Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

 

representación gráfica de seno en el triángulo ABC

Seno

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen B.

 

fórmula de seno

 

representación gráfica de coseno en el triángulo ABC

Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto adyacente o contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B.

 

fórmula del coseno

 

representación gráfica de tangente en el triángulo ABC

Tangente

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al ángulo. Se denota por tan B o tg B.

 

fórmula de tangente

 

representación gráfica de cosecante en el triángulo ABC

Cosecante

La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.

Se denota por csc B o cosec B.

 

fórmula de cosecante

 

representación gráfica de secante en el triángulo ABC

Secante

La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

fórmula de secante

 

 

representación gráfica de cotangente en el triángulo ABC

Cotangente

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cot B o ctg B.

fórmula de cotangente

 

SOH-CAH-TOA: Una manera sencilla de recordar

SOH-CAH-TOA es un acrónimo que se usa para poder memorizar las definiciones de las razones trigonométricas más importantes: seno, coseno y tangente. La siguiente tabla explica su significado.

 

tabla sencilla para recordar las razones trigonométricas
 

Para las otras razones trigonométricas, en vez de crear otro acrónimo, es más sencillo aprenderse el hecho de que la cosecante, secante y cotangente, son opuestos multiplicativos del seno, coseno y tangente, respectivamente. En la siguiente tabla se detalla.

 

\displaystyle \begin{matrix} \text{razon trigonometrica}& & \text{opuesto multiplicativo}\\ \\ \text{Seno}& & \text{Cosecante}\\ \text{sen } \alpha=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} & & \csc \alpha = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{opuesto}} \\ \\ \text{Coseno}& & \text{Secante}\\ \cos \alpha=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} & & \sec \alpha = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{adyacente}} \\ \\ \text{Tangente}& & \text{Cotangente}\\ \tan \alpha=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} & & \cot \alpha = \frac{\text{adyacente}}{\text{opuesto}} \end{matrix}
 

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Razones trigonométricas en una circunferencia

 

Se llama circunferencia goniométrica o círculo unitario a aquella que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad.

Si consideramos un triángulo rectángulo dentro del círculo con el radio forma la hipotenusa y uno de los catetos está sobre el eje X, obtendremos una figura como la siguiente.

trigonometriaCalculamos el seno y coseno del ángulo \alpha

\displaystyle  \text{sen } \alpha =\frac{\text{PQ}}{\text{OP}}=\frac{\text{PQ}}{\text{r}}=\text{PQ}=y
\cos \alpha =\frac{\text{OQ}}{\text{OP}}=\frac{\text{OQ}}{\text{r}}=\text{OQ}=x

Concluímos que

El seno es la ordenada de P, es decir del punto que está sobre la circunferencia.

El coseno es la abscisa de P, es decir del punto que está sobre la circunferencia.

Otro dato que podemos deducir es que los valores de seno y coseno están entre 1 y -1.

-1 ≤ sen α ≤ 1

-1 ≤ cos α ≤ 1

Cabe destacar que la razón por la que se consideran las funciones trigonométricas en el círculo es para poder tomar ángulo más grandes. Por ejemplo, del un triángulo rectángulo no podría saber cuánto es \cos 150^{\circ}, porque no puedo construir un triángulo rectángulo con un ángulo de 150°.

funcion trigonometrica
El círculo unitario me permite hacer ese cálculo. Lo que hago es:
1 Localizo el ángulo de 150° que se forma a partir del eje X en dirección opuesta a las manecillas del reloj.
2 Considero el punto sobre la circunferencia que se forma con el ángulo

  • La ordenada de ese punto es el seno
  • La abscisa es el coseno

Para las otras razones trigonométricas consideramos la siguiente figura

interpretacion geometrica de las razones trigonometricas

 

QOP y TOS son triángulos semejantes. Entonces,

\displaystyle \frac{OP}{OS}=\frac{PQ}{ST}=\frac{OQ}{OT}

QOP y T'OS′ son triángulos semejantes. Entonces,

\displaystyle  \frac{OP}{OS'}=\frac{PQ}{OT'}=\frac{OQ}{S'T'}

 

Usando las definiciones de las razones trigonométricas y las relaciones entre los triángulos semejantes obtenemos

 

\displaystyle \csc \alpha =\frac{\text{OP}}{\text{PQ}}=\frac{\text{OS'}}{\text{OT'}}=\frac{\text{OS'}}{\text{r}}=\text{OS'}

\displaystyle \sec \alpha =\frac{\text{OP}}{\text{OQ}}=\frac{\text{OS}}{\text{OT}}=\frac{\text{OS}}{\text{r}}=\text{OS}

\displaystyle \tan \alpha =\frac{\text{PQ}}{\text{OQ}}=\frac{\text{ST}}{\text{OT}}=\frac{\text{ST}}{\text{r}}=\text{ST}

\displaystyle \cot \alpha =\frac{\text{OQ}}{\text{PQ}}=\frac{\text{S'T'}}{\text{OT'}}=\frac{\text{S'T'}}{\text{r}}=\text{S'T'}

 

Signo de las razones trigonométricas

En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj. Recordemos que si consideramos un ángulo \alpha y tomamos el triángulo rectángulo dentro del círculo que se genera con dicho ángulo, el signo de el seno o coseno de este ángulo dependerá de en cuál cuadrante se ubique el triangulo.

 

signos del seno y coseno

 

 

Tabla de razones trigonométricas

 

tabla de razones trigonométricas con angulos destacados

 

Relaciones pitagóricas entre las razones trigonométricas

 

\cos^2 \alpha + \text{sen }^2 \alpha = 1

\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha

\csc^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha

Explicación:

trigonometría
Como el triángulo que se considera dentro del círculo es rectángulo se cumple que
a^2+b^2=c^2
En la imagen, los catetos (a y b) corresponden a los valores x y y, y la hipotenusa al radio, o sea , 1.
Entonces x^2+y^2=1
Como x es la abscisa y y la ordenada sabemos que estos valores corresponden al coseno y seno respectivamente. Entonces,
\cos^2\alpha+\text{sen}^2 \alpha=1

De divir la ecuación anterior por \cos^2 \alpha obtengo
\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha
Si en cambio hubiera dividido por \text{sen}^2 \alpha obtendría
\csc^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha

 

Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos

 

Ángulos complementarios

Se dice que dos ángulos  son complementarios si su suma es 90°, es decir, un ángulo recto.

representación gráfica de circulo circunscrito y ángulos complementarios

 \displaystyle\text{sen }\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \alpha

 

 \displaystyle \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\text{sen } \alpha

 

 \displaystyle \tan \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot \alpha

 

 

Ángulos suplementarios

Se dice que dos ángulos  son suplementarios si su suma es 180°.

representación gráfica de circulo circunscrito y angulos suplementarios

 \text{sen }\left(\pi-\alpha\right)=\text{sen } \alpha

 

 \cos \left(\pi-\alpha\right)=-\cos \alpha

 

 \tan \left(\pi-\alpha\right)=-\tan \alpha

 

 

Ángulos que difieren en 180°

 

representación gráfica de circulo circunscrito y angulos que difieren por 180 grados

 \text{sen }\left(\pi+\alpha\right)=-\text{sen } \alpha

 

 \cos \left(\pi+\alpha\right)=-\cos \alpha

 

 \tan \left(\pi+\alpha\right)=\tan \alpha

 

 

Ángulos opuestos

 

representación gráfica de circulo circunscrito y angulos opuestos

 \text{sen }\left(2\pi-\alpha\right)=-\text{sen } \alpha

 

 \cos \left(2\pi-\alpha\right)=\cos \alpha

 

 \tan \left(2\pi-\alpha\right)=-\tan \alpha

 

 

Ángulos negativos

 

representación gráfica de circulo circunscrito y angulos negativos

 \text{sen }\left(-\alpha\right)=-\text{sen } \alpha

 

 \cos \left(-\alpha\right)=\cos \alpha

 

 \tan\left(-\alpha\right)=-\tan \alpha

 

 

Mayores de 360º

 

representación gráfica de circulo circunscrito y ángulos mayores de 360 grados

 \text{sen }\left(\alpha+2\pi k\right)=\text{sen } \alpha

 

 \cos \left(\alpha+2\pi k\right)=\cos \alpha

 

 \tan \left(\alpha+2\pi k\right)=\tan \alpha

 

 

Ángulos que difieren en 90º

 

representación gráfica de circulo circunscrito y Ángulos que difieren en 90º

 \displaystyle \text{sen }\left(\frac{\pi}{2}+\alpha \right)=\cos \alpha

 

 \displaystyle \cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha \right)=-\text{sen } \alpha

 

 \displaystyle \tan \left(\frac{\pi}{2}+\alpha \right)=-\cot \alpha

 

 

Ángulos que suman en 270º

 

representación gráfica de circulo circunscrito y Ángulos que suman en 270

 \displaystyle \text{sen }\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=-\cos \alpha

 

 \displaystyle \cos \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=-\text{sen } \alpha

 

\displaystyle \tan \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=\cot \alpha

 

 

Ángulos que difieren en 270º

 

representación gráfica de circulo circunscrito y ángulos que diferen en 270 grados

 \displaystyle \text{sen }\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=-\cos \alpha

 

 \displaystyle\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)= \text{sen }\alpha

 

 \displaystyle \tan \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=-\cot \alpha

 

 

Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

 

\text{sen }(a+b)=\text{sen }a\cos b+\cos a \text{ sen }b

 

\text{sen }(a-b)=\text{sen }a\cos b-\cos a \text{ sen }b

 

\cos (a+b)=\cos a\cos b-\text{sen }a\text{ sen }b

 

\cos (a-b)=\cos a\cos b+\text{sen }a\text{ sen }b

 

\displaystyle \tan (a+b)=\frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \tan b}

 

\displaystyle \tan (a-b)=\frac{\tan a - \tan b}{1+\tan a \tan b}

 

 

Razones trigonométricas del ángulo doble

 

\text{sen } 2a= 2\text{ sen }a \cos a

 

\cos 2a= \cos^2 a-\text{ sen }^2 a=1-2\text{sen }^2 a=2\cos^2 a -1

 

\displaystyle \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^2 a}

 

 

Razones trigonométricas del ángulo mitad

 

\displaystyle \text{sen }\frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}

 

\displaystyle \cos \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}

 

\displaystyle \tan \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}

 

Transformaciones de sumas en productos

 

\displaystyle \text{sen }A+\text{sen } B= 2 \text{ sen } \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}

 

\displaystyle \text{sen }A-\text{sen } B= 2\cos \frac{A+B}{2} \text{ sen } \frac{A-B}{2}

 

\displaystyle \cos A+\cos B= 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}

 

\displaystyle \cos A-\cos B= -2 \text{ sen } \frac{A+B}{2} \text{ sen } \frac{A-B}{2}

 

 

Transformaciones de productos en sumas

 

\displaystyle \text{sen }A\cdot \cos B=\frac{1}{2}\left[\text{sen }(A+B)+\text{sen }(A-B)\right]

 

\displaystyle \cos A\cdot \cos B=\frac{1}{2}\left[\cos(A+B)+\cos (A-B)\right]

 

 \displaystyle \text{sen } A\cdot \text{sen } B=-\frac{1}{2}\left[\cos (A+B)-\cos (A-B)\right]

 

Ejercicios de cálculo de seno, coseno, y tangente

 

1 Calcule seno, coseno y tangente de 150^\circ:

 

1 Seno

\displaystyle \sin(150^\circ) = \cos(90^\circ - 150^\circ) = \cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ)= \dfrac{1}{2}

2 Coseno

\displaystyle \cos(150^\circ) = \sin(-60^\circ) = -\sin(60^\circ)= - \dfrac{\sqrt{3}}{2}

3 Tangente

\displaystyle \tan(150^\circ) =\dfrac{\sin(150^\circ)}{\cos(150^\circ)}= \dfrac{\dfrac{1}{2}}{- \dfrac{\sqrt{3}}{2}}= -\dfrac{\sqrt{3}}{3}

 

2 Calcule seno, coseno y tangente de 330^\circ:

 

1 Seno

\displaystyle \sin(330^\circ) = \sin(-30^\circ) = - \sin(30^\circ) = -\dfrac{1}{2}

2 Coseno

\displaystyle \cos(330^\circ) = \cos(-30^\circ) = \cos(30^\circ) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

3 Tangente

\displaystyle \tan(330^\circ) = \dfrac{\sin(330^\circ)}{\cos(330^\circ)}= \dfrac{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} =-\dfrac{\sqrt{3}}{3}

 

 

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Marta

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Alonso
Alonso
Guest
25 Abr.

Gracias me sirvió muchísimo.

Superprof
Superprof
Admin
27 Abr.

Nos alegramos mucho. ¡Un saludo!

Suarez
Suarez
Guest
17 May.

Esta pagina revela miles de datos cruciales para poder entender en su totalidad el tema. Mis respetos y agradecimiento con el autor de este trabajo

Superprof
Superprof
Admin
19 May.

❤️

Matias
Matias
Guest
25 May.

Garcias

Superprof
Superprof
Admin
26 May.

¡Es un placer!

Matias
Matias
Guest
25 May.

Mil garcias esta pagina me encanta tiene justo la informacion que necesito