Temas
- Razones trigonométricas
- Identidades pitagóricas
- Identidades de la suma y diferencia de ángulos
- Identidades del ángulo doble y del ángulo medio
- Identidades para la reducción de potencias
- Transformación de suma a producto y viceversa
- Teoremas del seno, del coseno y de la tangente
- Fórmulas para calcular el área de un triángulo
Razones trigonométricas
Observemos el siguiente triángulo rectángulo:
Las razones o funciones trigonométricas para el ángulo las definimos de la siguiente manera:
1 Seno:
Observemos que, en ocasiones, el seno se suele denotar como .
2 Coseno:
3 Tangente:
La tangente en ocasiones se suele denotar como .
4 Cotangente:
La cotangente en ocasiones se suele denotar como .
5 Secante:
6 Cosecante:
En algunas ocasiones, la cosecante se denota como .
En las identidades sucesivas utilizaremos y
para denotar a los ángulos (en lugar de
,
o
).
Identidades pitagóricas
Recordemos que una identidad trigonométrica es una relación que involucra funciones trigonométricas y que se cumple para todos los ángulos del dominio. Estas identidades son muy útiles al momento de resolver integrales, ecuaciones diferenciales y otros problemas matemáticos.
Como la funciones trigonométricas se definen a partir de triángulos rectángulos, entonces se cumplen las siguientes identidades:
1
2
3
Identidades de la suma y diferencia de ángulos
1
2
3
4
5
6
Identidades del ángulo doble y del ángulo medio
Las identidades del ángulo doble las podemos obtener a partir de las identidades de suma de ángulo (con ). Por otro lado, las identidades del ángulo medio las obtenemos a partir de la identidad del ángulo doble de
.
Ángulo Doble
1
2
3
Ángulo medio
1
2
3
Notemos que la tangente del ángulo medio también satisface las siguientes identidades:
y
Identidades para la reducción de potencias
1
2
Transformación de suma a producto y viceversa
Transformación de suma a producto
1
2
3
4
5
Transformación de producto a suma
1
2
3
4
Teoremas del seno, del coseno y de la tangente
Los teoremas del seno, coseno y tangente nos permiten calcular lados o ángulos restantes cuando nuestro triángulo no es rectángulo. Observa la siguiente figura:
1 Teorema del seno: Dado un triángulo (no necesariamente rectángulo) con lados ,
y
, con sus respectivos ángulos opuestos
,
y
, se satisface
Nota: si tenemos dos ángulos y un lado, entonces el teorema del seno lo utilizaremos para calcular los dos lados restantes (el ángulo restante lo calculamos al recordar que la suma de los ángulos es ).
2 Teorema del coseno: Dado un triángulo (no necesariamente rectángulo) con lados ,
y
, con sus respectivos ángulos opuestos
,
y
, se satisface
Similarmente, se cumple que
y
Nota: si tenemos la longitud de los tres lados, entonces utilizamos el teorema del coseno para calcular los ángulos. Asimismo, si tenemos dos lados y el ángulo que está entre ellos, entonces utilizamos el teorema del coseno para calcular los dos ángulos y el lado restantes.
3 Teorema de la tangente: Dado un triángulo (no necesariamente rectángulo) con lados ,
y
, con sus respectivos ángulos opuestos
,
y
, se satisface
Fórmulas para calcular el área de un triángulo
Por último, daremos algunas fórmulas para calcular el área de un triángulo. En estas fórmulas el área se denota con :
1 Si denota la base y
la altura (que es perpendicular a la base
), entonces el área se calcula utilizando
2 Consideremos el triángulo con lados ,
y
, con sus respectivos ángulos opuestos
,
y
, entonces el área se calcula utilizando
En la siguiente figura podemos apreciar la altura que es perpendicular a , de ahí se ve claramente que
, que es donde se deduce la fórmula.
3 Si denota al radio de la circunferencia circunscrita (o circunradio), entonces el área se calcula utilizando
En la siguiente figura apreciamos la circunferencia circunscrita, denotamos su radio con .
4 Si denota el radio de la circunferencia inscrita (o inradio), entonces el área se calcula mediante
donde denotamos como al perímetro del triángulo.
Se puede apreciar la circunferencia inscrita en la siguiente figura. Denotamos con a su radio.
5 Fórmula de Herón: Sea el semiperímetro del triángulo con lados
,
y
, es decir,
entonces el área se calcula utilizando
La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Muchas gracias. es el mejor resumen y mas claro que he encontrado.. es muy claro. yo lo uso para rpasar con mis hijos.
❤️
Me parece que en las maneras de sacar el área de un triángulo hay una errata. Concretamente cuando lo deduces a partir de las longitudes de los lados y el radio de la circunferencia inscrita. La fórmula es correcta, solo que luego se comenta que P es el semiperímetro, cuando es en realidad el perímetro. Si P fuese el semiperimetro, entonces la fórmula seria S=rP.
Muy útil y claro todo el material, gracias 🙂
Una disculpa ya se corrigió.
muy buena explicacion en los detalles
exelente
Gracias pero yo quiero ejemplos ejemplos de cómo se aplica la funciones trigonométricas…
Urgente!🔔
Necesito que por favor me digan si Las 6 funciones básicas trigonométricas se pueden obtener en un triángulo obtusángulo. Por favor!.
¿Como modelar relaciones entre ángulos y distancias a partir de relaciones trigonométricas? argumenta