Sistemas de medición angular

Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:

1 Grado sexagesimal (°):

Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1^\circ) sexagesimal.

Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').

2 Radián (rad):

Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.

 

Razones trigonométricas

1 Seno

Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

\displaystyle \text{sen }B = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{b}{a}

2Coseno

Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo (o adyacente) al ángulo y la hipotenusa.

\displaystyle \cos B = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{c}{a}

3 Tangente

Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

\displaystyle \tan B = \frac{\text{sen }B}{\cos B}= \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}=\frac{b}{c}

4 Cosecante

Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.

\displaystyle \csc B = \frac{1}{\text{sen }B}= \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto opuesto}}=\frac{a}{b}

5 Secante

Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.

\displaystyle \sec B = \frac{1}{\cos B}= \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adyacente}}=\frac{a}{c}

6Cotangente

Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.

\displaystyle \cot B = \frac{1}{\tan B}= \frac{\cos B}{\text{sen }B}=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{cateto opuesto}}=\frac{c}{b}

 

Razones trigonométricas en el círculo unitario

Se llama circunferencia goniométrica o círculo unitario a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj comezando con el cuadrante delimitado por ejes positivos.

El seno es la ordenada del punto P. Además   -1\leq \text{sen }a\leq 1

El coseno es la abscisa del punto P. Además   -1\leq \cos a\leq 1

circulo unitario

\displaystyle \text{sen }a=\frac{\text{PQ}}{\text{OP}}=\frac{\text{PQ}}{\text{r}}=\text{PQ}

 

\displaystyle \cos a=\frac{\text{OQ}}{\text{OP}}=\text{OQ}

 

\displaystyle \tan a=\frac{\text{PQ}}{\text{OQ}}=\frac{\text{ST}}{\text{OT}}=\frac{\text{ST}}{\text{r}}=\text{ST}

\displaystyle \csc a=\frac{\text{OP}}{\text{PQ}}=\frac{\text{OS'}} {\text{OT'}}=\frac{\text{OS'}}{\text{r}}=\text{OS'}

 

\displaystyle \sec a=\frac{\text{OP}}{\text{OQ}}=\frac{\text{OS}}{\text{OT}}=\frac{\text{OS}}{\text{r}}=\text{OS}

 

\displaystyle \cot a=\frac{\text{OQ}}{\text{PQ}}=\frac{\text{S'T'}}{\text{OT'}}=\frac{\text{S'T'}}{\text{r}}=\text{S'T'}

 

Signo de razones trigonométricas

Basados en que el seno es el valor de la ordenada y coseno el de la abscisa del punto sobre el circunferencia goniométrica, dependiendo del cuadrante estos valores serán negativos o positivos. Por ejemplo en el cuadrante I y II el eje Y es positivo, y por lo tanto el seno será positivo ahí, ya que su valor corresponde a la ordenada. En cambio será negativo en los cuadrantes III y IV. El coseno por su parte, el valor es la abscisa, y como el eje X es positivo en los cuadrantes del lado derecho, el coseno será positivo en los cuadrantes I y IV y negativo en II y III.

signos y cuadrantes de las razones trigonometricas

A continuación una tabla con las razones trigonométricas en los ángulos que marcan inicio o fin de cada cuadrante.

 

 

\alpha90ºº180270º
sen010-1
cos10-10
tan0\rightarrow \infty0\rightarrow -\infty

 

Razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º

Para analizar las razones trigonométricas de los ángulos con medida de 30^\circ y 60^\circ, podemos pensar en la mitad de un triángulo equilatero:

angulos notables

\displaystyle \text{sen }30º=\frac{\frac{\text{I}}{2}}{\text{I}}=\frac{1}{2}

 

\displaystyle \cos 30º=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\text{I}}{\text{I}}=\frac{\sqrt{3}}{2}

 

\displaystyle \tan 30º=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}

\displaystyle \text{sen }60º=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\text{I}}{\text{I}}=\frac{\sqrt{3}}{2}

 

\displaystyle \cos 60º=\frac{\frac{\text{I}}{2}}{\text{I}}=\frac{1}{2}

 

\displaystyle \tan 60º=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}

 

Razones trigonométricas del ángulo de 45º

Para analizar las razones trigonométricas del ángulo con medida de 45^\circ, podemos pensar en un cuadrado dividido por la diagonal:

razones trigonometricas con angulo de 45

Usando las definiciones del las razones trigonométricas, obtengo que

\displaystyle \text{sen}\, 45^\circ =\frac{\text{I}}{\text{I}\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

\displaystyle \cos 45^\circ =\frac{\text{I}}{\text{I}\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{2}

\displaystyle \tan 45^\circ  =\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} =\frac{\text{I}}{\text{I}} =1

 

Tabla de razones trigonométricas con ángulos notables

 

\alpha30º45º60º90º180º270º
sen0\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}10-1
cos1\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\displaystyle \frac{1}{2}0-10
tan0\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}1\sqrt{3}\rightarrow \infty0\rightarrow -\infty

 

Relaciones trigonométricas fundamentales

\displaystyle \,\text{sen}^2\, a + \cos^2 a = 1

\displaystyle \sec^2 a = 1+ \tan^2 a

\displaystyle \csc^2 a = 1+\cot^2

Ángulos complementarios y suplementarios

 

Ángulos complementarios

trigonometria de angulos complementarios

\displaystyle \, \text{sen}\, \left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right)= \cos \alpha

 

\displaystyle \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\, \text{sen}\, \alpha

 

\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right)=\cot \alpha

Ángulos suplementarios

trigonometria de angulos suplementarios

\displaystyle \, \text{sen}\, \left(\pi-\alpha \right)= \, \text{sen}\, \alpha

 

\displaystyle \cos \left(\pi-\alpha\right)=-\cos \alpha

 

\displaystyle \tan\left(\pi-\alpha \right)=-\tan \alpha

 

Ángulos negativos y opuestos

 

Ángulos negativos

razones trigonometricas de angulos negativos

\displaystyle \text{sen}\, (-\alpha)=-\text{sen}\, \alpha

 

\displaystyle \cos (-\alpha)= \cos \alpha

 

\displaystyle \tan (-\alpha)= -\tan \alpha

 

Ángulos opuestos

razones trigonometricas de angulos opuestos

\text{sen}\, (2\pi-\alpha)=-\text{sen}\, \alpha

 

\cos (2\pi-\alpha)= \cos \alpha

 

\tan (2\pi -\alpha)= -\tan \alpha

 

Ángulos que difieren por un ángulo múltiplo de 90º

 

Ángulos que difieren en 90º ó π/2 rad

coseno del ángulo que difiere por 180

\displaystyle \, \text{sen}\, \left(\frac{\pi}{2}+\alpha \right)= \cos \alpha

 

\displaystyle \cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\, \text{sen}\, \alpha

 

\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha \right)=-\cot \alpha

 

Ángulos que se diferencian en 180° o π rad

seno del ángulo que difiere por 180

\text{sen}\, (\pi+\alpha)=-\text{sen}\, \alpha

 

\cos (\pi+\alpha)= -\cos \alpha

 

\tan (\pi +\alpha)= \tan \alpha

 

Ángulos que difieren en 270º ó 3/2 π rad

tangente del ángulo que difiere por 270

\displaystyle \, \text{sen}\, \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=-\cos \alpha

 

\displaystyle \cos \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\, \text{sen}\, \alpha

 

\displaystyle \tan\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=-\cot \alpha

 

Ángulos mayores de 360º

angulos mayores a 360

\text{sen}\, (\alpha+2\pi k)=\text{sen}\, \alpha

 

\cos (\alpha+2\pi k)= \cos \alpha

 

\tan (\alpha+2\pi k)= \tan \alpha

 

Ángulos que suman en 270º ó 3/2 π rad

angulos que suman 270

\displaystyle \, \text{sen}\, \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=-\cos \alpha

 

\displaystyle \cos \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\, \text{sen}\, \alpha

 

\displaystyle \tan\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=\cot \alpha

 

Resolución de triángulos rectángulos

 

Caso 1: Se conocen la hipotenusa y un cateto.

resolucion de problemas de trigonometria

\displaystyle B: \ \, \text{sen}\, B=\frac{b}{a} \hspace{2cm} B=\text{arcsen}\, \left(\frac{b}{a}\right)

\displaystyle C=90^\circ -B

\displaystyle c: \ \begin{cases}\cos B=\frac{c}{a} \hspace{2cm} c= a\cdot \cos B \\ c=\sqrt{a^2-b^2}\end{cases}

 

Caso 2: Se conocen los dos catetos.

ejercicios de trigonometria

 

\displaystyle B: \ \, \tan B=\frac{b}{c} \hspace{2cm} B=\arctan\left(\frac{b}{c}\right)

\displaystyle C=90^\circ -B

\displaystyle a: \ \begin{cases}\text{sen}\, B=\frac{b}{a} \hspace{2cm} a= \frac{b}{\text{sen}\, B} \\ a=\sqrt{b^2+c^2}\end{cases}

 

Caso 3: Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo.

como resolver problemas de razones trigonometricas

 

\displaystyle C=90^\circ -B

\displaystyle b: \ \, \text{sen} \, B=\frac{b}{a} \hspace{2cm} b=a\, \text{sen}\, B

\displaystyle c: \ \begin{cases}\cos B=\frac{c}{a} \hspace{2cm} c= a\cdot \cos B \\ c=\sqrt{a^2-b^2}\end{cases}

 

Caso 4: Se conocen un cateto y un ángulo agudo.

solucion problema de trigonometria

\displaystyle C=90^\circ -B

\displaystyle a: \ \, \text{sen} \, B=\frac{b}{a} \hspace{2cm} a=\frac{b}{\, \text{sen}\, B}

\displaystyle C: \ \begin{cases}\cot B=\frac{c}{b} \hspace{2cm} c= b\cdot \cot B \\ c=\sqrt{a^2-b^2}\end{cases}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗