ángulo doble para el seno

 

\sin \left [ 2\left ( x+30^{\circ} \right ) \right ]+\sin(x+30^{\circ})=0

 

2\sin (x+30^{\circ})\cos(x+30^{\circ})+\sin(x+30^{\circ})=0

 

2 Factorizamos por factor común

 

\sin(x+30^{\circ})\left [ 2\cos(x+30^{\circ})+1 \right ]=0

 

\sin(x+30^{\circ})=0 \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; x_{1}=150^{\circ}\cdot 180^{\circ}k

 

2\cos(x+30^{\circ})+1=0\; \; \; \Rightarrow\; \; \; \cos(x+30^{\circ})=-\cfrac{1}{2}\; \; \; \Rightarrow\; \; \;\left\{\begin{matrix} x_{2}=120^{\circ}+360^{\circ}k\\ \\ x_{3}=240^{\circ}+360^{\circ}k \end{matrix}\right.

 

B \sin^{2}x-\cos^{2}x=\cfrac{1}{2}

 

1 Reacomodamos la expresión y aplicamos la identidad del ángulo doble para el coseno

 

\sin^{2}x-\cos^{2}x=\cfrac{1}{2}

 

\cos^{2}x-\sin^{2}x=-\cfrac{1}{2}

 

\cos 2x=-\cfrac{1}{2}

 

x=\left\{\begin{matrix} x_{1}=60^{\circ}+180^{\circ}k\\ \\ x_{2}=120^{\circ}+180^{\circ}k \end{matrix}\right.

7 Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

 

A \sin x+\sqrt{3}\cos x=2

B \sin 2x=\cos 60^{\circ}

 

 

Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

 

A \sin x+\sqrt{3}\cos x=2

 

1 Dividimos ambos miembros de la igualdad por 2

 

\cfrac{1}{2}\sin x+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x=1

 

2 Cambiamos  \cfrac{1}{2}=\cos 60^{\circ} y \cfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin 60^{\circ}

\cos 60^{\circ}\cdot \sin x+\sin 60^{\circ}\cos x=1

 

3 Aplicamos la identidad del coseno de una diferencia de ángulos

 

\cos(30^{\circ}-x)=1 \; \; \; \Rightarrow \; \; \; x=30^{\circ}+360^{\circ}k

 

B \sin 2x=\cos 60^{\circ}

 

1 Despejamos la x

\sin 2x=\cfrac{1}{2}

 

\sin 2x=\cfrac{1}{2}\; \; \; \Rightarrow \; \; \; \left\{\begin{matrix} x_{1}=15^{\circ}+180^{\circ}k\\ \\ x_{2}=15^{\circ}+180^{\circ}k \end{matrix}\right.

8 Calcula el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A=45^{\circ}, B=72^{\circ} y a=20m.

 

 

Calcula el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A=45^{\circ}, B=72^{\circ} y a=20m.

 

Ejercicio de triángulo circunscrito representación gráfica

 

\cfrac{a}{\sin A}=2R

 

R=\cfrac{20}{2\sin 45^{\circ}}=14.4\, \textup{m}

9 El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.

 

 

El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.

Ángulo formado por dos tangentes a una circunferencia representación gráfica

 

 

36^{2}=25^{2}+25^{2}-2\cdot 25\cdot 25\cos \textup{O}\; \; \; \Rightarrow \; \; \; \textup{O}=92^{\circ}{6}'{32}''

 

En el cuadrilatero AOBT, los ángulos A y B son rectos.

 

O+T=180^{\circ}\; \; \; \Rightarrow \; \; \; T=180^{\circ}-92^{\circ}{6}'{32}''=87^{\circ}{53}'{28}''

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Marta

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Ruico
Ruico
Invité
14 Nov.

Me gustaría saber cómo se demuestra el teorema del coseno aplicado al del seno

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
13 Jun.

Hola,
 
¿podrías reformular tu pregunta? ya que la demostración del teorema del coseno no involucra al teorema del seno, pero no comprendo si lo que quieres es demostrar un teorema aplicando el otro.
 
Un saludo