Distancia entre un punto accesible y uno inaccesible

 

Cuando se tiene un punto inaccesible B y se desea medir su distancia a un punto accesible A, se mide la distancia de A a un segundo punto accesible C de manera que se obtenga un triángulo con vértices A, B, C.

 

distancia entre un punto accesible y uno inaccesible 1

 

Con la ayuda de un teodolito se miden los ángulos correspondientes a los vértices conocidos.

 

Aplicamos el Teorema del seno y se obtiene la distancia entre los puntos A y B.

 

Ejemplo: Encontrar la distancia entre dos puntos A y B si se sabe que la distancia de A a un punto C es de 200 \, m y con la ayuda de un teodolito se obtuvo que A = 61^o \, 28' y C = 54^o \, 53'.

 

distancia entre un punto accesible y uno inaccesible

 

1Calculamos la medida del ángulo B, para esto, utilizamos el resultado que nos dice que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180^o

 

\begin{array}{rcl} A + B + C & = & 180^o  \end{array}

 

2Sustituimos los valores conocidos de los ángulos A, C y resolvemos para B

 

\begin{array}{rcl} A + B + C & = & 180^o  \\\\ 61^o \, 28' + B + 54^o \, 53' & = & 180^o  \\\\  116^o \, 21' + B & = & 180^o  \\\\  B & = & 180^o - 116^o \, 21'  \\\\  B & = & 63^o \, 39'   \end{array}

 

3Aplicamos el teorema del seno para b, c, B, C

 

\cfrac{c}{sen \, C} = \cfrac{b}{sen \, B}

 

4Sustituimos los valores conocidos y resolvemos para c

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{c}{sen \, C} & = & \cfrac{b}{sen \, B}  \\\\  \cfrac{c}{sen \, 54^o \, 53'} & = & \cfrac{200}{sen \, 63^o \, 39'}  \\\\ \cfrac{c}{0.818} & = & \cfrac{200}{0.896}  \\\\ \cfrac{c}{0.818} & = & 223.214  \\\\  c & = & 0.818 \cdot 223.214  \\\\  c & = & 182.589  \end{array}

 

Así, la distancia buscada es de 182.589 \, m

 

 

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Ejercicios propuestos

 

1Se Encontrar la distancia entre dos puntos A y B que se encuentran separados por un río, si se sabe que la distancia de A a un punto C es de 150 \, m y con la ayuda de un teodolito se obtuvo que A = 72^o \, 15' y C = 61^o \, 40'.

1Representamos gráficamente los datos proporcionados

 

dintancia entre un punto accesible y uno inaccesible 2

 

2Calculamos la medida del ángulo B, para esto, utilizamos el resultado que nos dice que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180^o

 

\begin{array}{rcl} A + B + C & = & 180^o \end{array}

 

3Sustituimos los valores conocidos de los ángulos A, C y resolvemos para B

 

\begin{array}{rcl} A + B + C & = & 180^o \\\\ 72^o \, 15' + B + 61^o \, 40' & = & 180^o \\\\ 133^o \, 55' + B & = & 180^o \\\\ B & = & 180^o - 133^o \, 55' \\\\ B & = & 46^o \, 5' \end{array}

 

4Aplicamos el teorema del seno para b, c, B, C

 

\cfrac{c}{sen \, C} = \cfrac{b}{sen \, B}

 

5Sustituimos los valores conocidos y resolvemos para c

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{c}{sen \, C} & = & \cfrac{b}{sen \, B} \\\\ \cfrac{c}{sen \, 61^o \, 40'} & = & \cfrac{150}{sen \, 46^o \, 5'} \\\\ \cfrac{c}{0.880} & = & \cfrac{150}{0.720} \\\\ \cfrac{c}{0.880} & = & 208.333 \\\\ c & = & 0.880 \cdot 208.333 \\\\ c & = & 183.333 \end{array}

 

Así, la distancia buscada es de 183.333 \, m

 

 

2Un hombre en la playa desea saber a que distancia se encuentra un islote, para esto considera dos puntos en la playa que se encuentra a 200 \, m entre si y con la ayuda de un teodolito obtiene los ángulos para los puntos sobre la playa, estos son 60^o y 65^o. ¿A qué distancia se encuentra el islote del primer punto?

1Representamos gráficamente los datos proporcionados

 

distancia entre un punto accesible y uno inaccesible 4

 

2Calculamos la medida del ángulo B, para esto, utilizamos el resultado que nos dice que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180^o

 

\begin{array}{rcl} A + B + C & = & 180^o \end{array}

 

3Sustituimos los valores conocidos de los ángulos A, C y resolvemos para B

 

\begin{array}{rcl} A + B + C & = & 180^o \\\\ 60^o + B + 65^o & = & 180^o \\\\ 125^o + B & = & 180^o \\\\ B & = & 180^o - 125^o \\\\ B & = & 55^o \end{array}

 

4Aplicamos el teorema del seno para b, c, B, C

 

\cfrac{c}{sen \, C} = \cfrac{b}{sen \, B}

 

5Sustituimos los valores conocidos y resolvemos para c

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{c}{sen \, C} & = & \cfrac{b}{sen \, B} \\\\ \cfrac{c}{sen \, 65^o } & = & \cfrac{200}{sen \, 55^o } \\\\ \cfrac{c}{0.906} & = & \cfrac{200}{0.819} \\\\ \cfrac{c}{0.906} & = & 244.200 \\\\ c & = & 0.906 \cdot 244.200 \\\\ c & = & 221.245 \end{array}

 

Así, la distancia buscada es de 221.245 \, m

 

 

3Un niño vuela una cometa y su padre se encuentra a 10 \, m. Si los ángulos de elevación del niño y del padre respecto a la cometa son 50^o y 60^o respectivamente, ¿a que distancia se encuentra la cometa del padre?

1Representamos gráficamente los datos proporcionados

 

distancia entre un punto accesible y uno inaccesible 5

 

2Calculamos la medida del ángulo C, para esto, utilizamos el resultado que nos dice que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180^o

 

\begin{array}{rcl} H + C + P & = & 180^o \end{array}

 

3Sustituimos los valores conocidos de los ángulos H, P y resolvemos para B

 

\begin{array}{rcl} H + C + P & = & 180^o \\\\ 50^o + C + 60^o  & = & 180^o \\\\ 110^o  + C & = & 180^o \\\\ C & = & 180^o - 110^o  \\\\ C & = & 70^o  \end{array}

 

4Aplicamos el teorema del seno para c, h, C, H

 

\cfrac{h}{sen \, H} = \cfrac{c}{sen \, C}

 

5Sustituimos los valores conocidos y resolvemos para h

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{h}{sen \, H} & = & \cfrac{c}{sen \, C} \\\\ \cfrac{h}{sen \, 50^o } & = & \cfrac{10}{sen \, 70^o } \\\\ \cfrac{h}{0.766} & = & \cfrac{10}{0.940} \\\\ \cfrac{h}{0.766} & = & 10.638 \\\\ h & = & 0.766 \cdot 10.638 \\\\ h & = & 8.149 \end{array}

 

Así, la distancia buscada es de 8.149 \, m

 

 

4Dos barcos se encuentrar a 100 \,  m entre si y ambos observan un muelle en la playa. Si los ángulos de los barcos al muelle son de 70^o y 80^o, encuentra la distancia del primer barco al muelle.

1Representamos gráficamente los datos proporcionados

 

distancia de un punto accesible y uno inaccesible 6-1

 

2Calculamos la medida del ángulo B, para esto, utilizamos el resultado que nos dice que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180^o

 

\begin{array}{rcl} B_1 + M + B_2 & = & 180^o \end{array}

 

3Sustituimos los valores conocidos de los ángulos B_1, B_2 y resolvemos para B

 

\begin{array}{rcl} B_1 + M + B_2 & = & 180^o \\\\ 70^o  + M + 80^o  & = & 180^o \\\\ 150^o  + M & = & 180^o \\\\ M & = & 180^o - 150^o  \\\\ M & = & 30^o  \end{array}

 

4Aplicamos el teorema del seno para b_1, m, B_2, M

 

\cfrac{b_1}{sen \, B_2} = \cfrac{m}{sen \, M}

 

5Sustituimos los valores conocidos y resolvemos para b_1

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{b_1}{sen \, B_2} & = & \cfrac{m}{sen \, M} \\\\ \cfrac{b_1}{sen \, 80^o } & = & \cfrac{100}{sen \, 30^o } \\\\ \cfrac{b_1}{0.985} & = & \cfrac{100}{0.5} \\\\ \cfrac{b_1}{0.985} & = & 200 \\\\ b_1 & = & 0.985 \cdot 200 \\\\ b_1 & = & 197 \end{array}

 

Así, la distancia buscada es de 197 \, m

 

 

5Encontrar la distancia entre dos puntos A y B si se sabe que la distancia de A a un punto C es de 350 \, m y con la ayuda de un teodolito se obtuvo que A = 81^o \, 18' y C = 62^o \, 42'.

1Representamos gráficamente los datos proporcionados

 

distancia entre un punto accesible y uno inaccesible 7

 

2Calculamos la medida del ángulo B, para esto, utilizamos el resultado que nos dice que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180^o

 

\begin{array}{rcl} A + B + C & = & 180^o \end{array}

 

3Sustituimos los valores conocidos de los ángulos A, C y resolvemos para B

 

\begin{array}{rcl} A + B + C & = & 180^o \\\\ 81^o \, 18' + B + 62^o \, 42' & = & 180^o \\\\ 144^o  + B & = & 180^o \\\\ B & = & 180^o - 144^o  \\\\ B & = & 36^o  \end{array}

 

4Aplicamos el teorema del seno para b, c, B, C

 

\cfrac{c}{sen \, C} = \cfrac{b}{sen \, B}

 

5Sustituimos los valores conocidos y resolvemos para c

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{c}{sen \, C} & = & \cfrac{b}{sen \, B} \\\\ \cfrac{c}{sen \, 62^o \, 42'} & = & \cfrac{350}{sen \, 36^o } \\\\ \cfrac{c}{0.889} & = & \cfrac{350}{0.588} \\\\ \cfrac{c}{0.889} & = & 595.238 \\\\ c & = & 0.889 \cdot 595.238 \\\\ c & = & 529.167 \end{array}

 

Así, la distancia buscada es de 529.167 \, m

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗