Para encontrar el seno, coseno y tangente del doble de un ángulo notable aplicamos las fórmulas del ángulo doble. Esta se puede aplicar para cualquier ángulo, siempre que se conozca su valor para las tres funciones trigonométricas mencionadas.

 

Seno del ángulo doble

La fórmula para encontrar el seno de un ángulo doble es

 

{sen \, 2a = 2\, sen \, a \, cos \, a}

 

Ejemplo 1: Hallar el seno de 120^o

 

1 El ángulo de 120^o se escribe como

 

120^o = 2 \cdot 60^o

 

2 Encontramos los valores de seno y coseno para el ángulo notable de 60^o

 

{sen \, 60^o = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \ \ cos \, 60^o = \displaystyle \frac{1}{2} }

 

3 Sustituimos en la fórmula de seno de un ángulo doble

 

{\begin{array}{lcl} sen \, 120^o & = & sen \, 2 \cdot 60^o \\\\ & = & 2 \, sen \, 60^o \, cos \, 60^o  \\\\ & = & 2 \cdot \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} }

 

Ejemplo 2: Hallar el seno de 40^o si se sabe que sen \, 20^o = 0.3420 y cos \, 20^o = 0.9397

 

1 El ángulo de 40^o se escribe como

 

40^o = 2 \cdot 20^o

 

2 Nos proporcionan los valores de seno y coseno para el ángulo de 20^o, ya que no es un ángulo notable

 

{sen \, 20^o = 0.3420, \ \ \ cos \, 20^o = 0.9397 }

 

3 Sustituimos en la fórmula de seno de un ángulo doble

 

{\begin{array}{lcl} sen \, 40^o & = & sen \, 2 \cdot 20^o \\\\ & = & 2 \, sen \, 20^o \, cos \, 20^o \\\\ & = & 2 \cdot (0.3420) \cdot (0.9397) \\\\ & = & 0.6428 \end{array} }

 

Observa que en el caso de los ángulos notables se obtiene el resultado exacto, mientras que para aquellos que no son notables solamente se obtienen aproximaciones.

 

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Coseno del ángulo doble

La fórmula para encontrar el seno de un ángulo doble es

 

{cos \, 2a = cos^2 a - sen^2 a}

 

Ejemplo 1: Hallar el coseno de 120^o

 

1 El ángulo de 120^o se escribe como

 

120^o = 2 \cdot 60^o

 

2 Encontramos los valores de seno y coseno para 60^o

 

{sen \, 60^o = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \ \ cos \, 60^o = \displaystyle \frac{1}{2} }

 

3 Sustituimos en la fórmula de coseno de un ángulo doble

 

{\begin{array}{lcl} cos \, 120^o & = & cos \, 2 \cdot 60^o \\\\ & = & cos^2 60^o - sen^2 60^o \\\\ & = & \left( \displaystyle \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \\\\ & = & - \displaystyle \frac{1}{2} \end{array} }

 

Ejemplo 2: Hallar el coseno de 40^o si se sabe que sen \, 20^o = 0.3420 y cos \, 20^o = 0.9397

 

1 El ángulo de 40^o se escribe como

 

40^o = 2 \cdot 20^o

 

2 Nos proporcionan los valores de seno y coseno para el ángulo de 20^o, ya que no es un ángulo notable

 

{sen \, 20^o = 0.3420, \ \ \ cos \, 20^o = 0.9397 }

 

3 Sustituimos en la fórmula de coseno de un ángulo doble

 

{\begin{array}{lcl} cos \, 40^o & = & cos \, 2 \cdot 20^o \\\\ & = & cos^2 20^o - sen^2 20^o \\\\ & = & (0.9397)^2 - (0.3420)^2 \\\\ & = & 0.7661 \end{array} }

 

Ejemplo 3: Hallar el coseno de 240^o

 

1 El ángulo de 240^o se escribe como

 

240^o = 2 \cdot 120^o

 

2 Los valores de seno y coseno para 120^o son

 

{sen \, 120^o = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \ \ cos \, 120^o = -\displaystyle \frac{1}{2} }

 

3 Sustituimos en la fórmula de coseno de un ángulo doble

 

{\begin{array}{lcl} cos \, 240^o & = & cos \, 2 \cdot 120^o \\\\ & = & cos^2 120^o - sen^2 120^o \\\\ & = & \left( - \displaystyle \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \\\\ & = & - \displaystyle \frac{1}{2} \end{array} }

 

Tangente del ángulo doble

La fórmula para encontrar la tangente de un ángulo doble es

 

{tan \, 2a = \displaystyle \frac{2 \, tan \, a}{1 - tan^2 a}}

 

Ejemplo 1: Hallar la tangente de 120^o

 

1 El ángulo de 120^o se escribe como

 

120^o = 2 \cdot 60^o

 

2 Encontramos los valores para la tangente de 60^o

 

{tan \, 60^o = \sqrt{3}}

 

3 Sustituimos en la fórmula de tangente de un ángulo doble

 

{\begin{array}{lcl} tan \, 120^o & = & tan \, 2 \cdot 60^o \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \, tan \, 60^o}{1 - tan^2 60^o} \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{1 - (\sqrt{3})^2} \\\\ & = & - \sqrt{3} \end{array} }

 

Ejemplo 2: Hallar la tangente de 70^o si se sabe que sen \, 35^o = 0.5736 y cos \, 35^o = 0.8192

 

1 El ángulo de 70^o se escribe como 70^o = 2 \cdot 35^o.

 

2 Encontramos los valores para la tangente de 35^o

 

{tan \, 35^o = \displaystyle \frac{sen \, 35^o}{cos \, 35^o} = \frac{0.5736}{0.8192} = 0.7002}

 

3 Sustituimos en la fórmula de tangente de un ángulo doble

 

{\begin{array}{lcl} tan \, 70^o & = & tan \, 2 \cdot 35^o \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \, tan \, 35^o}{1 - tan^2 35^o} \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \cdot (0.7002)}{1 - (0.7002)^2} \\\\ & = & 2.7474 \end{array} }

 

Ejemplo 3: Hallar la tangente de 100^o sabiendo que {tan \, 25^o = 0.4663}

 

1 El ángulo de 100^o se escribe como 100^o = 2 \cdot 50^o y el ángulo de 50^o se escribe como {50^o = 2 \cdot 25^o}

 

2 El valor para la tangente de 25^o viene dada de acuerdo a los datos por {tan \, 25^o = 0.4663}

 

3 Sustituimos en la fórmula de tangente de un ángulo doble

 

{\begin{array}{lcl} tan \, 50^o & = & tan \, 2 \cdot 25^o \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \, tan \, 25^o}{1 - tan^2 25^o} \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \cdot (0.4663)}{1 - (0.4663)^2} \\\\ & = & 1.1917 \end{array}}

 

4 Sustituimos nuevamente en la fórmula de tangente de un ángulo doble para obtener {tan \, 100^o}

 

{\begin{array}{lcl} tan \, 100^o & = & tan \, 2 \cdot 50^o \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \, tan \, 50^o}{1 - tan^2 50^o} \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \cdot (1.1917)}{1 - (1.1917)^2} \\\\ & = & -5.6728 \end{array} }

 

Recuerda que en el caso de los ángulos notables se obtiene el resultado exacto, mientras que para aquellos que no son notables solamente se obtienen aproximaciones.

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗