Razones trigonométricas

 

Observemos el siguiente triángulo rectángulo:

 

triangulo rectangulo

 

Las razones o funciones trigonométricas para el ángulo B las definimos de la siguiente manera:

 

1 Seno:

 

\displaystyle \text{sen }B = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{b}{a}

 

Observemos que, en ocasiones, el seno se suele denotar como \sin B.

 

2 Coseno:

 

\displaystyle \cos B = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{c}{a}

 

3 Tangente:

 

\displaystyle \tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} = \frac{b}{c}

 

La tangente en ocasiones se suele denotar como \text{tg } B.

 

4 Cotangente:

 

\displaystyle \cot B = \frac{1}{\tan B} = \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{cateto opuesto}} = \frac{c}{b}

 

La cotangente en ocasiones se suele denotar como \text{cotg } B.

 

5 Secante:

 

\displaystyle \sec B = \frac{1}{\cos B} = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adyacente}} = \frac{a}{c}

 

6 Cosecante:

 

\displaystyle \csc B = \frac{1}{\sin B} = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto opuesto}} = \frac{a}{b}

 

En algunas ocasiones, la cosecante se denota como \text{cosec } B.

 

En las identidades sucesivas utilizaremos x y y para denotar a los ángulos (en lugar de A, B o C).

 

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Identidades pitagóricas

 

Recordemos que una identidad trigonométrica es una relación que involucra funciones trigonométricas y que se cumple para todos los ángulos x del dominio. Estas identidades son muy útiles al momento de resolver integrales, ecuaciones diferenciales y otros problemas matemáticos.

 

Como la funciones trigonométricas se definen a partir de triángulos rectángulos, entonces se cumplen las siguientes identidades:

 

1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1

 

2 \sec^2 x = 1 + \tan^2 x

 

3 \csc^2 x = 1 + \cot^2 x

 

Identidades de la suma y diferencia de ángulos

 

1 \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y

 

2 \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y

 

3 \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y

 

4 \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin b

 

5 \displaystyle \tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - (\tan x)(\tan y)}

 

6 \displaystyle \tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + (\tan x)(\tan y)}

 

Identidades del ángulo doble y del ángulo medio

 

Las identidades del ángulo doble las podemos obtener a partir de las identidades de suma de ángulo (con y = x). Por otro lado, las identidades del ángulo medio las obtenemos a partir de la identidad del ángulo doble de \cos x.

 

Ángulo Doble

 

1 \sin 2x = 2\sin x \cos x

 

2 \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x

 

3 \displaystyle \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}

 

Ángulo medio

 

1 \displaystyle \sin\left( \frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}

 

2 \displaystyle \cos \left( \frac{x}{2} \right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}

 

3 \displaystyle \tan\left( \frac{x}{2} \right) = \csc x - \cot x

 

Notemos que la tangente del ángulo medio también satisface las siguientes identidades:

 

\displaystyle \tan \left( \frac{x}{2} \right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}

 

y

 

\displaystyle \tan \left( \frac{x}{2} \right) = \frac{\sin x}{1 + \cos x}

 

Identidades para la reducción de potencias

 

1 \displaystyle \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}

 

2 \displaystyle \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

 

Transformación de suma a producto y viceversa

 

Transformación de suma a producto

 

1 \displaystyle \sin x + \sin y = 2 \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right)

 

2 \displaystyle \sin x - \sin y = 2 \cos \left( \frac{x + y}{2} \right) \sin\left( \frac{x - y}{2} \right)

 

3 \displaystyle \cos x + \cos y = 2 \cos \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right)

 

4 \displaystyle \cos x - \cos y = -2 \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) \sin\left( \frac{x - y}{2} \right)

 

5 \displaystyle \tan x - \tan y = \frac{\sin(x -y)}{\cos x \cos y}

 

Transformación de producto a suma

 

1 \displaystyle \sin x \sin y = \frac{\cos(x - y) - \cos(x + y)}{2}

 

2 \displaystyle \cos x \cos y = \frac{\cos(x + y) + \cos(x - y)}{2}

 

3 \displaystyle \sin x \cos y = \frac{\sin(x+y) + \sin(x - y)}{2}

 

4 \displaystyle \cos \sin y = \frac{\sin(x + y) - \sin(x-y)}{2}

 

Teoremas del seno, del coseno y de la tangente

 

Los teoremas del seno, coseno y tangente nos permiten calcular lados o ángulos restantes cuando nuestro triángulo no es rectángulo. Observa la siguiente figura:

 

triangulo general

 

1 Teorema del seno: Dado un triángulo (no necesariamente rectángulo) con lados a, b y c, con sus respectivos ángulos opuestos A, B y C, se satisface

 

\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

 

Nota: si tenemos dos ángulos y un lado, entonces el teorema del seno lo utilizaremos para calcular los dos lados restantes (el ángulo restante lo calculamos al recordar que la suma de los ángulos es 180^{\circ}).

 

2 Teorema del coseno: Dado un triángulo (no necesariamente rectángulo) con lados a, b y c, con sus respectivos ángulos opuestos A, B y C, se satisface

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

 

Similarmente, se cumple que

 

\displaystyle a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

 

y

 

\displaystyle b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B

 

Nota: si tenemos la longitud de los tres lados, entonces utilizamos el teorema del coseno para calcular los ángulos. Asimismo, si tenemos dos lados y el ángulo que está entre ellos, entonces utilizamos el teorema del coseno para calcular los dos ángulos y el lado restantes.

 

3 Teorema de la tangente: Dado un triángulo (no necesariamente rectángulo) con lados a, b y c, con sus respectivos ángulos opuestos A, B y C, se satisface

 

\displaystyle \frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan\left( \frac{A - B}{2} \right)}{\tan\left( \frac{A + B}{2} \right)}

 

Fórmulas para calcular el área de un triángulo

 

Por último, daremos algunas fórmulas para calcular el área de un triángulo. En estas fórmulas el área se denota con S:

 

1 Si b denota la base y h la altura (que es perpendicular a la base b), entonces el área se calcula utilizando

 

\displaystyle S = \frac{bh}{2}

 

2 Consideremos el triángulo con lados a, b y c, con sus respectivos ángulos opuestos A, B y C, entonces el área se calcula utilizando

 

\displaystyle S = \frac{ba\sin C}{2}

 

En la siguiente figura podemos apreciar la altura que es perpendicular a b, de ahí se ve claramente que h = a\sin C, que es donde se deduce la fórmula.

 

triangulo y su altura

 

3 Si R denota al radio de la circunferencia circunscrita (o circunradio), entonces el área se calcula utilizando

 

\displaystyle S = \frac{abc}{4R}

 

En la siguiente figura apreciamos la circunferencia circunscrita, denotamos su radio con R.

 

triangulo y circunferencia circunscrita

 

4 Si r denota el radio de la circunferencia inscrita (o inradio), entonces el área se calcula mediante

 

\displaystyle S = \frac{(a + b + c)r}{2} = \frac{rP}{2}

 

donde denotamos como P al semiperímetro del triángulo.

 

Se puede apreciar la circunferencia inscrita en la siguiente figura. Denotamos con r a su radio.

 

triángulo y circunferencia inscrita

 

5 Fórmula de Herón: Sea \rho el semiperímetro del triángulo con lados a, b y c, es decir,

 

\displaystyle \rho = \frac{a + b + c}{2}

 

entonces el área se calcula utilizando

 

\displaystyle S = \sqrt{\rho (\rho - a)(\rho - b)(\rho - c)}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗