Temas

 

 

Razones trigonométricas

 

Observemos el siguiente triángulo rectángulo:

 

triangulo rectangulo

 

Las razones o funciones trigonométricas para el ángulo B las definimos de la siguiente manera:

 

1 Seno:

 

\displaystyle \text{sen }B = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{b}{a}

 

Observemos que, en ocasiones, el seno se suele denotar como \sin B.

 

2 Coseno:

 

\displaystyle \cos B = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{c}{a}

 

3 Tangente:

 

\displaystyle \tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} = \frac{b}{c}

 

La tangente en ocasiones se suele denotar como \text{tg } B.

 

4 Cotangente:

 

\displaystyle \cot B = \frac{1}{\tan B} = \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{cateto opuesto}} = \frac{c}{b}

 

La cotangente en ocasiones se suele denotar como \text{cotg } B.

 

5 Secante:

 

\displaystyle \sec B = \frac{1}{\cos B} = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adyacente}} = \frac{a}{c}

 

6 Cosecante:

 

\displaystyle \csc B = \frac{1}{\sin B} = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto opuesto}} = \frac{a}{b}

 

En algunas ocasiones, la cosecante se denota como \text{cosec } B.

 

En las identidades sucesivas utilizaremos x y y para denotar a los ángulos (en lugar de A, B o C).

 

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
José arturo
4,9
4,9 (51 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (30 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (92 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (13 opiniones)
Fátima
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (93 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (103 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (120 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (51 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (30 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (92 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (13 opiniones)
Fátima
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (93 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (103 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (120 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Vamos

Identidades pitagóricas

 

Recordemos que una identidad trigonométrica es una relación que involucra funciones trigonométricas y que se cumple para todos los ángulos x del dominio. Estas identidades son muy útiles al momento de resolver integrales, ecuaciones diferenciales y otros problemas matemáticos.

 

Como la funciones trigonométricas se definen a partir de triángulos rectángulos, entonces se cumplen las siguientes identidades:

 

1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1

 

2 \sec^2 x = 1 + \tan^2 x

 

3 \csc^2 x = 1 + \cot^2 x

 

Identidades de la suma y diferencia de ángulos

 

1 \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y

 

2 \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y

 

3 \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y

 

4 \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin b

 

5 \displaystyle \tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - (\tan x)(\tan y)}

 

6 \displaystyle \tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + (\tan x)(\tan y)}

 

Identidades del ángulo doble y del ángulo medio

 

Las identidades del ángulo doble las podemos obtener a partir de las identidades de suma de ángulo (con y = x). Por otro lado, las identidades del ángulo medio las obtenemos a partir de la identidad del ángulo doble de \cos x.

 

Ángulo Doble

 

1 \sin 2x = 2\sin x \cos x

 

2 \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x

 

3 \displaystyle \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}

 

Ángulo medio

 

1 \displaystyle \sin\left( \frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}

 

2 \displaystyle \cos \left( \frac{x}{2} \right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}

 

3 \displaystyle \tan\left( \frac{x}{2} \right) = \csc x - \cot x

 

Notemos que la tangente del ángulo medio también satisface las siguientes identidades:

 

\displaystyle \tan \left( \frac{x}{2} \right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}

 

y

 

\displaystyle \tan \left( \frac{x}{2} \right) = \frac{\sin x}{1 + \cos x}

 

Identidades para la reducción de potencias

 

1 \displaystyle \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}

 

2 \displaystyle \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

 

Transformación de suma a producto y viceversa

 

Transformación de suma a producto

 

1 \displaystyle \sin x + \sin y = 2 \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right)

 

2 \displaystyle \sin x - \sin y = 2 \cos \left( \frac{x + y}{2} \right) \sin\left( \frac{x - y}{2} \right)

 

3 \displaystyle \cos x + \cos y = 2 \cos \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right)

 

4 \displaystyle \cos x - \cos y = -2 \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) \sin\left( \frac{x - y}{2} \right)

 

5 \displaystyle \tan x - \tan y = \frac{\sin(x -y)}{\cos x \cos y}

 

Transformación de producto a suma

 

1 \displaystyle \sin x \sin y = \frac{\cos(x - y) - \cos(x + y)}{2}

 

2 \displaystyle \cos x \cos y = \frac{\cos(x + y) + \cos(x - y)}{2}

 

3 \displaystyle \sin x \cos y = \frac{\sin(x+y) + \sin(x - y)}{2}

 

4 \displaystyle \cos \sin y = \frac{\sin(x + y) - \sin(x-y)}{2}

 

Teoremas del seno, del coseno y de la tangente

 

Los teoremas del seno, coseno y tangente nos permiten calcular lados o ángulos restantes cuando nuestro triángulo no es rectángulo. Observa la siguiente figura:

 

triangulo general

 

1 Teorema del seno: Dado un triángulo (no necesariamente rectángulo) con lados a, b y c, con sus respectivos ángulos opuestos A, B y C, se satisface

 

\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

 

Nota: si tenemos dos ángulos y un lado, entonces el teorema del seno lo utilizaremos para calcular los dos lados restantes (el ángulo restante lo calculamos al recordar que la suma de los ángulos es 180^{\circ}).

 

2 Teorema del coseno: Dado un triángulo (no necesariamente rectángulo) con lados a, b y c, con sus respectivos ángulos opuestos A, B y C, se satisface

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

 

Similarmente, se cumple que

 

\displaystyle a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

 

y

 

\displaystyle b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B

 

Nota: si tenemos la longitud de los tres lados, entonces utilizamos el teorema del coseno para calcular los ángulos. Asimismo, si tenemos dos lados y el ángulo que está entre ellos, entonces utilizamos el teorema del coseno para calcular los dos ángulos y el lado restantes.

 

3 Teorema de la tangente: Dado un triángulo (no necesariamente rectángulo) con lados a, b y c, con sus respectivos ángulos opuestos A, B y C, se satisface

 

\displaystyle \frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan\left( \frac{A - B}{2} \right)}{\tan\left( \frac{A + B}{2} \right)}

 

Fórmulas para calcular el área de un triángulo

 

Por último, daremos algunas fórmulas para calcular el área de un triángulo. En estas fórmulas el área se denota con S:

 

1 Si b denota la base y h la altura (que es perpendicular a la base b), entonces el área se calcula utilizando

 

\displaystyle S = \frac{bh}{2}

 

2 Consideremos el triángulo con lados a, b y c, con sus respectivos ángulos opuestos A, B y C, entonces el área se calcula utilizando

 

\displaystyle S = \frac{ba\sin C}{2}

 

En la siguiente figura podemos apreciar la altura que es perpendicular a b, de ahí se ve claramente que h = a\sin C, que es donde se deduce la fórmula.

 

triangulo y su altura

 

3 Si R denota al radio de la circunferencia circunscrita (o circunradio), entonces el área se calcula utilizando

 

\displaystyle S = \frac{abc}{4R}

 

En la siguiente figura apreciamos la circunferencia circunscrita, denotamos su radio con R.

 

triangulo y circunferencia circunscrita

 

4 Si r denota el radio de la circunferencia inscrita (o inradio), entonces el área se calcula mediante

 

\displaystyle S = \frac{(a + b + c)r}{2} = \frac{rP}{2}

 

donde denotamos como P al perímetro del triángulo.

 

Se puede apreciar la circunferencia inscrita en la siguiente figura. Denotamos con r a su radio.

 

triángulo y circunferencia inscrita

 

5 Fórmula de Herón: Sea \rho el semiperímetro del triángulo con lados a, b y c, es decir,

 

\displaystyle \rho = \frac{a + b + c}{2}

 

entonces el área se calcula utilizando

 

\displaystyle S = \sqrt{\rho (\rho - a)(\rho - b)(\rho - c)}

 

>

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,20 (59 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗