Los siguiente teoremas hacen parte importante de la trigonometría. Dichos teoremas son el teorema de los senos, el teorema del coseno y el teorema de las tangentes. Estos son útiles para describir un triángulo, a partir de ellos podemos conocer los ángulo o lados del triángulo sin conocerlos todos.

Teorema de los senos

Al ubicar el circuncentro del triángulo trazamos una circunferencia de radio R alrededor del triángulo tal que este quede circunscrito, podemos dibujar un triángulo rectángulo de hipotenusa dos veces el radio de la circunferencia.

Leyes de la trigonometría

A partir de esto podemos notar que

Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.

Y dicha proporcionalidad se expresa en la siguiente formula que establece el teorema de los senos,

    $$\cfrac{a}{{\rm sen}(\hat{A})}=\cfrac{b}{{\rm sen}(\hat{B})}=\cfrac{c}{{\rm sen}(\hat{C})}=2R.$$

Ejemplo:

Dado un triángulo con lados a, b=8cm, c y ángulos \hat{A}, \hat{B}=85^{\circ}, \hat{C}=60^{\circ}. Calcular el valor de los lados a, c.

Notemos que conocemos el lado b y su ángulo opuesto \hat{B}=85^{\circ}, utilizamos el teorema de los senos para calcular primero el lado c,

    $$\cfrac{8}{{\rm sen}(85^{\circ})}=\cfrac{c}{{\rm sen}(60^{\circ})},$$

    $$c=\cfrac{8}{{\rm sen}(85^{\circ})}({\rm sen}(60^{\circ}))=\cfrac{8\cdot 0.87}{0.996}=7cm$$

Dado que la suma de los ángulos de un triángulo es 180^{\circ}, entonces el ángulo \hat{A} es

    $$\hat{A}=180^{\circ}-85^{\circ}-60^{\circ}=35^{\circ}.$$

Final el teorema de los senos nos dice que el lado a es

    $$\cfrac{8}{{\rm sen}(85^{\circ})}=\cfrac{a}{{\rm sen}(35^{\circ})},$$

    $$a=\cfrac{8}{{\rm sen}(85^{\circ})}({\rm sen}(35^{\circ}))=\cfrac{8\cdot 0.57}{0.996}=4.6cm$$

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Vamos

Teorema del coseno

Se podría decir que el teorema del coseno es el teorema de Pitágoras para triángulos no rectángulos. Ya que este estable lo siguiente

    $$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot{\rm cos}(\hat{A}).$$

    $$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot{\rm cos}(\hat{B}).$$

    $$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot{\rm cos}(\hat{C}).$$

Esto significa que

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

Ejemplo:

Consideremos el siguiente triángulo con lados a=15cm, b=10cm, c y ángulos \hat{A}, \hat{B}, \hat{C}=45^{\circ}. Hallar el valor del lado c.

Utilizaremos la fórmula del teorema del coseno, ya que esta nos relaciona los lados del triángulo que conocemos con el ángulo opuesto del lado desconocido. De esta forma tenemos que

    $$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot{\rm cos}(\hat{C}).$$

Reemplazando los valores que conocemos tenemos que

    $$c^{2}=(15)^{2}+(10)^{2}-2(15)(10)\cdot{\rm cos}(45^{\circ})=$$

    $$=15^{2}+10^{2}-150\sqrt{2}$$

Finalmente aplicando la raíz cuadrada, tenemos que

    $$c=\sqrt{15^{2}+10^{2}-150\sqrt{2}}=10.62cm$$

Teorema de las tangentes

El teorema de las tangentes es una formula que relaciona las longitudes de los lados de un triángulo con las tangentes de sus ángulos. Esta formula es consecuencia del teorema de los seno y la formula del seno de un ángulo medio. La formula es la siguiente

    $$\cfrac{a+b}{a-b}=\cfrac{{\rm tg}\left(\cfrac{\hat{A}+\hat{B}}{2}\right)}{{\rm tg}\left(\cfrac{\hat{A}-\hat{B}}{2}\right)}.$$

    $$\cfrac{a+c}{a-c}=\cfrac{{\rm tg}\left(\cfrac{\hat{A}+\hat{C}}{2}\right)}{{\rm tg}\left(\cfrac{\hat{A}-\hat{C}}{2}\right)}.$$

    $$\cfrac{b+c}{b-c}=\cfrac{{\rm tg}\left(\cfrac{\hat{B}+\hat{C}}{2}\right)}{{\rm tg}\left(\cfrac{\hat{B}-\hat{C}}{2}\right)}.$$

Ejemplo:

El siguiente triángulo tiene como lados a=10cm, b=21cm, c=17cm y como ángulos a \hat{A},\hat{B},\hat{C}. Deseamos saber el valor de {\rm tg}\left(\cfrac{\hat{A}-\hat{B}}{2}\right).

La formula para el teorema de las tangente nos relaciona el valor que buscamos con los lados del triángulo. Despejando tenemos que el valor que buscamos es

    $$\cfrac{a+b}{a-b}=\cfrac{{\rm tg}\left(\cfrac{\hat{A}+\hat{B}}{2}\right)}{{\rm tg}\left(\cfrac{\hat{A}-\hat{B}}{2}\right)}$$

    $${{\rm tg}\left(\cfrac{\hat{A}-\hat{B}}{2}\right)}=\cfrac{a-b}{a+b}\cdot{\rm tg}\left(\cfrac{\hat{A}+\hat{B}}{2}\right).$$

Por lo tanto solo debemos conocer el valor de {\rm tg}\left(\cfrac{\hat{A}+\hat{B}}{2}\right), esto lo haremos utilizando el teorema del coseno. Dada la información tenemos que

    $$(17)^{2}=(10)^{2}+(21)^{2}-2(21)(10)\cdot{\rm cos}(\hat{C}),$$

Lo que nos dice que

    $${\rm cos}(\hat{C})=\frac{(10)^{2}+(21)^{2}-(17)^{2}}{2(21)(10)}=\cfrac{3}{5},$$

    $$\hat{C}={\rm cos}^{-1}\left(\cfrac{3}{5}\right)=53.130102^{\circ}.$$

Dado que \hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ}, entonces

    $$\cfrac{\hat{A}+\hat{B}}{2}=90^{\circ}-\cfrac{\hat{C}}{2}.$$

De esto podemos concluir que

    $${\rm tg}\left(\cfrac{\hat{A}+\hat{B}}{2}\right)={\rm tg}\left(90^{\circ}-\cfrac{\hat{C}}{2}\right)=2.$$

Finalmente, el resultado es

    $${{\rm tg}\left(\cfrac{\hat{A}-\hat{B}}{2}\right)}=\cfrac{a-b}{a+b}\cdot{\rm tg}\left(\cfrac{\hat{A}+\hat{B}}{2}\right)=\cfrac{10-21}{10+21}\cdot 2=-\cfrac{22}{31}.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗