La ley de senos y cosenos es un principio trigonométrico de mucha utilidad en la resolución de diversos problemas. Recordemos que la ley de senos dice que "cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto",

Ley de senos

Mientras que la ley de cosenos nos dice que "en un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman" , es decir,

Ley de cosenos

Cálculo de la distancia entre dos puntos, uno de los cuales es inaccesible

Sea B un punto inaccesible. Fijemos en el plano horizontal dos puntos A y C, y medimos la distancia que los separa: b= 200m . Con el teodolito (instrumento de medición mecánico-óptico que se utiliza para obtener ángulos verticales y horizontales) se miden los ángulos A y C que se muestran en la figura, A= 61º 28' y C= 54º 53'.

Dos ángulos y el lado comprendido entre ellos

 

Para obtener la distancia del punto A al punto B, calculamos primeramente el ángulo B

    \[ \angle B = 180º - (61º 28' + 54º 53') = 63º 39', \]

y utilizamos la ley de senos para obtener la distancia c

     \begin{align*} \frac{c}{\sin{C}} &= \frac{b}{\sin{B}},\\ \frac{c}{\sin{54º 53'}} &= \frac{200}{\sin{63º 39'}},\\ \end{align*}

despejando

     \[ c = \frac{200}{\sin{63º 39'}} (\sin{54º 53'}) = 182.565m . \]

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
José arturo
4,9
4,9 (51 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (30 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (92 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (13 opiniones)
Fátima
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (93 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (103 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (120 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (51 opiniones)
José arturo
16€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (30 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (92 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (13 opiniones)
Fátima
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (93 opiniones)
José angel
6€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (28 opiniones)
Santiago
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (103 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (120 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Vamos

Cálculo de la altura de un punto de pie inaccesible

Como se observa en la figura, se fija en el plano horizontal dos puntos A y C, y se mide la distancia que los separa:  b= 500m. Se miden con el teodolito los ángulos A y C,  A= 72º 18' y C= 60º 32'. Se mide tambien el ángulo HAB = 62º 5'.

Calculo de altura a través de construcción de triángulo rectángulo

Para obtener la altura h primero calculamos el ángulo ABC,

    \[ \angle ABC = 180º - (72º 18' + 60º 32') = 47º 10', \]

utilizamos la ley de senos para encontrar la distancia c

     \begin{align*} \frac{c}{\sin{60º 32'}} &= \frac{500}{\sin{47º 10'}},\\ c &= \frac{500}{\sin{47º 10'}}(\sin{60º 32'}),\\ &= 592.62m. \end{align*}

Finalmente, utilizando nuevamente la ley de senos encontramos la altura h

     \begin{align*} \frac{h}{\sin{62º 5'}} &= \frac{c}{\sin{90º}},\\ \frac{h}{\sin{62º 5'}} &= \frac{592.62}{1}, \end{align*}

despejando h

    \[ h = 592.62 (\sin{62º 5'}) = 524.54m. \]

Cálculo de la distancia entre dos puntos inaccesibles

En el plano horizontal se fijan dos puntos C y D, y se mide la distancia que los separa: b= 450 m. Con el teodolito se miden los ángulos C y D, C= 68º 11' y D= 80º 40'. También se miden los ángulos BCD = 32º 36' y ADC = 43º 52'.

Cálculo de la distancia entre dos puntos inaccesibles en un paralelogramo

Primero calculamos los ángulos faltantes y después aplicamos la ley de senos para encontrar los lados AC y CB,
1

     \begin{align*} \frac{AC}{\sin{43º 52'}} &= \frac{450}{\sin{67º 57'}}, \end{align*}

     \[ AC = \frac{450}{\sin{67º 57'}}(\sin{43º 52'}) = 336.45m. \]

2

     \begin{align*} \frac{CB}{\sin{80º 40'}} &= \frac{450}{\sin{66º 44'}}, \end{align*}

     \[ CB = \frac{450}{\sin{66º 44'}}(\sin{80º 40'}) = 483.35m. \]

Finalmente, aplicamos la ley de cosenos para encontrar la distancia x.

 x^2 = (336.45)^2 + (483.35)^2 - 2(336.45)(483.35)\cos(68º 11'- 32º 36') .

Por lo tanto,  x = 286. 902m.

Si tienes dudas puedes consultar la teoría.

>

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,00 (9 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗