Name: Razones trigonometricas del angulo doble
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Marta

30 julio 2020

Temas

Seno del ángulo doble
Coseno del ángulo doble
Tangente del ángulo doble

Para encontrar el seno, coseno y tangente del doble de un ángulo notable aplicamos las fórmulas del ángulo doble. Esta se puede aplicar para cualquier ángulo, siempre que se conozca su valor para las tres funciones trigonométricas mencionadas.

Seno del ángulo doble

La fórmula para encontrar el seno de un ángulo doble es

${sen \, 2a = 2\, sen \, a \, cos \, a}$

Ejemplo 1: Hallar el seno de $120^o$

1 El ángulo de $120^o$ se escribe como

$120^o = 2 \cdot 60^o$

2 Encontramos los valores de seno y coseno para el ángulo notable de $60^o$

${sen \, 60^o = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \ \ cos \, 60^o = \displaystyle \frac{1}{2} }$

3 Sustituimos en la fórmula de seno de un ángulo doble

${\begin{array}{lcl} sen \, 120^o & = & sen \, 2 \cdot 60^o \\\\ & = & 2 \, sen \, 60^o \, cos \, 60^o \\\\ & = & 2 \cdot \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} }$

Ejemplo 2: Hallar el seno de $40^o$ si se sabe que $sen \, 20^o = 0.3420$ y $cos \, 20^o = 0.9397$

1 El ángulo de $40^o$ se escribe como

$40^o = 2 \cdot 20^o$

2 Nos proporcionan los valores de seno y coseno para el ángulo de $20^o$ , ya que no es un ángulo notable

${sen \, 20^o = 0.3420, \ \ \ cos \, 20^o = 0.9397 }$

3 Sustituimos en la fórmula de seno de un ángulo doble

${\begin{array}{lcl} sen \, 40^o & = & sen \, 2 \cdot 20^o \\\\ & = & 2 \, sen \, 20^o \, cos \, 20^o \\\\ & = & 2 \cdot (0.3420) \cdot (0.9397) \\\\ & = & 0.6428 \end{array} }$

Observa que en el caso de los ángulos notables se obtiene el resultado exacto, mientras que para aquellos que no son notables solamente se obtienen aproximaciones.

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Coseno del ángulo doble

La fórmula para encontrar el seno de un ángulo doble es

${cos \, 2a = cos^2 a - sen^2 a}$

Ejemplo 1: Hallar el coseno de $120^o$

1 El ángulo de $120^o$ se escribe como

$120^o = 2 \cdot 60^o$

2 Encontramos los valores de seno y coseno para $60^o$

${sen \, 60^o = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \ \ cos \, 60^o = \displaystyle \frac{1}{2} }$

3 Sustituimos en la fórmula de coseno de un ángulo doble

${\begin{array}{lcl} cos \, 120^o & = & cos \, 2 \cdot 60^o \\\\ & = & cos^2 60^o - sen^2 60^o \\\\ & = & \left( \displaystyle \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \\\\ & = & - \displaystyle \frac{1}{2} \end{array} }$

Ejemplo 2: Hallar el coseno de $40^o$ si se sabe que $sen \, 20^o = 0.3420$ y $cos \, 20^o = 0.9397$

1 El ángulo de $40^o$ se escribe como

$40^o = 2 \cdot 20^o$

2 Nos proporcionan los valores de seno y coseno para el ángulo de $20^o$ , ya que no es un ángulo notable

${sen \, 20^o = 0.3420, \ \ \ cos \, 20^o = 0.9397 }$

3 Sustituimos en la fórmula de coseno de un ángulo doble

${\begin{array}{lcl} cos \, 40^o & = & cos \, 2 \cdot 20^o \\\\ & = & cos^2 20^o - sen^2 20^o \\\\ & = & (0.9397)^2 - (0.3420)^2 \\\\ & = & 0.7661 \end{array} }$

Ejemplo 3: Hallar el coseno de $240^o$

1 El ángulo de $240^o$ se escribe como

$240^o = 2 \cdot 120^o$

2 Los valores de seno y coseno para $120^o$ son

${sen \, 120^o = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \ \ cos \, 120^o = -\displaystyle \frac{1}{2} }$

3 Sustituimos en la fórmula de coseno de un ángulo doble

${\begin{array}{lcl} cos \, 240^o & = & cos \, 2 \cdot 120^o \\\\ & = & cos^2 120^o - sen^2 120^o \\\\ & = & \left( - \displaystyle \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \\\\ & = & - \displaystyle \frac{1}{2} \end{array} }$

Tangente del ángulo doble

La fórmula para encontrar la tangente de un ángulo doble es

${tan \, 2a = \displaystyle \frac{2 \, tan \, a}{1 - tan^2 a}}$

Ejemplo 1: Hallar la tangente de $120^o$

1 El ángulo de $120^o$ se escribe como

$120^o = 2 \cdot 60^o$

2 Encontramos los valores para la tangente de $60^o$

${tan \, 60^o = \sqrt{3}}$

3 Sustituimos en la fórmula de tangente de un ángulo doble

${\begin{array}{lcl} tan \, 120^o & = & tan \, 2 \cdot 60^o \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \, tan \, 60^o}{1 - tan^2 60^o} \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{1 - (\sqrt{3})^2} \\\\ & = & - \sqrt{3} \end{array} }$

Ejemplo 2: Hallar la tangente de $70^o$ si se sabe que $sen \, 35^o = 0.5736$ y $cos \, 35^o = 0.8192$

1 El ángulo de $70^o$ se escribe como $70^o = 2 \cdot 35^o$ .

2 Encontramos los valores para la tangente de $35^o$

${tan \, 35^o = \displaystyle \frac{sen \, 35^o}{cos \, 35^o} = \frac{0.5736}{0.8192} = 0.7002}$

3 Sustituimos en la fórmula de tangente de un ángulo doble

${\begin{array}{lcl} tan \, 70^o & = & tan \, 2 \cdot 35^o \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \, tan \, 35^o}{1 - tan^2 35^o} \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \cdot (0.7002)}{1 - (0.7002)^2} \\\\ & = & 2.7474 \end{array} }$

Ejemplo 3: Hallar la tangente de $100^o$ sabiendo que ${tan \, 25^o = 0.4663}$

1 El ángulo de $100^o$ se escribe como $100^o = 2 \cdot 50^o$ y el ángulo de $50^o$ se escribe como ${50^o = 2 \cdot 25^o}$

2 El valor para la tangente de $25^o$ viene dada de acuerdo a los datos por ${tan \, 25^o = 0.4663}$

3 Sustituimos en la fórmula de tangente de un ángulo doble

${\begin{array}{lcl} tan \, 50^o & = & tan \, 2 \cdot 25^o \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \, tan \, 25^o}{1 - tan^2 25^o} \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \cdot (0.4663)}{1 - (0.4663)^2} \\\\ & = & 1.1917 \end{array}}$

4 Sustituimos nuevamente en la fórmula de tangente de un ángulo doble para obtener ${tan \, 100^o}$

${\begin{array}{lcl} tan \, 100^o & = & tan \, 2 \cdot 50^o \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \, tan \, 50^o}{1 - tan^2 50^o} \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \cdot (1.1917)}{1 - (1.1917)^2} \\\\ & = & -5.6728 \end{array} }$

Recuerda que en el caso de los ángulos notables se obtiene el resultado exacto, mientras que para aquellos que no son notables solamente se obtienen aproximaciones.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

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Sirpa

Mayo

¿Y podría poner de secante cosecante y cotangente?

Superprof

Junio

Hola, y gracias por el comentario. Lo tomamos en cuenta. ¡Un saludo!

lizmar rojas

Enero

como calcular la tang del angulo doble cuando no tengo grados sino numeros ejemplo
tang 2alfa

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