Resolver los sistemas de ecuaciones trigonométricas:

1{\left\{\begin{matrix} sen\, x & + & sen\, y & = & 1\\ x & + & y & = & 90 \end{matrix}\right.}

Para resolver el siguiente sistema de ecuaciones: {\left\{\begin{matrix} sen\, x & + & sen\, y & = & 1\\ x & + & y & = & 90 \end{matrix}\right.} Despejamos {y} de la segunda ecuación {y = 90 - x} y la sustituimos en la primera:{sen\, x + sen\,(90 - x) = 1}
{2sen\, \dfrac{x+(90-x)}{2}\cos \dfrac{x-(90-x)}{2} = 1}
{\cdot 2sen\, 45\cdot \cos (x-45) = 1 \quad \cos(x-45) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}
{x-45 = \left\{ \begin{matrix} 45 + 360k & \Rightarrow & x = 90 +360k\\ -45+360k & \Rightarrow & x = 0 +360k \end{matrix}\right.}
Entonces, sustituyendo los respectivos valores de {x} en la ecuación despejada de {y}.{y = 0 + 360k}
{y = 90 + 360k}


2{\left\{\begin{matrix} sen\, x & + & sen\, y & = & \frac{\sqrt{3} + 1}{2}\\ sen\, x & - & sen\, y & = & \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \end{matrix}\right.}

Para resolver el siguiente sistema de ecuaciones: {\left\{\begin{matrix} sen\, x & + & sen\, y & = & \frac{\sqrt{3} + 1}{2}\\ sen\, x & - & sen\, y & = & \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \end{matrix}\right.} Comenzamos por sumar ambas ecuaciones tenemos como resultado: {2sen\,x = \dfrac{\sqrt{3}+1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} = \sqrt{3}} Por lo tanto,{sen\, x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} Las soluciones para {x} que tenemos son: {x = 60 +360k} {x = 120 +360k} Ahora para encontrar el valor de {y} restamos la segunda ecuación a la primera

{2sen\,y = \dfrac{\sqrt{3}+1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} = 1}

Por lo tanto,

{sen\, y = \dfrac{1}{2}}

Las soluciones que tenemos entonces son:

{y = 30 +360k}

{y = 150 +360k}


3 {\left\{ \begin{matrix} tg\, x + tg\, y & = & 1\\ ctg\, (x + y) & = &\frac{3}{4} \end{matrix}\right.}

Para resolver el siguiente sistema de ecuaciones{\left\{ \begin{matrix} tg\, x + tg\, y & = & 1\\ ctg\, (x + y) & = &\frac{3}{4} \end{matrix}\right.} Por definición la cotangente es la recíproca de tangente, es decir, {\dfrac{1}{tg\,(x+y)} = \dfrac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad tg\,(x+y) = \dfrac{4}{3}}Por la suma de ángulos de la tangente sabemos {tg\, (x+y) = \dfrac{tg\, x + tg\, y}{1-tg\,xtg\,y}} donde por la primer ecuación el numerador es igual a 1, entonces nuestro sistema se reduce a {\left\{ \begin{matrix} tg\, x + tg\, y & = & 1 \\ \dfrac{1}{1 - tg\, x \cdot tg\, y} = \dfrac{4}{3} \end{matrix}\right.} Simplificando la segunda ecuación {1 = \frac{4}{3}(1-tg\,x \cdot tg\, y) = \frac{4}{3} - \frac{4}{3}tg\, x \cdot tg\, y} {1-\frac{4}{3} = -\frac{4}{3}tg\, x \cdot tg\, y}}

{-\frac{1}{3} = -\frac{4}{3}tg\, x \cdot tg\, y}}

{1 = 4tg\, x \cdot tg\, y}}

Entonces el sistema de ecuaciones se reduce a

{\left\{ \begin{matrix} tg\, y & = & 1 - tg\, x \\ 4tg\, x\cdot tg\,y & = & 1 \end{matrix}\right.}

Sustituyendo el valor de {tg\,y} en la segunda ecuación,

{4tg^2\,x - 4tg\,x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad (2tg\,x -1)^2 = 0}

{tg\, x = \dfrac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = 26º 33' 54'' + 180k}

Sustituyendo el valor de {tg\, x} en la primer ecuación

{tg\, y = \dfrac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad y = 26º 33' 54'' + 180k}


4{\left\{\begin{matrix} sen\, x\cdot \cos y $ + $ \cos x sen\, y & = & 1\\ sen\, x\cdot \cos y $ - $ \cos x sen\, y & = & \frac{1}{2} \end{matrix}\right.}

Para resolver el siguiente sistema de ecuaciones {\left\{\begin{matrix} sen\, x\cdot \cos y $ + $ \cos x sen\, y & = & 1\\ sen\, x\cdot \cos y $ - $ \cos x sen\, y & = & \frac{1}{2} \end{matrix}\right.} Comenzamos por observar que el primer miembro de ambas ecuaciones corresponden a la suma y resta de los ángulos para la función seno, respectivamente, es decir: {\left\{ \begin{matrix}sen\,(x+y) & = & 1\\ sen\, (x-y) & = & \frac{1}{2} \end{matrix} \right.} Recordemos que {sen\, 90 = 1}, {sen\, 30 = \frac{1}{2}} y {sen\, 150 = \frac{1}{2}} por lo tanto, el sistema se puede reducir a, {\left\{ \begin{matrix} x & + & y & = & 90\\ x & - & y & = & 30 \end{matrix} \right.} Sumando las ecuaciones {2x = 120 + 360k \quad \Rightarrow \quad x = 60 + 180k} Despejando el valor de {y} y sustituyendo el valor de {x}:{y = 90 - x \quad \Rightarrow \quad y = 30 +180k}

El otro sistema de ecuaciones es

{\left\{ \begin{matrix} x & + & y & = & 90\\ x & - & y & = & 150 \end{matrix} \right.}

Sumando las ecuaciones

{2x = 240 + 360k \quad \Rightarrow \quad x = 120 + 180k}

Despejando el valor de {y} y sustituyendo el valor de {x}:

{y = 90 - x \quad \Rightarrow \quad y = -30 +180k}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗