Dado el siguiente triángulo rectángulo, calcula la medida de los lados y los ángulos desconocidos para cada caso:

Teorema de Pitágoras - Triángulo rectángulo

1Dados {b = 6 \, cm} y {c = 11 \, cm}, calcula {a, B} y {C}.

Sabemos que {\widehat{A} = 90º}

Podemos calcular el lado que nos falta usando el teorema de Pitágoras:

{a = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{6^2 + 11^2} = \sqrt{157} = 12.53}

Hallamos {B} usando las razones trigonométricas:

{tg \, \widehat{B} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{6}{11} = 0.\overline{54}\quad \Rightarrow \quad \widehat{B} = 28º \, 22'\, 8''}

Como la suma de todos los ángulos de un triángulo es {180º}, podemos calcular el ángulo que nos falta:

{\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 90º + 28º\, 22'\, 8 '' + \widehat{C} = 180º}

{\Rightarrow \widehat{C} = 180º - 90º - 28º\, 22' \, 8'' = 61º \, 37' \, 52''}

2Dados {b = 39 \, cm} y {B = 31º}, calcula {a, c} y {C}.

Sabemos que {\widehat{A} = 90º}

{sen\, \widehat{B} = \dfrac{b}{a} = \dfrac{39}{a} \quad \Rightarrow \quad a = \dfrac{39}{sen\, \widehat{B}} = \dfrac{39}{sen\, 31º} = 75.72}

{tg \, \widehat{B} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{39}{c} \quad \Rightarrow \quad c = \dfrac{39}{tg \, \widehat{B}} = \dfrac{39}{tg \, 31º} = 64.91}

Como la suma de los lados del triángulo es {180º}:

{\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 90º + 31º + \widehat{C} = 180º}

{\Rightarrow \widehat{C} = 180º - 90º - 31º = 59º}

3Dados {c = 8 \, cm} y {B = 50º}, calcula {a, b} y {C}.

Sabemos que {\widehat{A} = 90º}

{\cos\widehat{B} =\dfrac{c}{a} \quad \Rightarrow \quad a = \dfrac{c}{\cos\widehat{B}} = \dfrac{8}{\cos 50º} = 12.45}

{sen \,\widehat{B} = \dfrac{b}{a} \Rightarrow b = a\cdot sen \,\widehat{B} = 12.45\cdot sen \,50º = 9.54}

Como la suma de los lados del triángulo es {180º}:

{\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 90º + 50º + \widehat{C} = 180º}

{\Rightarrow \widehat{C} = 180º - 90º - 50º = 40º}

4Dados {a = 8 \, cm} y {C = 65º}, calcula {b, c} y {B}.

Sabemos que {\widehat{A} = 90º}

Como la suma de los lados del triángulo es {180º}:

{\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 90º + \widehat{B} + 65º = 180º}

{\Rightarrow \widehat{B} = 180º - 90º - 65º = 25º}

Usando las razones trigonométricas:

{sen\, \widehat{C} = \dfrac{c}{a} \quad \Rightarrow \quad c = a\cdot sen\, \widehat{C} = 8\cdot sen\, 65º = 7.25}

{\cos \widehat{C} = \dfrac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad b = a\cdot \cos \widehat{C} = 8\cdot \cos 65º = 3.38}

 

Realiza: (Redondea a dos decimales en el caso que sea necesario)

5Calcula la altura de un árbol sabiendo que a una distancia de {8} metros se ve bajo un ángulo de {32º}

Altura = m

Ejemplo de triángulo rectángulo y funciones trigonométricas

{tg\, 32º = \dfrac{h}{8} \quad \Rightarrow \quad h = 8\cdot tg \,32º = 5 m}

6Una escalera de {6} metros está apoyada sobre una pared y forma un ángulo de {53º} con el suelo.

aCalcula la altura a la que se encuentra apoyada la escalera

Altura = m

b¿Qué distancia hay desde el extremo inferior de la escalera hasta la pared?

Distancia = m

Ejemplo de triángulo rectángulo y funciones trigonométricas

a

{sen \,53º = \dfrac{h}{6} \quad \Rightarrow \quad h = 6\cdot sen\,53º = 4.8 \,m}

b

{\cos \,53º = \dfrac{x}{6} \quad \Rightarrow \quad x = 6\cdot \cos\,53º = 3.61 \,m}

7Para medir la profundidad de una cueva, los espeleólogos utilizan un carrete de hilo. Van soltando hilo y miden la longitud y el ángulo que forma el hilo con la horizontal. ¿A qué profundidad se encontrará un espeleólogo que se encuentre en el punto {B}?

Problema de triángulos rectángulos y funciones trigonométricas

Profundidad = m

En primer lugar calculemos la longitud del tramo a:

{\cos 25º = \dfrac{a}{31} \quad \Rightarrow \quad a = 31\cdot \cos 25º = 28.1 \,m}

Hallamos ahora la longitud del tramo b:

{sen\, 65º = \dfrac{b}{36} \quad \Rightarrow \quad b = 36\cdot sen\, 65º = 32.63 \,m}

El espeleólogo se encuentra a una profundidad de {15 + 28.1 + 32.63 = 75.73} metros.

8Halla la anchura del río, utilizando las medidas que se han tomado:

Problemas de funciones trigonométricas

Anchura = m

Problemas de triángulos rectángulos y funciones trigonométricas

Dividimos el triángulo en dos triángulos rectágulos para poder usar las razones trigonométricas y resolvemos el sistema:
{\left\{\begin{matrix} tg\,40º = \dfrac{h}{55-x} & \Rightarrow h = (55-x)tg \,40º\\ tg \,51º = \dfrac{h}{x} & \Rightarrow h = x\cdot tg \,51º \end{matrix}\right.}

 

{\Rightarrow (55-x) \cdot tg \,40º = x\cdot tg \,51º}

{55\cdot tg \,40º -x\cdot tg \,40 = x\cdot tg \,51º}

{55\cdot tg \,40º = x\cdot tg \,51º+ x\cdot tg \,40}

{55\cdot tg \,40º = x(tg \,51º+ tg \,40)}

{x = \dfrac{55\cdot tg \,40º}{tg \,51º + tg \,40º} = 22.25}

 

{\Rightarrow h = x\cdot tg \,51º = 22.25\cdot tg\, 51º = 27.48}

La anchura del río es de {27.48} metros.

9Desde un cierto punto se ve la parte más alta de una torre bajo un ángulo de {25º}. Si avanzamos {20} metros para acercarnos a la torre, el ángulo es ahora de {51º}. Calcula la altura de la torre

Altura = m

Problemas de triángulos rectángulos y funciones trigonométricas
Usamos las razones trigonométricas apropiadas en cada uno de los dos triángulos rectángulos y resolvemos el sistema:

 

{\left\{\begin{matrix} tg\,25º = \dfrac{h}{20 + x} & \Rightarrow h = (20 + x)\cdot tg \,25º\\ tg \,51º = \dfrac{h}{x} & \Rightarrow h = x\cdot tg \,51º \end{matrix}\right.}

 

{\Rightarrow (20 + x) \cdot tg \,25º = x\cdot tg \,51º}

{20\cdot tg \,25º + x\cdot tg \,25 = x\cdot tg \,51º}

{20\cdot tg \,25º = x\cdot tg \,51º- x\cdot tg \,25}

{20\cdot tg \,25º = x(tg \,51º- tg \,25)}

{x = \dfrac{20\cdot tg \,25º}{tg \,51º - tg \,25º} = 12.13}

 

{\Rightarrow h = x\cdot tg \,51º = 12.13\cdot tg \,51 = 14.98}

La torre mide {14.98} metros de altura.

10¿Cuál es el diámetro de la circunferencia que se puede trazar con un compás cuyos brazos forman un ángulo de {34º} y miden {10} cm?

Altura = cm

Triángulo y funciones trigonométricas

Este triángulo es isósceles por tener dos lados de la misma longitud. Así que trazando la altura del triángulo, la base queda dividida en dos segmentos iguales y el ángulo opuesto a la base también se divide en dos ángulos iguales:

triángulo isosceles y Pitágoras

{sen \,17º = \dfrac{r/2}{10}\quad \dfrac{r}{2} = 10 \cdot sen\,17º \quad \Rightarrow \quad r = 2\cdot 10 \cdot sen \,17º = 5.85}

El radio de la circunferencia es de {5.85} cm, luego el diámetro de dicha circunferencia es {11.7} cm.

Elige la opcion correcta:

11Dos personas separadas por una distancia de {5 \, km} observan un avión con ángulos de {23º} y {18º} respectivamente. ¿A qué altura se encuentra el avión y quién se encuentra más cerca del avión?

Triángulo escaleno y Pitágoras

Usamos las razones trigonométricas en cada uno de los dos triángulos rectángulos y resolvemos el sistema:
{\left\{\begin{matrix} tg\,23º = \dfrac{h}{5 - x} & \Rightarrow h = (5 - x)\cdot tg \,23º\\ tg \,18º = \dfrac{h}{x} & \Rightarrow h = x\cdot tg \,18º \end{matrix}\right.}

 

{\Rightarrow (5 - x) \cdot tg \,23º = x\cdot tg \,18º}

{5\cdot tg \,23º - x\cdot tg \,23 = x\cdot tg \,18º}

{5\cdot tg \,23º = x\cdot tg \,18º + x\cdot tg \,23}

{5\cdot tg \,23º = x(tg \,18º + tg \,23)}

{x = \dfrac{5\cdot tg \,23º}{tg \,18º + tg \,23º} = 2.83}

 

{\Rightarrow h = x\cdot tg \,18º = 2.83\cdot tg \,18 = 0.92}

El avión se encuentra a {0.92\, km} de altura. La persona que observa el avión con un ángulo de {23º} se encuentra más cerca del avión ya que la distancia entre esta persona y la proyección horizontal del avión es de {5 - 2.83 = 2.17} km y la distancia entre la otra persona y la proyección horizontal del avión es de {2.83} km.

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗