Marta

8 mayo 2019

 

En la resolución de triángulos rectángulos nos encontramos 4 casos:

 

1 Se conocen la hipotenusa y un cateto

 

representacion grafica de ejercicio de triangulo rectangulo 1

 

Supongamos que se conoce la hipotenusa {a} y el cateto {b}. Para encontrar el cateto faltante y los dos ángulos agudos, calculamos

 

{sen\; B = \displaystyle\frac{b}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ B=arcsen\left( \frac{b}{a}\right)}

 

{C=90^{o}-B}

 

{cos\; B = \displaystyle\frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c=a\; cos\; B}

 

Otra forma de calcular el cateto {c} es mediante el Teorema de Pitágoras

 

{c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}}

 

Ejemplo:

 

Resolver el triángulo conociendo {a=415\; m} y {b=280\; m}.

 

Calculamos el cateto faltante y los dos ángulos agudos

 

{sen\; B = \displaystyle\frac{280}{415}=0.6747 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ B=arcsen(0.674)=42^{o}\; 25'}

 

{C=90^{o}-42^{o}\; 25'=47^{o}\; 35'}

 

{cos\; B = \displaystyle\frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c=415\; cos(42^{o}\; 25')=306.31\; m}

 

2 Se conocen los dos catetos

 

representacion grafica de ejercicio de triangulo rectangulo 2

 

Para encontrar la hipotenusa y los dos ángulos agudos, calculamos

 

{tg\; B = \displaystyle\frac{b}{c} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ B=arctg\left( \frac{b}{c}\right)}

 

{C=90^{o}-B}

 

{sen\; B = \displaystyle\frac{b}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=\frac{b}{sen\; B}}

 

Otra forma de calcular la hipotenusa {a} es mediante el Teorema de Pitágoras

 

{a=\sqrt{b^{2}+c^{2}}}

 

Ejemplo:

 

Resolver el triángulo conociendo {b=33\; m} y {c=21\; m}.

 

Calculamos la hipotenusa y los dos ángulos agudos

 

{tg\; B = \displaystyle\frac{33}{21}=1.5714 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ B=arctg(1.5714)=57^{o}\; 32'}

 

{C=90^{o}-57^{o}\; 32'=32^{o}\; 28'}

 

{sen\; B = \displaystyle\frac{b}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=\frac{33}{sen(57^{o}\; 32')}=39.12\; m}

 

3 Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo

 

representacion grafica de ejercicio de triangulo rectangulo 3

 

Supongamos que se conoce la hipotenusa {a} y el ángulo agudo {B}. Para encontrar el ángulo agudo restante y los catetos, calculamos

 

{C=90^{o}-B}

 

{sen\; B = \displaystyle\frac{b}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b=a\; sen\; B}

 

{cos\; B = \displaystyle\frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c=a\; cos\; B}

 

Ejemplo:

 

Resolver el triángulo conociendo {a=45\; m} y {B=22^{o}}.

 

Calculamos el ángulo agudo restante y los catetos

 

{C=90^{o}-22^{o}=68^{o}}

 

{sen\; B = \displaystyle\frac{b}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b=45\; sen(22^{o})}=16.85\; m}

 

{cos\; B = \displaystyle\frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c=45\; cos(22^{o})}=41.72\; m}

 

4 Se conocen un cateto y un ángulo agudo

 

representacion grafica de ejercicio de triangulo rectangulo 4

 

Supongamos que se conoce el cateto {b} y el ángulo agudo {B}. Para encontrar el ángulo agudo, el cateto restante y la hipotenusa, calculamos

 

{C=90^{o}-B}

 

{sen\; B = \displaystyle\frac{b}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=\displaystyle\frac{b}{sen\; B}}

 

{cotg\; B = \displaystyle\frac{c}{b} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c=b\; cotg\; B}

 

Ejemplo:

 

Resolver el triángulo conociendo {b=5.2\; m} y {B=37^{o}}.

 

Calculamos el ángulo agudo, el cateto restante y la hipotenusa

 

{C=90^{o}-37^{o}=53^{o}}

 

{sen\; B = \displaystyle\frac{b}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a=\displaystyle\frac{5.2}{sen(37^{o})}=8.64\; m}

 

{cotg\; B = \displaystyle\frac{c}{b} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c=(5.2) cotg(37^{o})=6.9\; m}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗